「單位圓」在「三角函數」中的作用太重要，原來是這樣

古希臘「畢達哥拉斯學派」在2000多年前，就已經從數學研究中發現了「圓」的和諧之美，認為在所有的平面幾何圖形中，圓是「最美圖形」

在小學階段，圓可以用「尺規作圖法」進行這樣描述：在一個平面內，以「定點」為中心，以「定長度」為距離的「動點」，旋轉一周所形成的「封閉曲線」叫做圓。由於圓周率「 π」是一個「無限不循環小數」，從這個意義上來說，我們可以輕易的畫出一個圓，但我們永遠無法精確地知道它的「周長」和「面積」到底是多少。

到了中學階段，可以用「集合」的概念對圓進行這樣描述：圓可以表示為集合，即：在同一平面內，「定點的距離」等於「定長」的「點的集合」叫做圓。這樣得到的圓是完美的，但永遠只能存在於我們的腦海里。

圓還可以這樣進行描述：圓是「圓錐曲線」中的一種，由平行於「圓錐底面」的「平面」截取「圓錐」得到。

圓的標準方程是(x - a) ＾2 (y - b) ＾2= r ＾2。

到了大學，可以用「極限」的概念進行這樣描述：圓是一個「正n邊形」（n為無限大的正整數），邊長「無限接近0」但「永遠無法等於0」。 當多邊形的邊數越多時，就越接近圓，從這個意義上來說，我們永遠得不到一個真正的圓。

在數學中，還有一個重要的數學工具：「單位圓」，它是這樣定義的：以「1」為半徑的圓叫做單位圓。

單位圓的方程為：X＾2＋Y＾2＝1

由「單位圓」可以誘導出「複平面」、「自然的群結構」、「幾何反演變換」、「指數映射」 等等。

「單位圓」在高中數學中顯得極為重要，比如，高中階段的難點之一「三角函數」，比較常見的定義法為「終邊定義法」，它用的是「集合」的概念進行定義的，顯得模糊不清，讓人難以理解，如下：

「三角函數」是以「角度」為自變數，以「『角度』對應『任意角終邊』的比值」為因變數的函數。

簡單地說，可以描述為：從「角的集合」到「比值」的集合」

看起來很難理解有木有？很多小夥伴學了多年數學，怕的就是這說不清道不明的玩意了。

一般函數是兩個「數」的集合的「一一對應」，而「三角函數」卻是「角」與「比值」的集合的「一一對應」。

其中的「比值」需要計算，而「任意角的比值」還需要證明，「比值的周期性」變化還需要推理。

很多小夥伴學完「三角函數」還是一頭霧水，就是因為「終邊定義法」本身太過於複雜。

如果我們轉換一下思路，用「單位圓」來進行定義的話，就要簡單得多了。

用「單位圓」來進行定義「三角函數」，體現了「數形結合」的重要「數學思想」。

當我們把「任意三角形」放在「直角坐標系裡」，引入單位圓，「正弦」、「餘弦」、「正切」就變成了單位圓上點的坐標。

自變數「角a」與函數值「x、y」就可以非常直觀地討論三角函數的「定義域」、「值域」、「周期性」、「單調性」、「最大值」、「最小值」等問題。利用單位圓本身的「對稱性」深入地理解「三角函數」的概念，能夠使複雜的問題變得簡單，使解決問題的思路變得清晰。 ?

小夥伴們，你們對此有什麼看法呢？歡迎留言討論。

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