數學史上的三次「抽象運動」

選自

《極簡演算法史：從數學到機器的故事》

作者:[法] 呂克 德 布拉班迪爾

演算法 數學 邏輯思維

妙趣橫生的

人類邏輯思維史

演算法思想的誕生歷程

三次「抽象運動」的碩果：算術、幾何和代數

長久以來，人類在不知不覺中掌握了各種數學概念。在舊石器時代初期，直立人就打造出了雙面的手斧石器。直立人能做到這一點，正是因為他們已經將「對稱軸」概念化了。當然，他們是無意識的，但直立人工匠必須在第一次擊中石料之前，就預先設想好一個石料最終的形狀會是什麼樣子。

然而，人類是從什麼時候開始想要計算的呢？這很難說。但無論如何，如果想要計算就必須要有數字。那麼，人類是從什麼時候開始產生了計數的需求呢？

或許，是從智人決定在位於兩河流域的美索不達米亞地區定居下來的那一刻起。農業和畜牧業的發展逐漸衍生出類似「收成」或「（牛、羊或家禽）群」的概念，於是，人們需要一種衡量「收成」或「群」的量的方法。那麼，在將羊群託付給遠去放牧數月的牧羊人之前，羊群的主人該如何記住羊的數量呢？

這時，石子成了計算和用於記憶的工具。人們把與羊的數量相等的石子放入一個罐子里。這將成為羊群主人與牧羊人在數月之後商榷後者薪酬的基礎……

第一次抽象運動

有一天，有人萌生了在裝石子的罐子上銘刻符號的想法，這樣一來，人們不必打開罐子，也可以記住罐子里有多少石子了。也就是說，人們在罐子外面畫上與罐子里的石子同樣數量的羊。文字的概念即將出現……此外，還有另一個更具革命性的想法：將數字從其具體應用中分離出來！

有一天，有人在描述飼養在棚中的家禽的總數時，不再畫出 7 次小雞或鴨子的符號，而是創造了一種意思為數量「７」的符號，並把它加在需要被計數的動物圖案後面。

人類思想史上這一偉大的時刻可以被視為數學誕生的日子。從此以後，數字不再是人類家中小牛犢、母牛、豬或者小雛雞的一部分。數字被分離了出來，從被計算的假想對象中解放了出來。數字變成了抽象的事物。無論是計算樹木、人數或者日子，方法都是一樣的。正如伯特蘭·羅素指出的那樣，他花了很長時間讓人們意識到，在兩個農民和兩天之間有著一些共同之處！

此時，人類距離計算仍然很遠，甚至距離數字的定義更遠，但是至此，我們已經有了數學誕生的佐證。

這對人類社會生活的影響是巨大的，特別是由此產生了一個十分重要的結果。事實上，為了使用數字，人們首先必須能將數字書寫出來。口頭傳統1讓人們不需要規定什麼是字母「l」「f」或「r」，就可以談論花朵或者下雨。這些概念可以輕易地通過腦海中的印象被理解，並找到對應的匹配物。然而，當有人告訴你 6234，這該怎麼辦呢？在你的腦海里，不會有什麼確切的東西出現。在沒有書寫方法的情況下，一旦一個數字有點過大了，就無法引起人們的心智表徵了2。

1口頭傳統指的是用口述或歌唱的方式傳播如民間傳說、史詩、歌謠等文化和傳統，從而一代代地傳遞信息和本民族的歷史。這種方式不依賴於文字。

2人的心智常常對物體、事件和環境產生意象，比如，即使你沒有真的用感官感覺到，也能回想起見過的某個人、聞過的某種味道、去過的某個地點及其相關特點等，這種意象就是心智表徵，它是外在現實和知識在人們心智中的反映。

事情的反轉相當令人吃驚。文字在日常交流中是非常有用的，因為它能夠記錄、保留口語的內容。但是，當涉及數字的時候，文字就需要塑造口語的內容。在數字能夠被書寫之前，用來描述大數字的詞語是不存在的。

然而，詞語無法適用於所有情況，一旦數量變得非常大，就必須發明新的符號。這就是美索不達米亞人處理「大數量」的方法。美索不達米亞人創造了新的符號，用來指定 10、60、600、3600 或 36 000 個元素的集合。至此，我們聞到了十進位的氣息，而下一個偉大的想法很快就會應運而生：按照位置順序編排數字，而一個數字的值取決於它在數中的位置。

到了這一步，人們仍然沒有到達計算的層面，但現在有條件考慮一下這個問題了。數字工具是如此之強大，以至於人們將其歸於超自然屬性，甚至歸於魔法。人類從一個極端走到了另一個極端。對於第一代智人來說，數字是不存在的，然而對於畢達哥拉斯來說，「萬物皆數」。據說，畢達哥拉斯撥動不同長度的琴弦，比較它們產生的聲音，由此得出了上述結論3。

3畢達哥斯拉發現了琴弦定律，即在給定張力的作用下，一根弦發出的音的頻率與弦的長度成反比，而且音程之比越簡單，和聲越和諧。在發現了聲音與弦長之間的數學關係後，畢達哥拉斯將數學應用在了調音等技術上，讓音樂成為一門建立在數學和科學基礎之上的藝術，在音樂理論方面做出了巨大貢獻。

第二次抽象運動

數學史上的第二次革命出現在幾何學領域。語源學家說得好：物體是地球的度量單位，而在當年，地球首先是古埃及人的。幾何學既適用於大尺度範圍——古埃及人計算出的地球周長與現代結論之間的誤差小於 2%，也適用於小尺度範圍，因為它也可以用來將一張莎草紙4分成三等份。

4莎草紙是古埃及人用於書寫的紙張，由當年盛產於尼羅河三角洲的紙莎草的莖製成。

歐幾里得讓幾何學變得制度化，他撰寫的《幾何原本》被公認為是歷史上第一部科學理論典籍，全書共分為 8 卷，融匯了兩種傳統研究方法：一種是古埃及人的注重「實際用途」的研究方法，而另一種是更傾向於理論化的方法。後面這種方法誕生於古希臘，它為證明的思路提出了規則。

儘管歐幾里得讓幾何學的證明變得更加系統化，但他並不是第一個提出證明方法的人。在 400 年前，人們認為古希臘數學家泰勒斯是率先提出幾何定理的人，比如他提出，兩條直線被一組平行線截斷，截得的對應線段的長度成比例5。泰勒斯曾住在米利都（如今的土耳其），從某種程度上來說，他對幾何圖形做的事和美索不達米亞人對數字做的事一樣——泰勒斯把幾何圖形從具體物體上分離了出來。月亮，一個盤子，被綁在繩子末端不斷旋轉甩動的石子的運動路徑，這三者之間有什麼共同點嗎？圓的概念就來源於此。圓的屬性不再取決於所討論的物體對象。

5這就是平行線分線段成比例定理。

然而，這種抽象的思維方式只有在伴隨著具體測量時才有用途。比如，泰勒斯就是利用了相似三角形定理，才計算出了胡夫金字塔的高度。在太陽的照射下，當一根木棍的影子與其高度相等時，此時測量金字塔形成的陰影的長度，就能得到金字塔本身的高度。

米利都的泰勒斯造就了幾何學，他勇敢地拋開了一切實際物體，直接談論起直線或三角形，他更傾向於概括性的陳述。此外，泰勒斯對幾何學的熱愛最終讓他自己完全脫離了數學——他被認為是世界上第一個提出關於永恆與變化問題的哲學家。

柏拉圖始終奉行畢達哥拉斯學派的傳統研究方法，他幾乎要大膽斷言：「一切皆幾何。」他證明僅存在 5 種多面體，其所有面的形狀都相同：各面都是正三角形的金字塔、正方體和其他三種多面體。直到 1800 年後，在柏拉圖強大的影響力之下，開普勒堅持認為在自己設想出的太陽系中，行星的運行軌道必須與這些多面體成比例。

第三次抽象運動

隨著阿拉伯數學理念的到來，西方數學將面臨第三次衝擊。除了數字「零」之外，阿拉伯數學家們還帶來了一些極富創意的概念，例如「未知數」，這個概念會被不朽的字母代表。阿爾·花拉子米提出的理論將激起一場革命。他把解決問題的方法與問題本身分開，並對已脫離了問題本身的解題方式進行單獨處理。花拉子米把數學推理放入方程式中，就這樣，在算術和幾何之後開創了第三大課題——代數。

在花拉子米的啟迪下，無論是計算浴缸排水時間、兩個車隊的相遇時間，或是還清貸款的時間，其計算方法變得完全一樣了。顯然，代數成了不會限制研究對象的概念化工具。

隨著時間的流逝，數學家們的抽象思維能力與日俱增。達朗貝爾與他的哲學家同事狄德羅共同編撰了《百科全書》，並提出了一個「波動方程」，在吉他琴弦的振動中，在潮汐現象中，甚至在今天的烤箱中，我們都會發現波動方程的身影。

在穿越歷史的河流到達河岸的另一邊之前，我想談一談貫穿各個時代的一個大問題：數學到底是被發現的，還是被發明的？

畢達哥拉斯曾被數學震驚：數字彷彿既存在於世界之中，又存在於世界之外。一年通常有 365 天，然而 365 是這三個平方數之和，同時還是這兩個平方數之和。這不可能是一個偶然吧……

許多世紀之後，愛因斯坦仍然被數學震驚：人類創造的、獨立於所有經驗的數學，它是否可以很好地描述物理世界？

現在，我們來看兩個簡單的問題。

(1) 當我們看到 12 朵玫瑰的時候，我們塗染玫瑰色的經驗是否與使用數字 12 的經驗屬於同一類型？

(2) 數字 1 000 000 000 在現實中通常是難以企及的，在地球上出現生命之前，這個數字存在嗎？

如果你對第一個問題的回答是「否」，而對第二個問題的回答是「是」，那說明你賦予了數字一個特殊屬性，即數字本身就是存在的。這樣一來，數學就是被「發現」的。現在看來，這種柏拉圖式的觀點恐怕是大多數人的觀點。對於持這種觀點的人來說，數學具有一種與繪畫或音樂等人類其他表達方式不同的性質。

但是，一些生物學家或認知主義者始終捍衛另一種觀點。對於他們來說，數學是被「發明」的，而且數學僅是一種語言。幾百萬年來，人類觀察自己的雙手和雙腳，這個行為讓從「一」到「十」的數字慢慢出現，以此類推，人類又發明了其他數。但是，連把 4 和 3 相加都不會的四歲小孩們卻能把自己的母語說得幾乎沒有任何錯誤，這又該如何解釋？又是從什麼時候開始，數學真理變成了真理？

數學到底是被發現的，還是被發明的？這是一個關鍵問題。因為，假如說數學是被發現的，這就如同承認了上帝以自己的形象創造了人，而另一種觀點則於此恰恰相反！

因此，數學是被發現的，還是被發明，這個問題不再是一個數學問題……

未完待續

請繼續關注下期

《第四次抽象運動：最美的邏輯故事》

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