最美的邏輯故事
最美的邏輯故事
選自
《極簡演算法史：從數學到機器的故事》
作者:[法] 呂克 德 布拉班迪爾
演算法 數學 邏輯思維
妙趣橫生的
人類邏輯思維史
演算法思想的誕生歷程
數學的誕生無法與某個具體地點和時間聯繫起來，更不用說某一個特定人物了，但是，邏輯卻是有可能的。邏輯學的誕生地在希臘，時間大約在公元前350年，而亞里士多德是有史以來最偉大的邏輯學家之首。儘管邏輯學與數學完全出生在不同的境遇中，但一個共同點卻將邏輯學與自己的近親——數學聯繫了起來，那就是抽象的意願。
第四次抽象運動
事實上，在幾何學出現之後的一千年（但仍早於代數誕生一千年），第四類分支就產生了，它幫助人們開創了同樣具有革命性的學科。當我們說到「邏輯學」時，事實上，我們所說的是形式上的邏輯學，一種僅基於形式來驗證某種推理的科學，而不是基於文字所承載的意思或意指。邏輯學通過分析引出語句的一系列命題來確認一個結論為真。
最初，邏輯學可以被定義為一門如何學習「因此」這個詞的正確用法的科學。亞里士多德是第一個嘗試將推理形式化的人，他將之稱為「三段論」。在亞里士多德看來，命題是一個推理的基本元素，語句採用「A是B」的形式，語句可以為真或假。因此，命題是邏輯學的基石，就好像點是幾何的基本對象，而數字是算術的基本對象。
假設人類的推理就是三個連續命題，這就是三段論理論的起始。命題可以採用以下形式：
A是B
B是C
因此，A是C。
三段論一共有256種形式，而亞里士多德證明，它們當中只有19種是有效的。
毫無疑問，亞里士多德幹得十分漂亮。但是，三段論從一開始就是一個自我封閉的理論，既沒有可能存在的研究領域，也沒有可期待的新結果。這是一個矛盾，三段論是一個天才的理論，卻註定要夭折。它長期被束之高閣，直到康德的出現。但事實上，三段論僅涵蓋了人類推理的一小部分！
三段論排列出三個命題，第三個命題即合乎邏輯的結論。按照選定的順序，同樣的三個命題會導致三種不同類型的推理，按順序分別是：從一般到特殊、從特殊到一般、從特殊到特殊。讓我們來仔細看看。
(1)演繹法
這條街上的所有房子都很漂亮。
這座房子在這條街上。
這座房子很漂亮。
在數學上，演繹法有著廣闊的用武之地，歐幾里得的《幾何原本》就是以演繹法為基本理論。的確，數學與邏輯學這兩個相似學科之間的距離永遠不會太遙遠。在這部整整8卷的鴻篇巨著中，歐幾里得從五大公設【1】中推演出了數百個幾何定理。演繹法的範式令人印象深刻，因此長期保持著不可撼動的模範地位。長久以來，智力從本質上也被視為演繹邏輯過程，人們甚至推測可以對「智商」進行測量。
【1】歐幾里得在《幾何原本》中提出的五大公設是：公設1，任意一點到另外一點可以畫直線；公設2，一條有限線段可以繼續延長；公設3，以任意點為中心，以任意距離可以畫圓；公設4，直角都彼此相等；公設5，在同一平面內，如果一條直線和另外兩條直線相交，且在某一側的兩個內角之和小於兩直角之和，則這兩條直線在無限延長後將在這一側相交。
對於柯南·道爾來說，夏洛克·福爾摩斯的天分就源於對這種思維方式的全面掌握，所以他的第一本推理小說中的第二章就被命名為《演繹科學》——每一位自尊自重的偵探都應該掌握這門學問。
所幸，今天人們已經意識到，智力擁有許多形式，彼此之間還會相互影響，我們將會在本書第三部分中看到。
誠然，在數學中，演繹法能幫助數學家得出一個定理，但是，所有命題已經以某種方式包含在初始假設中了。演繹法揭示了被隱藏的東西，能幫助人們去發現，而不是去發明。演繹法指明了邏輯等價，並用一條等價替換幾條等價。然而，人們過去突出的是重言式【1】的特性，也就是說，命題永遠為真。而這些只是一般性假設中的特例。
【1】 又稱「永真式」，假設一個公式在任意解釋下的真值都為真，就稱之為重言式。
(2)歸納法
這座房子在這條街上。
這座房子很漂亮。
在這條街上所有的房子都很漂亮。
如果說，演繹法是從一般性假設中得出特定的結論，那麼相反的方法也是存在的——歸納法旨在基於特定的經驗之上，建立一個一般性法則。在16世紀，弗朗西斯·培根將其變成了科學方法的工具。這位英國哲學家撰寫的《新工具論》一書中就早已顯現針對亞里士多德的反對觀點。按照培根自己的話來講，他的假設理論就是為了對抗這位古希臘哲學家的《工具論》，而後者就是讓科學腳步停滯不前的罪魁。
於是，我們有了兩種推理方式：演繹法將成為數學工具，歸納法將成為基於經驗的科學研究工具。但就目前階段而言，這個方法把問題看得過於簡單了。
就連柯南·道爾也在《薩塞克斯郡的吸血鬼案》中不得不承認，歸納法必須面對事實的挑戰，時不時地也要接受其他假設。所以，歐幾里得的《幾何原本》有點過於基本了，我親愛的華生！【1】
【1】《這是基本的，我親愛的華生》（Elementary,MyDearWatson）是一部英國喜劇電影，這句話成了福爾摩斯對華生說的一句名言，但這句話其實並不在柯南·道爾的小說中，只是書迷們的杜撰。
在數學中也會使用歸納法，而且人們有時把它稱為「數學歸納法」【2】。但是，陷阱永遠不會太遠，在「圓的內接多邊形的邊和對角線可將圓分割的最大數量」這個著名的問題中，數列從2、4、8、16之後突然接著的是31！
【2】這種數學證明方法通常用於證明，在整個（或局部）自然數範圍內，某個命題是否成立。
(3)溯因法
這座房子很漂亮。
在這條街上所有的房子都很漂亮。
這座房子在這條街上。
溯因法原本是歸納法中的一個特例。亞里士多德沒有特別關注過這種方法——這就奇怪了，因為溯因法是一種比歸納法或演繹法更普遍的推理方法。這是一種「製造假設」的形式，直到桑德斯·皮爾士締造了符號學，才開始有人仔細研究溯因法。
如上述例子所示，溯因法引領我們從特殊到特殊，它從房子的一個特點（漂亮）出發，接著又提出另一個特點（在這條街上）。溯因法喚醒了人們的直覺和創造力，它有著神秘的一面，當然也有邏輯的一面，但這是一種只能通過事後歸納才能理解的邏輯。
我們將更進一步探索溯因法。今天，認知主義將其更名為「貝葉斯推斷」，以此向偉大的數學家托馬斯·貝葉斯致敬。但是，我們不要前進得太快。
華而不實的三段論
亞里士多德的方法妙不可言。不過，他的方法從一開始就註定要失敗了，因為太多有效的推理無法利用三段論的簡單規則，將三個連續命題連貫起來表達。下面列舉四個例子。
例一 邏輯學家奧古斯都·德摩根給出了以下推理。
大多數環保主義者是素食者。
大多數環保主義者都投票支持左翼陣營。
因此，某些素食者投票支持左翼陣營。
上述這個推理是一個有效的推理，但它沒有遵守三段論的規則之一，即三個命題中至少有一個是具有普遍性的，比如，「人固有一死」或者「沒有人會飛」。
德摩根是一位對數學充滿熱情的邏輯學家。當人們問起他的年齡時，他總是回答：「我在公元x2年時是x歲。」如果我告訴你，他生活在19世紀，按理你應該能夠推斷出他生於1806年……
例二 以下推理也是如此。
鳥類屬於動物。
因此，鳥類的頭屬於動物的頭。
這個推理是正確的，它建立在類比關係之上，這顯然不夠嚴謹。
例三 某些命題包含三個甚至更多的關係。接下來的兩個推理都是正確的。其中一個使用了連詞「或」，另一個使用了連詞「並」，但我們無法把它們寫成三段論的形式。
房子是用木頭或用磚塊建造的。
房子不是用木頭建造的。
因此，房子是用磚塊建造的。
大多數工程師喜歡音樂。
大多數工程師擁有人壽保險。
因此，有些工程師喜歡音樂並擁有人壽保險。
例四 有很多涉及各種關係的正確推理，比如以下兩個例子。
古代文明在中世紀之前。
中世紀在文藝復興時期之前。
因此，古代文明在文藝復興時期之前。
瑪露西亞是蘇菲的女兒，
因此，蘇菲是瑪露西亞的媽媽。
然而，處處都是陷阱……其實，正如無論證明什麼都會存在風險。
我和我的弟弟不在同一座城市。
我的弟弟和我的妹妹不在同一座城市。
因此，我和我的妹妹不在同一座城市。
……並且，風險會隨著辭彙量的增加而增加。
我的睡衣可以放進抽屜里。
我可以穿進我的睡衣里。
因此，我可以進入到抽屜里。
阿爾貝·加繆在《西西弗的神話》一書中寫道：「想合乎邏輯總是容易的，但是想從頭至尾一直都合乎邏輯幾乎是不可能的。」或許，亞里士多德也想到了同樣的事情，卻不敢承認這個事實。
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