心靈的創造：戴德金的數學思想

心靈的創造

戴德金的數學思想

王淑紅 孫小淳

原發期刊：自然辯證法通訊 第41 卷第2 期（總246 期）

作者簡介：王淑紅（1976-）女，河北黃驊人，河北師範大學數學與信息科學學院教授，中國科學院大學人文學院博士後，研究方向為代數學及近現代數學史。

孫小淳（1964-）男，江蘇溧陽人，中國科學院大學人文學院科學技術史系教授，研究方向為天文學史、科技史、科學哲學等。

摘要：戴德金重視概念和方法，他認為數是人類心靈的自由創造。他提出了很多新概念和新定理，特別是用有理數的分割定義了無理數，得出了自然數的基礎，提出理想理論以及其他抽象代數的新概念，為近現代數學奠定了堅實的基礎。他與很多數學家有著密切的學術交往，在數學共同體中發揮了不可或缺的作用。通過調研有關戴德金的文獻資料，分析他的成就、影響及其所在的數學共同體。

關鍵詞：戴德金 戴德金分割 心靈的創造 理想 數學共同體

理 查 德· 戴 德 金（Richard Dedekind，1831-1916）是德國的一位名垂史冊的數學家、哲學家、理論家和教育家。戴德金崇尚概念哲學，在數學的多個領域有所建樹，給出了很多概念和定理。現在以他命名的數學概念主要有：戴德金分割（Dedekindcut）、戴德金環（Dedekind domain）、戴德金 η 函數（Dedekindeta function）、戴德金無窮集合（Dedekind infinite set）、戴德金數（Dedekind number）、 戴 德 金 和（Dedekind sum）和 戴 德 金zeta 函 數（Dedekind zeta function） 等。他最重要的成就是用戴德金分割重新定義了無理數以及引進環論中理想的概念。戴德金的導師高斯有一句名言：數只是我們心靈的產物。戴德金對此非常贊同，並在自己的研究中一再強調數是人類心靈的自由創造。

戴德金

戴德金不僅能夠創造新數學，而且還能夠用結構化的觀點把自己的思想表達得清晰明了。他引領了新的數學風潮，深刻影響了數學的進一步發展。正如當代數學家和數學史家哈羅德·愛德華茲（Harold M. Edwards，1936-）所說：

「戴德金的遺產 ... 不僅包括重要的定理和概念，而且整個數學風格已經對每一個後人產生鼓舞。」[1]

戴德金一生淡泊名利，靜默自守。他對自己的能力和成就一向異常謙遜和低調。但他的光輝思想無法阻止人們給予他崇高的榮譽。他成為了哥廷根科學院（1862）、柏林科學院（1880）、羅馬科學院（1880）和巴黎科學院（1900）等科學院的通訊院士，被授予克里斯蒂安尼亞（今稱奧斯陸）、蘇黎世和不倫瑞克等大學的榮譽博士。

1917 年，他的朋友和追隨者埃德蒙·蘭道（Edmund G. H. Landau，1877-1938）在《哥廷根皇家科學與人文學會新聞》上寫道：「戴德金不僅僅是偉大的數學家，同時也是有史以來數學歷史上真正傑出的人物。他是其所處偉大時代的最後一位英雄，高斯的關門弟子。40多年以來，他已經成為經典的作家，不只我們，就連我們的老師乃至於老師的老師均從他的工作中得到啟迪。」[2]

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一、戴德金的數學共同體

戴德金的很多創造是在編輯前人工作的過程中發生的。說明共同體在其數學創造中的重要性。心靈的創造不只是單個的，而且是集體的。不過戴德金的貢獻也是很傑出的。這既是一個傳統的成就，也是一個偉大心靈的成就。

1.家族三代同在一所大學任教授

戴 德 金 1831 年 10 月6 日 在 不 倫 瑞 克 出 生。他出身教授家庭，不過，並不像他的追隨者愛米· 諾 特（Emmy Noether，1882-1935） 那 樣 出身數學教授家庭。其父名為烏爾里奇· 戴德金（Ulrich Dedekind），是一位物理學家和化學家的兒子，他是不倫瑞克卡羅林姆學院（the Collegium Carolinum）的大法官、法學教授，也是這所學校的一位高級管理人員。母親卡洛琳（Caroline）的父親也是這所學校的教授，母親的祖父是皇家郵政局長。這所學校到1860 年代已升級為不倫瑞克理工學院（theBrunswick Polytechnikum）。戴德金在 1862 年，回到自己的母校任教授。這樣算來，戴德金家族至少有三代在這所學校任教授，當屬名副其實的教育世家了。戴德金1894 年 4 月在這所學校退休，但仍然偶爾上課並繼續作學術研究，公開發表論文。

戴德金的學生生涯也從不倫瑞克開始，從 7 歲到16歲，他在不倫瑞克的一所學校就讀。他一開始認為數學只是一個輔助性學科，並未對數學有很大的興趣，而是對其他科學更著迷，特別是化學和物理學。但不久之後，他發現物理學沒有精確的邏輯結構，從而轉向數學。

1848年，戴德金進入卡羅林姆學院學習。當時的卡羅林姆學院是一所介於高中和大學之間的教育機構。這也是他後來的博士導師高斯的母校。

他在這裡接受到了很好的數學基礎教育，學到了代數分析、解析幾何、微積分、力學等。1849-1850 年間，他給低年級學生講過課。這為他接下來進入哥廷根大學做好了準備。

他終生未婚，成年後大多數時間與他的二姐生活在一起。他的二姐也是終生未婚，比戴德金早兩年離開人間。戴德金除了在父親去世不久出現過身體不適的情況，其他時間他都保持著健康的身心，直至1916 年 2 月 12 日平靜安詳地與世長辭。戴德金很享受這種在故土與家人在一起的生活，就像科特·比爾曼（Kurt-R Biermann）所評述的那樣：

「 戴德金與他的兄長和姐姐保持密切的聯繫，忽略了所有更高層面的可能的機會和娛樂，他所生活的小的熟悉的世界完全滿足他的要求。在這個小世界裡，他的親屬完全代替了他自己的妻子和孩子，並發現了充分的快樂和研究基礎數學這項科學工作的自由。他沒有要在外部世界產生更大影響的壓力：那種自我確認是不必要的。」[3]

2. 高斯的關門弟子

1850年春，在卡羅林姆學院學習兩年後，戴德金轉入哥廷根大學。他參加了哥廷根大學剛剛成立的數學和物理學討論班。戴德金一開始就參加了討論班，聽了莫里茨·斯特恩（Moritz Stern，1864-1939）、 喬 治·烏 爾 里 奇（GeorgeUlrich）、威 廉· 韋 伯（Wilhelm Weber，1804-1891） 和 約翰·本尼迪克特·李斯廷（Johann Benedict Listing，1808-1882）的數學和物理課程。此前，他的微積分等基礎已經比較紮實，在這裡，他的數論知識著實上了一個新台階。他對有的物理課並不十分感興趣，不過值得一提的是，威廉· 韋伯的實驗物理課使戴德金倍受鼓舞。一年後，也就是 1851 年，喬治·黎曼（Georg Riemann，1826-1866）也加入到討論班，他們二人很快成為好朋友。1850年，戴德金還聽過高斯的觀察員卡爾· 沃爾夫岡·本傑明·戈爾施米特（Carl Wolfgang BenjaminGoldschmidt，1807-1851）的大眾天文學課程。

1850-1851 年的冬季學期，戴德金第一次上高斯親自開的課。這個時候高斯已經年紀比較大了，只是教授一些比較基礎的知識。戴德金聽了高斯的最小二乘法等課程。高斯雖然不喜歡教學，但是保持著一貫的責任心。50年後，戴德金仍然記得：

「這些講授是他曾聽到的最美妙的課程。寫下跟隨高斯學習，令他曾有著持續增長的興趣，並且他無法忘記這種經歷。」[3]接下來的一個學期，戴德金聽了高斯的高等測量學課程。1851-1852 年，他聽了昆圖斯·埃斯利烏斯（QuintusIcilius）的數學地理學以及熱理論課程，並且跟埃斯利烏斯一起觀測氣象。

戴 德 金 有 幸 成 為 了 高 斯 的 最 後 一 個 博 士生。1852 年，在高斯的指導下完成了一篇博士論文「 關於歐拉積分的理論 」（über dieTheorie derEulerschen Integrale），獲得哲學博士學位。高斯給出的評語是：「戴德金先生的論文是一項有關積分學的研究，不只是對於相關的領域有著充分的知識，同時具有創新性，可以想像他在以後肯定能作出成果。作為批准考試的試驗論文來說，我對其完全滿意。」[3]

戴德金與高斯無論從所秉持的原則或觀點，還是從性格和生活上都有很多相似的地方。他們來自同一地方，有在同一學校學習和任教的經歷。他們都認真負責、嚴格要求、堅持原則、拒絕妥協。他們都過著一種規律而簡樸的生活。他們都熱心幫助他人，謙虛謹慎，並深得朋友的信任。他們有同樣的文學品味，都喜歡英國著名作家沃爾特·斯科特（Walter Scott，1771-1842）。他們對數論和算術情有獨鍾，他們都把概念比符號看得更重要。戴德金還編輯了高斯的全集。[4]

3. 求學柏林，彌補不足

博士畢業後，按理說戴德金已經可以走上獨立教學和研究的道路了，但是戴德金的求知慾非常強，他雖然自己也覺得已有的知識儲備足以教授中學，但是自感沒有得到很好的數學前沿領域的訓練，他完全認識到他受到的數學教育還不足。這裡要說明一下，當時，在哥廷根大學學習數學是相對令人失望的，因為它還沒有成為充滿活力的研究中心。當時的柏林大學是德國數學的研究中心，柏林大學比哥廷根大學的課程更為先進。在哥廷根大學聽不到彼得·古斯塔夫·勒熱納·狄利 克 雷（ Peter Gustav Lejeune Dirichlet，1805-1859）、卡爾·雅可比（CarlJacobi，1804-1851）、雅各布·施泰納（Jakob Steiner，1796-1863）講授的一些最新課程，比如高等數論、高等幾何、橢圓函數、數學物理等。當時，與戴德金同在哥廷根的黎曼也發現學校的數學教育旨在培養高中教師，而不是具有頂尖能力走研究道路的數學家。於是，戴德金和黎曼相繼去了柏林，戴德金花兩年時間彌補了他受教育的不足，並在1854 年夏取得大學執教資格。而他的朋友黎曼也剛剛在幾周前獲得了同樣的資格。

4. 重回哥廷根大學與任職蘇黎世工科學校

1854至1855 年的冬季學期，戴德金在哥廷根大學以無薪講師的身份教授幾何和概率論等課程。1855年，他的老師高斯去世，戴德金是少數幾個有幸為高斯抬靈柩的人。狄利克雷被任命為哥廷根大學的數學教授，接替高斯空出來的職位。這件事情對戴德金意義重大，他發現和狄利克雷學習令他受益匪淺。他聽了狄利克雷的位勢理論、數論、偏微分方程和定積分等課程。狄利克雷使他成為了一個學術新人，大大擴展了他的學術和生活視野。即便是狄利克雷親友的聚會，狄利克雷也會邀請戴德金參加。

1855年冬到1856 年，戴德金聽了黎曼的橢圓函數和阿貝爾函數課。戴德金對自己要求非常嚴格，他雖然已經可以教授課程，但他依然把自己當作學生一樣苦讀。大約在這個時候，戴德金學習了埃瓦里斯特·伽羅瓦（évariste Galois，1811-1832）的工作，他首先在哥廷根大學講授伽羅瓦理論。在講授當中，他首次給出域的概念，用抽象群的概念來代替置換群的概念。不過，令人鬱悶的是，因為戴德金的講授超出了授課範圍，最後僅剩下兩個學生出勤。

1858年戴德金被任命為瑞士蘇黎世工科學校教授，繼任約瑟夫·拉伯（Joseph L. Raabe，1801-1859）的職位。在講授微積分時，戴德金感受到分析基礎還比較薄弱，於是研究了實數理論的基礎。1859年9 月，戴德金借著黎曼當選柏林科學院通訊院士的機會，和黎曼一同去了柏林，結識了院士選舉的發起人卡爾·魏爾斯特拉斯（Karl Weierstrass，1815-1897）以及柏林的其他幾位數學領袖：厄恩斯 特· 庫 默 爾（Ernst E. Kummer，1810-1893）、卡 爾· 博 哈 特（Carl Wilhelm Borchardt，1817-1880）和利奧波德·克羅內克（Leopold Kronecker，1823-1891）。

戴德金在哥廷根和瑞士期間，把大量精力投入到教學當中，他十分關心所授課程的嚴密性。他所發表的研究論文也與課程相關。授課之餘，他開始編輯狄利克雷的《數論講義》。

1862年，戴德金回到母校不倫瑞克理工學院繼任了奧古斯特·威廉·朱利葉斯·伍德（AugustWilhelmJulius Uhde）的職位。從此再未離開。這就是我們這一節開頭所談到的內容。

戴德金受到了高斯、狄利克雷和黎曼很深的影響，他負責編輯過狄利克雷、高斯、黎曼的全集。

5. 與其他數學家的密切往來

除了高斯、狄利克雷和黎曼，戴德金還和其他一些數學家保持著良好的學術交流。1872 年，戴德金在瑞士的特拉肯小鎮度假時，遇到了格奧爾格· 康托爾（Georg Cantor，1845-1918）。他們一直保持著友誼，相互敬重，開誠布公地交流學問。戴德金遂成為最早支持康托爾無窮集合工作的數學家之一，在康托爾與克羅內克在超無窮理論方面發生爭論時，戴德金毫不猶豫地站在了康托爾的一邊，並成為康托爾的有力支持者。[5]

戴德金和海爾里希· 韋伯（HeinrichWeber，1842-1913）在 1882 年展開合作，在黎曼曲面上應用理想論的結果。當時韋伯是柯尼斯堡大學的老師，在講課過程當中，他介紹了戴德金的思想，從而許多學生受到了戴德金的思想影響，其中就包括大衛·希爾伯特（David Hilbert，1862-1943）。

1900年，希爾伯特在國際數學家大會上高度讚揚了戴德金的工作，從而戴德金的思想更加深入人心。愛米· 諾特與奧伊斯坦· 奧爾（Φystein Ore，1899-1968）共同編輯了戴德金的全集。愛米·諾特在編輯學習的過程中，對戴德金的思想十分敬仰，不僅建議其學生們反覆研讀，而且在別人稱讚她的創新思想時，她往往說：「已經在戴德金那裡都有了」。[6]

二、用有理數來定義無理數：戴德金分割

戴德金用後人所稱的戴德金分割重新定義了無理數，這是戴德金最重要的數學成就之一，包含在其1872 年發表的《連續性與無理數》（Stetigkeit UndIrrationale Zahlen）一書當中。這本書甫一問世，就引起很多關注，與魏爾斯特拉斯的分析基礎以及康托爾的集合論一起，開啟了現代數學的新時代，戴德金從此進入一流數學家的行列。

1858年春，負責人事的瑞士市議員到當時戴德金所在的哥廷根大學聘請老師到蘇黎世工科學校（今天的蘇黎世聯邦理工學院）作教授。戴德金很快順利入選。自1858 年秋，他開始在那裡教授微積分。這是他第一次教授這門課程。在授課的過程中，他感覺分析的基礎還很薄弱。他對當時的微積分評述道：「我比以往任何時候都更加強烈地感受到這種演算法缺少真正的科學基礎。」[7]

於是戴德金打算為微積分建立堅實的基礎，開始對實數理論的基礎進行研究，從而產生了戴德金分割的想法。他自己曾提到戴德金分割這個思想是在1858 年 11 月 24 日闖入腦海的。戴德金最先把這個結果告訴了他的朋友海因里希·杜瑞熱（HeinrichDurege），但是年後才正式發表。

《連續性與無理數》共有七部分。包括：自然數的性質、有理數與直線上的點的比較、直線的連續性、無理數的構造、實數域的連續性、實數的運算以及無窮小分析。

他在書的第三部分「直線的連續性」中說道：

「上面把有理數域R比作直線，結果認識到前者存在間隙，具有一定的不完備或不連續性，而我們則將直線看成是完備、不存在間隙或連續的。那麼這種連續性是什麼？所有的事情都必須依賴於這個問題的答案，並且只有通過它，我們才能夠獲得一個研究全部連續區域的科學基礎。僅僅大致闡述其最小子集的不間斷連續性，明顯得不出任何結果；問題是找到連續性的一個準確特徵，使其成為有效推理的基礎。」[8]

戴德金緊接著說道：「長久以來，我對此深思熟慮，卻徒勞無獲，但是最終我找到了我所要尋找的東西。這種發現也許不同的人會有不同的評價；大多數人會發現它的實質非常平凡。」（[8]，p.11）

戴德金說他發現了連續性的原則：「如果直線上的全部點分成兩類，使得第一類中的每一個點位於第二類中的每一個點的左方，那麼存在且存在唯一一點，產生了把所有的點分成兩類的分劃，直線分成兩部分的分劃。」（[8]，p.11）

戴德金在第四部分「無理數的構造」中明確提出了分割的概念。

他說：「在第一部分，已經指出每一個有理數a 將實數系 R 分為兩類，使得第一類A1中的每一個數a1小於第二類A2中的每一個數a2；數 A 或者是第一類A1中的最大數，或者是第二類A2中的最小數。現在，如果給出這個數系R 分成兩類 A1和A2的任意分劃，使得它只滿足這種特徵，即A1中的每一個數 a1小於 A2中的每一個數 a2，那麼簡潔地講，我們稱這種分劃為一個「分割」（英文：cut；德語：Schnitt）， 並 把 它 記 作（A1，A2）。」（[8]，pp.12-13）

戴德金用德語 Schnitt 來表示分割，具有直觀性、可視性，這是源於古希臘的歐幾里得幾何。

當然有理數也產生無窮多個分割，因為它能夠把數集分為兩部分。「但不管什麼時候我們都必須處理非有理數產生的一個分割（A1，A2），這樣，我們就構造出了一個新數，並且是無理數，我們認為它完全可以由（A1，A2）這個分割來定義；我們會說數A 對應於這個分割，或者說它產生了這個分割。」（[8]，p.15）

這種分割就定義了一個無理數，或者說這個分割就是一個無理數。這是因為，我們相當於在全部有理數集合中「定義」了一個確定的分割，A1和A2趨於相交。為使這兩個集合相交，這個分割須用某個「數」填充起來，由上述條件可知，這個數不可能用有理數來填充，或者說不可能與有理數相對應。

因此，全部可能的分割組成了數軸上包括有理數和無理數的每一個點，統稱為實數。有了實數的分割概念。為了得到所有實數有序性的基礎，還必須研究任意兩個分割的關係。

於是戴德金給出了一個分割大於另一個分割的定義。他證明實數具有以下性質：若α＞β且β＞γ，則α ＞ γ；不同的實數 α 和 γ 之間存在著無窮多個數；若全部實數劃分成兩類，且其中一類中的每一個數均小於另一類中的每一個數，則必存在一個且僅存在一個數產生這個分割。

此外，分割也有加法和乘法運算，其加法和乘法滿足交換律和結合律。因此就可以證明原先未被嚴格證明的公式√6= √2 × √3。

我們知道，在數學史上有三次大的危機，第一次數學危機是在古希臘時代由無理數引發的，到那時仍懸而未決。而戴德金以連續性為起點，通過有理數的分割給出無理數的定義，將實數理論建立於嚴格的科學基礎之上，從根本上消除了這一危機。因此，其重要性不言而喻。

三、追尋自然數的基礎：數是什麼？

戴德金解決了連續性問題，用有理數的分割定義了無理數。換句話說，他的無理數概念以有理數為基礎，而要建立起嚴密的邏輯，接下來就要考慮有理數的生成問題。而我們知道有理數以自然數為基礎，所以實際上就是要進一步考慮自然數的生成問題或者說自然數的基礎是什麼？戴德金乘勝追擊，1872-1878 年集中精力研究自然數的基礎，順利得到了他的自然數理論，寫作成書，在1888 年正式出版，這就是富有哲學意味的《數是什麼？數應當是什麼？》（Wassind und WasSollen die Zahlen?）。

戴德金開篇明義，在這本書的序言中明確亮出了自己的觀點。他說：「算術（代數、分析）作為邏輯的一部分，我想說明我認為數的概念完全不依賴於空間和時間的表象或直觀，我認為它是一種思想規律的直接產物。我自己對在這本書的題目中所提問題給出的答案，可以歸納為：數是人類心靈的自由創造；數能更簡潔地理解事物的差別。只有通過純邏輯的過程建立數的科學並因此獲得連續的數域，我們才能研究時空，即把時空與我們心靈創造的數聯繫起來。」（[8]，pp.31-32）

戴德金在 38 頁強調說：「於我而言，所有更美妙的事情是，無須任何度量性質的表象，只簡單地通過有限的思維過程，人們就能進一步構造出純粹的連續數域；並且以我看來，只有通過這種方式，人們才能把連續空間的表象變得清晰和明確。」（[8]，p.38）

這本書共有14部分。內容主要包括：元素集合、集合的映射、映射的相似性和相似集合、集合到自身的映射、有窮和無窮、單無窮集合與自然數列、較大和較小的數、數列的有限和無限部分、歸納定義數列的映射、單無窮集合的分類、數的加法、數的乘法、數的冪、有窮集合中元素的數（包括計數、基數、序數及其初等性質等）。

戴德金崇尚提出概念和定理，在這本書中，他給出了 100 多個概念和定理。戴德金首先詳細地討論了集合的概念。

他說：「 經常發生的事情是，出於某種原因，不同的事物a, b, c, ...，可以通過一個統一的觀點來研究，可以在大腦中發生聯繫，我們說它們形成一個集合 S；我們把事物a, b, c, ...稱為集合 S 的元素。」（[8]，p.45）

他還給出了集合的並和交、一個集合到另一個集合的映射以及相似映射。他說：「一個集合S的映射 Φ 稱為相似的，當集合中不同的元素 a，b總是映射到不同元素a"=Φ(a)，b"=Φ(b)上。」（[8]，p.53）也就是說，相似映射指不同元素總是映射到不同元素上。

他藉助相似性給出了第一個無窮集合的準確概念。一個集合是無窮的，當它與自身的一部分相似。用現代的術語來說，就是等價於它自身的真子集。因此，自然數的集合N 與其真子集 N2是相似的。

他引進了關於一個映射的「鏈」的概念。若是一個集合 S 到其自身的映射，則S 的一個子集 K 稱為關於映射 Φ 的鏈。他對無窮集合和有窮集合再次進行了區分，認為無窮集合總有一個到自身的真子集的相似映射，而有窮集合則沒有這種映射。他引進了單無窮集合這個重要概念。戴德金還給出了單無窮集合的條件。如果一個集合N 為單無窮集合，則存在一個映射 Φ和 N 中的一個元素，滿足：

（α）Φ (N)∩ N；

（β）N=10；

（γ）1 Φ(N)；

（δ）Φ 為相似映射。

戴德金明確給出了：一個單無窮集合 N 的元素是自然數或序數，簡單說就是數。滿足這樣條件的N能夠按照映射 排成一個順序，從而形成一個數列：1, Φ(1),(Φ(1)), ...。因此，戴德金的映射 Φ實際上是將 N 中的一個元素映射到它的後繼數上。特別值得注意的是，這是數的一個抽象定義，因為已經沒有元素的具體內容。這是思維觀念的進步。

戴德金雖然沒有明確講出上面的四個條件就是自然數的公理，但是他從這些條件推導出了自然數的其他性質，也就是給出了自然數的公理基礎，他的最基本的概念就是數字1 及其後繼函數。戴德金認為，所有滿足算術公理的事物均可以被認為是數的代表，所以數只有處於一定的結構當中才會有其自身的存在。這就使得自然數的概念發生了變化，從直觀上的清晰過渡到有了嚴密的邏輯。

在戴德金 1888 年發表這些成果後的第二年，也就是1889 年，義大利數學家朱塞佩·皮亞諾（Giuseppe Peano，1858-1932） 引 用 了 戴 德 金 的成果，形成了一個等價的但是更簡潔的公理集合，成為現在標準的公理集合。由這個建立在公理基礎上的自然數體系，應用減法能夠得到整數系，應用除法能夠得到有理數系。這樣，我們本節一開始所說的尋找有理數的基礎也就解決了。康托爾通過計算有理數列的極限得到了實數系，戴德金應用戴德金分割也能得到實數系。如此一來，連同魏爾斯特拉斯的ε?δ定義等成果，他們共同把微積分建立在了一個堅實的基礎之上，從而使得有效性不成問題的微積分達到了數學的嚴密性要求，消除了動蕩兩百多年的第二次數學危機。

四、將理想數升級為理論：理想論

戴德金在理想論方面的工作要從狄利克雷說起。1855年高斯去世，空出了數學教授席位，狄利克雷來到哥廷根大學接替了高斯的職位。這件事情對戴德金的影響非常之大。戴德金聽了狄利克雷的一些課程。這為戴德金的學習和研究注入了新的活力。他們很快成為形影不離的摯友。

當 時， 保羅·巴赫曼（Paul Bachmann，1837-1920）是哥廷根大學的學生，後來回憶到，他和戴德金只是面熟，因為戴德金經常和狄利克雷一起到校和離開，完全令他黯然失色。

戴德金自己在 1856 年 7 月的一封信中寫道：

「對我最有用的是幾乎天天與狄利克雷交流，與他在一起，我第一次開始恰當地學習；他一直對我和藹可親，並且開門見山地告訴我需要彌補的漏洞，同時給我提供怎樣做的指引和方法。我已經感謝了他無窮多的事情，無疑將來會更多。」[3]

在向狄利克雷學習的過程中，戴德金開始研究理想以及代數數論的問題。1832 年，高斯為了解決高次互反律問題引入復整數（即a b√-1 型的數，其中 a, b 是有理整數），解決了四次互反律問題，並對這種復整數，證明了唯一素因子分解定理，即算術基本定理。雅可比等人在此基礎上探討互反律問題，而一般高次互反律問題最終為庫默爾解決。1844年，庫默爾引入理想數，實現了分圓數域上的因子分解。若一個理想數可以表示為另一個理想數與復整數之積，則稱這兩個理想數為等價。庫默爾證明了理想數在這種等價之下分為等價類。分圓數域的類數是有限的。（[6]，pp.58-63）

庫默爾的學生眾多，但戴德金卻是他最忠誠的門徒，因為他發揚了庫默爾的理想數，建立了嚴謹的理想理論。美國數學家和科幻小說家埃里克· 坦普爾· 貝爾（Eric TempleBell，1883-1960）在《數學大師》一書中把他和庫默爾稱為「算術二世」，並一起介紹。[9]

戴德金大約從 1856 年起長期研究庫默爾的理想數。戴德金在集合意義上提出理想概念。戴德金的觀點是：理想數為其整除的所有復整數的集合。所有復整數的集合被戴德金稱為理想（Ideale）。

他證明了在所有分圓整數子集中，理想可以由以下兩條性質來刻劃：

（1）一個理想中任何兩個分圓整數的和仍在這個理想中；

（2）一個理想中的分圓整數與任何分圓整數的乘積仍在這個理想中。[10]

理想數為數，理想為集合。由此，實現了從數到集合的推廣。此後，理想論又從分圓數域推廣到代數數域、數環以及一般的環上。[11]這種逐層的深化和拓廣使得理想論擁有了越來越高的理論層次。（[6]，pp.58-63）從1871 年至抽象代數學正式建立這段時間，它成長為一種相對獨立的數學理論，產生了大量應用，影響深遠。

代數整數是通常有理整數的推廣，戴德金建立起系統的代數數論。他還引進代數數及代數整數的概念，他定義了體（K?rper），通過將有理整數的同餘理論進行推廣得到模（Modul）這個概念，推廣可除性理論得到素數和單元的概念，定義了理想、整除和素理想。這都是代數數論中最基本的概念。[12]

他還進而給出兩個理想的乘積的定義，得出了理想論基本定理。代數整數和有理整數存在一個很大的不同，一般的代數整數不能唯一分解，這體現在代數數域理想的類數問題上。可以根據等價關係將理想分成理想類。[13]戴德金對於一般的代數數域，引入了戴德金ζ 函數，並用這個函數在極點 s=1 的殘數來計算類數，得出計算公式，成為以後計算類數的基礎。

戴德金還從 1871 年開始研究了代數數域的分岐理論，給出了共軛差積的定義，他將其稱為基本理想（Grundideal），得到兩條主定理。1882年，證明了德金判別式定理。戴德金所建立的代數數論後來為希爾伯特所發展。戴德金在1901 年的文章「所有代數數域的置換」中首次談到了無窮次擴域，沃爾夫岡·克魯爾（WolfgangKrull，1899-1971）在1928 年發展了這個理論。[14]

戴 德 金 把 這 些 創 新 成 果 作 為 附 錄 編 輯 在狄 利 克 雷 的《 數 論 講 義 》（Vorlesungenüber Zahlentheorie）1871、1879 和1894年版本中。[15]-[17] 實際上，在狄利克雷去世後，戴德金就負責編輯狄利克雷的講稿，1863年出了第一版。愛德華茲曾經提到：

「雖然本書確定是以狄利克雷的講稿為基礎，並且儘管戴德金自己一生當中都稱這本書是狄利克雷寫的，但是在狄利克雷去世後，餘下的大部分是戴德金寫的。」（[1]，p.11）

戴德金建立了代數數域中整數環的理論。戴德金還有許多其他成就。比如：1882年與海爾里希·韋伯一起在代數函數論上推廣代數數論的成果。1877 年，引進模函數 J（τ）的概念，預示了自守函數論，研究了純三次代數數域等。他還在1858年給出了有限群的一個抽象定義。1897年，他在研究群論時引進換位子和換位子群的概念，證明了一個群的換位子的集合組成正規子群。他在環論和格論方面也有貢獻，並且是格論的創立者。戴德金的思想影響廣泛，包括希爾伯特、愛米·諾特在內的眾多數學家都繼承了他的數學思想衣缽。

五、結語

科學一般沿著兩個方向發展。一是內省，這包括對某些特定領域基本概念的辨析和研究。二是向外拓展，這也就是構造，更為引人注目。但內省的方向是哲學和邏輯的任務。戴德金創造數學的方式，大多是依靠自己有洞察力和有抽象能力的頭腦，而不是依靠巧妙的符號表示和對公式的熟練運用。因為高斯認為算術的真理應該從概念而不是從記號得出來，所以戴德金的這一點也是最受高斯賞識的。

戴德金通過他創造的概念和理論並用簡潔清晰的形式表達出來，極大地改變了數學的面貌，使之成為了我們今天熟悉的樣子。他一生積極追求，勤耕細作，在周圍營造了良好的學術和生活環境。他不但自己做出了偉大的成果，而且樂於為他人服務，編輯了高斯、狄利克雷和黎曼的全集，使之代代流傳。他潛心教學，在教學中進行研究性思考，是教研相長的典範。在他長壽的一生當中，他的心靈雖然沒有長出愛情之花，但是卻開滿了數學之花和友誼之花。換句話說，他用一顆對待數學的真心，播種出了美麗的數學碩果，而這些數學果實也將他搏動過的心音傳唱至今，並可以預見，將會直至永遠。

[ 參 考 文 獻 ]

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2ndEdition. Braunschweig: Vieweg, 1871.

[16]Dirichlet,P. G. L. Vorlesungen über Zahlentheorie[M].

3rdEdition. Braunschweig: Vieweg, 1879.

[17]Dirichlet, P. G. L. Vorlesungenüber Zahlentheorie[M].4th Edition. Braunschweig: Vieweg,1894.

[ 責任編輯 王大明 柯遵科 ]

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