到底什麼是「數學思維」？
作者 | 小魚老師
轉載自肺魚思維小魚數學（xiaoyushuxue）
一直在被問。
小魚數學教的是奧數嘛？
不完全是。我們的知識基礎確實是奧數體系，但側重點不同，我們的重點不在於技巧和知識，而在於數學思維的培養。
那所以，到底什麼是「數學思維」？
最近一年來，由於政策上的號召，許多「數學思維」如雨後春筍般冒出尖來，各種傳統奧數培訓機構也跟著轉型，統統轉成了」數學思維」。這讓五年前就說自己是「數學思維」的小魚數學很尷尬啊，只好開始新一輪的解釋。
好吧，今天我就好好給大家解釋一下，我們眼中的「數學思維」到底是什麼。
2013年，我剛開始寫教材。那時候還沒有海星大王和小海，剛創作出小魚、泡泡和萌萌，整個小魚魔法故事也剛有雛形，講的是「小魚和他的好朋友智斗蟹校長」的簡單故事。
我寫的第一個系統的故事課程叫做「黃金八講」，一共8節課，打破傳統奧數用題型分模塊的方式，提出了八大數學思維，打散題型從思路出發。當時便總結出了有序思考、規律思考、正向思考、逆向思考、整體思考、分組思考、邏輯思考和發散思考八種基本的數學思考方式，也就是數學思維。
這是一套沒有「市場」的課，幾乎沒有年級門檻，一節課學完很難說你學了什麼」知識「和」題型」，沒辦法給家長足夠的價值感，甚至連課堂筆記都不太好做。畢竟思維這種東西，很難用公式和定義落實在紙面上。所以隨著小魚數學系統課程的問世，它很快就淡出歷史舞台。
但「數學思維」沒有謝幕，它一針一線地編織到了我們每一節課程中。
1、有序思考
什麼是「有序」？
我認為一是要有「順序「，二是懂得」分類「。
我想「順序「是整個數學學科存在的原因。想想我們老祖宗可能就是希望能理清楚我們到底有多少頭羊多少頭牛，才設計了數學的表達方式。所以只有一個「有序」的人才可能學好數學。
簡單舉個例子。問你啊，十二生肖都有誰？我猜你馬上就會開始「子鼠丑牛寅虎卯兔「，沒錯，這樣特好記對吧？那如果現在要求你亂序說出這12個動物呢?亂序，不能有一點順序，想到哪個說哪個。
有點難吧？別說十二生肖了，你亂序說說1-10十個數字都困難。非常容易重複和遺漏。
當然，聰明如你可能很快就找到不按照1、2、3、4、5、6、7、8、9、10的順序來說，比如1、10、2、9…… 比如1、3、5、7、9、2、4、6、8、10……這不也是「有序」的嘛？所以尋找秩序就是我們的本能，可以方便和簡化我們的生活。
「有序」的思考方式在數學裡最突出的一種表現方式就是枚舉法。在數學中，尤其是高階數學，常常遇到一些題目有許多可能性，孩子就懵了。但只要是有限的可能性，那就按照順序排著找也能找到答案啊。大概也是基於這樣的信念，才有了後來的計算機技術。
有序思考
6個同樣的蘋果放到3個同樣的筐里，有多少种放法？
關於這道題，不能想到哪個說哪個吧？你最好按照順序從小到大去想，才能不重不漏的找到所有答案。這個題目非常好，因為有很大的延展空間。我還可以問你「6個同樣的蘋果放到3個不同的筐里」，「6個不同的蘋果放到3個同樣的筐里」，「6個不同的蘋果放到3個不同的筐里」。
這幾個問題本身就是一種「有序思考」的體現，如果你能潛下心來研究，可能會收穫4種不同類型的計數題型。
做做試試？有意思吧？
所以我反對題海戰術，你做「6個蘋果」的題目，再做「7個蘋果」「8個蘋果」，練多了就成了熟練活兒，但我把題目改一個字，把「同樣」改成「不同」就完全變了邏輯。所以不如花更多時間研究一道題，剛才我問的這四個問題你若是都能弄明白，那這一類題目就算是徹底弄明白了，等到高中學排列組合也通了。
讓孩子建立起順序和分類思想，就像在腦海中搭起一個架子，這樣再儲存和提取任何信息都會非常有效率。有序思想是數學最核心的思想，也是數學之所以產生的原因，這種思想的建立不僅可以幫助孩子們解決具體數學問題，更重要的是可以培養一種解決複雜問題的良好心態，這對於孩子今後的學習和生活都會非常有幫助。
2、規律思考
我一直提倡，要把找規律培養成一種本能。就是你看到1看到2，自然就想去找3，這是一種好奇心和探索欲的體現。
找規律不僅是一種數學題型，更是一種科學精神，是我們所有已知知識被發現的主要原因，擁有了找規律的本能就擁有了主動思考的能力，主動性一旦建立起來，學習任何知識都會有事半功倍的效果。
規律思考
1111……1是一個一千位數，求他除以7的餘數。
關於這道題，你覺得可能會讓你真的算算看嘛？不會，一方面不太可能，另一方面也沒有意義。
所以這裡面一定有規律！
我經常提醒孩子們，通常你看到省略號，就應該可以開始慶賀了，因為這裡一般都有規律，你只要找到規律了，這事兒就容易了。
那怎麼找規律呢？這就是另一個問題了。
再來一道題體驗一下
規律思考
1，2，（ ）
下一個數字填幾？
看到題，很自然地就喊出了3吧？但一定是3嘛？
1，2，4行不行？1，2，4，8，16……是不是有規律？每次都×2呀。
1，2，5行不行？1，2，5，10，17……有規律嘛？相鄰兩個數差地剛好是1、3、5、7……
1，2，6行不行？1，2，6，24，120……行么？依次×2，×3，×4，×5……
所以1，2，後面填誰都行，從1到2可能是 1，也可能是×2，還有可能是其他的計算方式，一個現象如果只出現一次那不叫「規律「。
我希望孩子擁有找規律的本能，並且能夠獨立思考，不受慣性思維的束縛和影響。
有序思考和規律思考是我認為最重要的兩種數學思想，也是數學最有魅力的地方，如果我們學了很多題型擁有了很多數學技巧，卻不能把有序和規律深入到我們的血液中，那數學真的算是學偏了，就好像繞著花園轉圈圈，大門口照了張到此一游的照片，沒有能真正看到花園的美。
3、正向思考
顧名思義，就是正著思考問題。在這個部分中我想強調兩個東西。
一是步驟感。凡事要一步一個腳印去完成，不要跳步驟，要能夠獲得階段性的結論。
比如經常看到孩子做應用題，一股腦所有的條件讀下來，一個字都沒讀進腦子裡去。這可不行，我們強調在讀題的時候每一步都要得出一個結論。你看到「小魚每分鐘走40米」，接著腦子裡的反應就是「我知道了小魚的速度」；你看到「泡泡5分鐘吃了100個饅頭」，接著腦子裡的反應就是「泡泡1分鐘吃20個」。不用管題目後面問什麼，你讀一句就要有一句的結論，這樣每一步都穩穩噹噹，可能自然就走到了答案上。
二是學會建模。很多老師會把倒推建模放在逆向思考中，我認為不是的。能倒推的基礎就是能正著走過來，常常是建立在正向思考的基礎之上。
正向思考
小魚有一堆蘋果，第一次吃掉了一半，第二次吃掉了剩下的一半，第三次吃掉了4個，還剩6個。問小魚一開始有幾個？
這個題目是典型的倒推法，很多孩子就倒著往回推，就很容易錯。這就像減法比加法難，除法比乘法難一樣。所以我們提倡先正著把整個過程畫出來，主要有以下三種方式：
不管使用哪種方法，都是先正著理清過程，鋪好路，然後再倒著走回來。
正向思考是解決複雜問題的一種基礎工具，同時也是一種很好的思考習慣，踏踏實實步步為營。
4、逆向思考
逆向思考是與正向思考相對應的一組思考方式，能正著想自然也能倒著想。這裡的「倒「，我認為也有兩種含義。
一種是方向上的。
逆向思考
1 2 3 4 5=6，讓你在中間的空格中填上合適的運算符號，使得等式成立。
如果正著去想1、2、3、4、5怎麼湊個6，就有點費勁了，這就好像一個迷宮有許多入口，你都不知道要從哪個口進。
既然結果只有一個，那我們就試著從後面往前推，先去想最後一個空，前面1234會得到一個結果，這個結果與5運算得6，那最容易想到的就是1 5=6，所以就是1234要湊一個1。四個數去湊一個結果就容易一些了吧？以此類推，倒著找回來。
另一種是範圍上的。
逆向思考
1到100中有多少不含數字7的數呢？
這道題，你去正著研究不含數字7的就很難，不信你試試。但是「含有數字7「的就容易一些，可以直接分類為」十位有7的「和」個位有7的」，再把十位個位都有7的去掉一次重複的就好。
這就是排除法了，有時候就是正著想方法太多，而如果思考他的背面或者反面，去一一排除，可能剩下的就是正確答案。福爾摩斯不是有句名言嗎，當你把所有其他可能性都排除掉，那剩下的那個無論多不可思議，都是正確答案。
我希望通過這樣一個部分讓孩子了解思考問題的兩種方向，正著想，如果不行就反著想，都去尋找答案，從常規中跳脫出來看到更多可能性，這樣就不會把自己局限住，就可以擁有更多解決問題的方法。
5、整體思考
整體思考強調的是大局觀，希望孩子們能站到一定的高度去思考問題。
比如我們經常在朋友圈見的「假錢問題」：
整體思考
柴柴拿著一張50塊的錢來買蛋卷，一盒蛋卷10塊錢，掌柜的要找她40塊。但掌柜沒有零錢，就去找賣糖葫蘆的兌了5張10塊零錢，給柴柴找了零。而賣糖葫蘆的回來找，說這50塊錢是假的，沒辦法，掌柜又去找賣地瓜乾的借了50塊錢，還給賣糖葫蘆的。請問掌柜一共賠了多少錢？
很多人就跟著這個複雜的流程繞暈了，追著細節走就只能看到細節。那我們整體來看，反正一共四個人，有人賠就有人賺，都是內部循環。那現在賣糖葫蘆的和賣地瓜乾的有賺賠嗎？當然沒有，跟他們本來也沒啥關係嘛。兌零錢的雖然是假幣，但已經換了真的；借錢的也遲早要還的。所以掌柜賠的就是柴柴賺的。
那柴柴賺了多少呢？他來的時候帶了一張假幣，那就是沒有價值，空手套白狼，走的時候帶著10塊錢的蛋卷和40塊錢的零錢，就是賺了這50塊錢。所以掌柜賠了50塊。
當然，如果題目還有蛋卷的成本，那就需要再多算一步了。總的來說，整體來看就沒有那麼複雜。
很多孩子在學習和生活中都容易鑽牛角尖，沒有從更高的角度來觀察事情，這樣就容易偏離自己原來的目標和方向。我經常說，我希望我的孩子們能「心中有天下」「胸中有丘壑」，這也是一種更豁達更健康的人生態度。
6、分組思考
這明顯就是與整體思考對應的，一個是強調建立大局觀，一個是強調建立組別概念，研究細節，一個著眼大，一個著眼小。
分組思考
往圓圈裡分別填入1、2、3、4、5、6、7，使得每條線上三個數的和是一樣的。
關於這道題，七個空從哪裡開始呢？你可能比較容易想到從中間開始，那……然後呢？
事實上你要先看破一件事情——除了中間這個數之外，剩下的6個數需要能夠兩兩分組，每組的和要相同，剛好分別放在每條線的兩端。
所以題目就變成了——從1到7中去掉一個數後，剩下的6個數如何兩兩分組。那就需要像蹺蹺板一樣保持平衡，比如如果中間是1，那234567就需要27一組，36一組，45一組，連連線剛好是漂亮的彩虹橋。但2如果放在中間就做不了這麼平衡漂亮的彩虹橋了。
分組思考中，我想強調的是把整體分為幾個部分，用一個個部分來分析和解決問題，因為這世界上的很多事情本身就是成組成對出現的，如果你能發現這其中的規律和套路，就會建立一種捷徑，擁有新的角度，也就是傳說中的各個擊破。
7、邏輯思考
邏輯是數學的本質，也是很多人喜歡數學的原因，如果邏輯感建立起來，不僅數學學得好，也會有更強的思維能力，頭腦會比較清晰，不糊塗。
我把邏輯思考從大類上分為兩個基本思路，一是排除，二是假設。
排除就是：我告訴你「一個人不是男的」，那你就可以推理「這是個女的」。把「不是的」去掉，就是「是的」。
假設就是：我不知道「一個人是男的還是女的「，那你接下來可以假設他是男的，然後跟著他驗證一下，發現他在商場里直接進了女廁所，那說明你前面的假設矛盾了，那就是女的。
我舉這兩個也許不是很恰當的例子是為了讓你感受排除和假設的區別，一個是解決「確定的問題「，一個是解決」不確定的問題「。大致邏輯方法都可以歸到這兩種基本思路下。比如常用的表格法、數軸法都是排除思想的一種體現；比如數獨有那麼多方法，但歸其根本也是排除和假設，或者二者結合。
邏輯不只是在數學中能夠體現，說話辦事都是邏輯能力的一種反映。我經常提倡孩子們多用邏輯連詞，」不但而且「」雖然但是「「因為所以」之類的，可以迫使我們尋找邏輯的根源，慢慢變得越來越愛思考，擁有更多看待問題的角度。
8、發散思考
這看上去又是跟邏輯思考相對應的。No，這次還真不是。
很多人覺得「發散」就是漫天胡思亂想，但我認為發散本身就需要有邏輯，在有邏輯的基礎上才能發散出更多奇妙的想法，這就是傳說中的聯想，人類文明史上那麼多神奇的傳說哪一個不是有原型的呢？天使的翅膀跟鳥一樣，天上的神明都是人的模樣。所以如果想要擁有一個具有發散思維的腦袋，還是需要多積累，在積累各種經驗的基礎上去放飛自己的想像。
發散思考
小魚和泡泡家剛好在一條筆直的馬路上，海底魔法學院也在這條馬路上。已知小魚家距離學院200米，泡泡家距離學院300米，請問小魚家和泡泡家距離多遠呢？
不知道你能不能一眼看出來這有兩個答案，第一種是兩個家在學院同一邊，第二種是兩個家在學院兩側。這種多個答案的題目通常也是需要建立在邏輯之上，如果你要畫個圖，畫一條直線，畫上海底魔法學院。接著畫個小魚家，但要畫泡泡家的時候就會遇到一個問題，是畫在一側還是兩側呢？現在這是不確定的，那就要假設了，假設兩次就得到了兩個答案。
發散也要有邏輯。這就像現在很多人提倡的思維導圖，有邏輯框架才有想像力和聯想力發揮的空間。
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