數學培優(4)，利用三角形的特殊性質，解決幾何難題
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掌握基本圖形分析法是提高几何解題能力的一種基本方法，通過對幾個典型基本幾何圖形的剖析，可以弄清圖形中隱含的一些基本位置關係或數量關係.從而找到一些常見的處理幾何問題的基本方法。
今天具體講講等腰直角三角形的特殊性，結合例題我們慢慢學。
培優題:如圖，已知BD是等腰Rt△ABC腰上的中線，AE丄BD於點E，AE的延長線交BC於點F，連接DF，求證：∠ADB=∠CDF。
[解答]
方法一
證明：作AG平分∠BAC，交BD於點G
∵∠BAC=90°，AE丄BD,
∴∠DAE+∠ADB=∠ABE+∠ADB=90°
∴∠ABG=∠CAF,
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=AC,∠C=∠BAG=45°，
在△BAG和△CAF中，
∠ABG=∠CAF，AB=AC，∠C=∠BAG=45°，
∴△BAG≌△CAF(ASA),
∴AG=CF，
在△AGD和△DFC中，
AG=FG，∠GAD=∠C，AD=CD
∴△AGD≌△DFC(SAS)，
∴∠ADB=∠CDF。
方法二
證明:作GC丄CA交AF的延長線於點G，
∵AE丄BD，
∴△ADE是直角三角形
∴∠DAE+∠ADE=∠AED=90°
∵△BAC是等腰直角三角形
∴∠BAC=90°，在△ABD中:
∠DBA+∠ADE=∠BAC=90°
∴∠CAG=∠ABD
∵在Rt△ABD和Rt△CAG中:
AB=AC，∠CAG=∠ABD，∠A=∠ACG，
∴Rt△ABD≌Rt△CAG(ASA)
∴AD=CG，∠ADB=∠CGA，
∵Rt△BAC是等腰直角三角形
∴∠ACB=45°.
∴∠FCG=ACB=1/2∠ACG=45°.
∵BD是Rt△ABC腰AC上的中線，
∴AD=DC，
∴CD=CG=AD，
在△CDF和△CFG中:
CD=CG、∠DCF=∠CFG、FC=CF，
∴△CDF≌△CFG(SAS)，
∴∠CDF=∠CGA，
∴∠ADB=∠CDF。
[題干分析]
已知條件告訴我們，Rt△ABC是等腰直角三角形，我們首先想到兩底角都相等且互余為45°，既然要求∠ADB和∠CDF相等，只有找三角形全等才能解決問題。那麼要想得到解答，肯定要作輔助線，來構造三角形全等。
方法一，作∠A的平分線，由∠BAC為直角，得到其它兩銳角互余，又根據AE與BD垂直，得到三角形ADF為直角三角形，故兩銳角也互余，根據同角的餘角相等即可得證.
方法二，作邊AC上的垂線，利用等腰直角三角形的特殊性，構造三角形全等，達到解決問題的目的，中間的過程就不展開說了，大家看一下解題步驟就一目了然。
[解題反思]
當我們向三角形的某邊作高時；當遇到角平分線，我們的角的兩邊作垂線時；當我們作某點關於一條直線的對稱點時，直角三角形隨之產
生.直角三角形兩銳角互余；直角三角形全等除了可以用SAS,SSS,ASA,AAS判斷之外，還可以用HL判斷；等腰直角三角形除了具有等腰三
角形的性質外，還具有其他的性質，如等腰直角三角形的每個底角都相等，都為45°；等腰
直角三角形的有關問題可以從三方面著手：
⑴ 等邊、等角的轉換。
⑵ 進行軸對稱變換.
⑶ 進行旋轉變換.
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