物理定律對稱之美，物態對稱破缺之美

　　來源：返樸

　　在我們的自然界中，萬物的行為並不是雜亂無章無理可循的。那麼萬物的運行到底遵循什麼道理呢？在我們嘗試理解萬物之理的過程中，守恆量起到了至關重要的作用。物質不會無中生有，也不會憑空消失，所以我們有質量守恆。能量也不會無中生有，也不會憑空消失，所以我們有能量守恆。在下文中，我們將介紹守恆量和物理定律的對稱有著怎樣的千絲萬縷的聯繫。這一令人驚艷的深刻認識使得對美的追求，成為物理中的一種時尚、一個潮流，甚至成為一些人追尋宇宙真理的導航燈塔。

　　——文小剛

　　在藝術中，對稱性給我們帶來美感。那麼，在物理中對稱性到底有多重要呢？這麼說吧，如果沒有對稱性作指導，愛因斯坦不可能發現相對論，當代的理論物理學家們會像失去了燈塔一樣集體在黑暗裡抓瞎。物理學大師費曼曾經說過，如果讓他選擇一句話來概括現代科學最重要的發現，他會選「世界是原子組成的」。許多當代最著名的物理學家們認為，如果有機會再選一句，那麼所選的將是「對稱性是宇宙規律的基礎」這句話。

　　什麼是對稱？

　　一提到對稱，許多人腦海里會浮現類似天安門這種嚴格左右對稱的建築，或者六個瓣的雪花，鏡子里帥帥的自己，亦或者是純粹的圓形、正方形、正六邊形這樣的幾何圖形。

　　沒錯，這種幾何里的對稱是我們最容易想到的。仔細想一下這些對稱，我們會發現它們有的是以中間一根軸對稱（天安門），有的是圍著一個點旋轉對稱（雪花、圓形、正方形），還有的是相對鏡子里的鏡像對稱。當然，天安門的那種軸對稱你也可以認為它是在天安門中間插了一面鏡子，不過這個不是重點，我的重點是：對稱的標準可以是多樣的。

　　對稱性的精確數學定義涉及到不變性的概念：如果一個幾何圖形在某些操作下保持不變，我們就說這個圖形在這些操作之下具有某種不變性。

　　一個圓無論你旋轉多少度，這個圓看起來還是那個圓，它沒有任何變化，我們就說圓這個圖形在旋轉這個操作下具有不變性，簡單的說就叫圓具有旋轉不變性。同樣的，我們用鏡子去照一個圓，鏡子里的圖形依然是一個圓形，通過鏡子照的這個過程我們可以稱之為反射，那麼，圓也具有反射不變性。可以想像，三角形、正方形乃至任何幾何圖形在鏡子里依然是這樣的圖像，所以它們都具有反射不變性。

　　這是我們辨別對稱常用的思維，但是物理學家們卻更喜歡另一種思維。

　　以旋轉不變為例，我們判斷一個圖形是否具有旋轉不變性，是去嘗試著把這個圖形給轉一下，看看他跟以前還是不是一樣的。這是觀察者不動而圖形動，但是物理學家們更喜歡使用另外一種方法：圖形不動，觀察者動。

　　什麼意思呢？比如物理學家們判斷一個圓形是否具有旋轉不變性，他不是去旋轉這個圓看他變沒變，而是去旋轉觀察者，讓觀察者從不同的角度去看這個圓，看他們看到的是不是同樣的圓，如果是一樣的就說圓具有旋轉不變性。因為運動具有相對性，所以觀察者不動旋轉圓和圓不動旋轉觀察者本質上並沒有什麼區別。物理學家們的這種處理方法會使在處理複雜問題的時候變得簡單很多，後面你就能體會到了。

　　上面我們說的對稱都是指幾何圖形的對稱，但是物理學家們並不關心幾何圖形，他們關心的是物理定律，也就是是物理定律的對稱性。初次聽到這個詞很多人可能會感覺到奇怪，幾何圖形對稱好理解，什麼叫物理定律的對稱性呢？物理定律不是一堆公式么，為什麼會去考慮他們是否對稱的問題？

　　物理定律的對稱

　　要理解物理定律的對稱性，我們就要把腦袋裡幾何圖形對稱的那個圖景忘掉，回到對稱更一般的數學定義上來。我們上面也說了，對稱性的精確數學定義會涉及到不變性這個概念：如果一個幾何圖形在某些操作下保持不變，我們就說這個圖形在這些操作之下具有某種不變性。

　　我們把上面的幾何圖形換成物理定律，就可以很自然的得到一個物理定律是否對稱的判斷標準：如果一個物理定律在某些操作下保持不變，我們就說這個物理定律在這些操作下具有某種不變性。

　　還是以旋轉操作為例，我們來看看牛頓運動定律在旋轉這個操作下是否保持不變，也就是說看看牛頓運動定律是否具有旋轉不變性。答案是很明顯的，比如一個蘋果從樹上落下，我們不管是從樹下仰視，從樹上俯視，還是從遠方平視，甚至是從飛機上看，我們都會看到蘋果的下落過程符合牛頓的運動定律：蘋果朝著地心的方向加速飛去。一個俯視蘋果下落的牛頓和一個仰視蘋果下落的牛頓不可能總結出兩個運動定律出來，這就是說牛頓定律符合旋轉不變性，也就是說牛頓定律在旋轉這個操作下具有對稱性。

　　我們想想，不止是牛頓定律，我們現在發現的任何定律都符合旋轉不變性，也就是旋轉下的對稱性。麥克斯韋的電磁學也好，愛因斯坦的相對論也好，量子力學也好，如果我們從不同的角度去看他們就會得到不同的電磁學規律、相對論那還得了？

　　我們再往深層想一下，旋轉不變性的本質其實是空間的各向同性。也就是說，只要空間在各個方向上都是均勻的，都是一樣的，不存在空間這邊密度大一點那邊密度小一點，那麼觀察者從不同方向看到的物理定律就肯定是一樣的，即這些定律肯定具有旋轉不變性。

　　在這裡，我們看到了物理定律的旋轉對稱性居然和空間本身的性質聯繫起來了，有沒有隱隱約約感覺對稱性不只是看起來好看，好像還挺有用呢？別急，這才看到對稱性威力的冰山一角，對稱性的威力還大著呢。

　　諾特定理

　　物理學家研究對稱性絕不是圖好玩，是因為對稱性里蘊含了巨大的能量。要充分理解對稱性的威力，我們必須先了解一個核彈級別的定理：諾特定理。

　　諾特定理，顧名思義是一個叫諾特的科學家發現的定理，這個科學家叫埃米·諾特，是位著名的女科學家，被愛因斯坦形容為數學史上最重要的女人，還被稱為現代數學之母。諾特在數學上的成就我這裡不多說，她在物理學上最重要的成就就是發現了現代物理學燈塔，讓現代物理學家們不再抓瞎的諾特定理。

　　諾特定理的表述非常簡單，就一句話，但是內容非常深刻，它說：物理學裡的連續對稱性和守恆定律一一對應。

　　我先不做過多的說明，讓大家先把思路捋一捋，這句話里的每一個字我們都懂，它要表達的意思也非常清楚，但是這到底意味著什麼？

　　對稱性和守恆定律一一對應，那就是說每一個對稱性都有一個守恆定律跟它對應，每一個守恆定律也有一個對稱性跟它對應么？那豈不是說我熟悉的能量守恆定律，動量守恆定律也都對應了某個對稱性？那上面的旋轉對稱，反射對稱又對應了什麼守恆定律呢？如果它們之間真的是這樣一一對應的，那麼以後我只要在實驗里發現了新的守恆量，就等於發現了一個新的對稱性么？這太不可思議了……

　　沒錯，上面想的都沒錯，諾特定理說的清清楚楚明明白白，沒有任何歧義，就是這樣！

　　另外，關於諾特定理里連續對稱性的連續，我稍微說明一下：在經典力學裡，像旋轉對稱，我們可以旋轉任意的角度，這顯然是個連續的對稱，而鏡像對稱則要麼是鏡里要麼是鏡外，只能取兩個值，這是不連續的。在經典力學裡，守恆定律是跟連續對稱性一一對應的，但是在量子力學裡，這種差異沒有了，即便是宇稱這種不連續的對稱性也有守恆定律跟它對應。

　　為了讓大家對諾特定理有更深刻的理解，我們先來看看幾個常見的例子。

　　能量守恆定律的對稱性

　　諾特定理說對稱性和守恆定律一一對應，那麼就先從我們最熟悉的能量守恆定律開始。既然能量守恆，那麼按照諾特定理就有一種對稱性與之對應，是什麼對稱性呢？

　　這裡我不賣關子了，直接告訴大家，跟能量守恆對應的這種對稱性叫時間平移不變性。什麼叫時間平移不變性，平移就是時間流逝移動的意思，說得再通俗一點就是：我今天做實驗跟明天做實驗遵循同樣的物理定律。

　　噢，這下子秒懂了！有人說這不是廢話么，一個物理定律如果他今天成立明天不成立，那還叫什麼定律，那我們要這樣的定律還有個鎚子用？沒錯，吐槽得一點沒錯，物理學家們千辛萬苦的尋找各種物理定律，為的就是利用這些定律預測物體未來的運動情況，你如果跑來告訴我這個定律只有這一刻有效，下一刻就失效了，也就是沒有時間平移不變性，那我們還預測個啥啊？

　　所以，顯而易見地，我們目前所有的物理定律都是符合時間平移不變性的，明白了這一點，你就知道為什麼能量守恆定律的適用範圍這麼廣了吧？因為諾特定理告訴我們，只要物理定律是時間平移不變的，那麼他就肯定能量守恆，而時間平移不變看起來這麼強，所以能量守恆也就這麼強了。

　　現在這個關係是對應起來了，但是大部分人腦袋裡肯定還是懵的：為什麼能量守恆定律就是跟時間平移不變性對應，而不是跟其他的對稱性對應呢？具體的證明過程比較複雜，這裡就不說了，有興趣的自己去查資料，我這裡提供一個簡單的思路讓大家直觀的感受一下為什麼如果沒有時間平移不變性，能量就不守恆了。

　　假設物理定律不遵守時間平移不變性，這一秒的定律跟下一秒的定律不一樣。那我把一塊石頭往上拋，讓它剛好一秒鐘達到最高點然後它開始下落，我假設下落時的定律讓同樣大小的引力能夠產生兩倍於上拋時候的加速度，那時候下落到出發點的時候它的速度肯定比上拋的時的初候速度更大，也就具有更大的能量。那麼，在拋一個石頭的過程中它就憑空創造了能量，所以能量顯然就不守恆了。

　　理解了能量守恆對應時間平移不變性之後，後面兩個熟悉的守恆我就直接說結果了：動量守恆對應空間平移不變性（空間平移不變就是說物理定律在北京和在上海都一樣，在不同的空間物理定律相同），角動量守恆對應於我們上面說的旋轉不變性。有了這種概念以後，知道了能量、動量、角動量守恆定律不過是一種對稱性的體現之後，我相信你不會再懷疑對稱性在物理學的重要性了。

　　文章的一開頭，我們提到一個重要的守恆量：物質守恆（也就是質量守恆）。那麼質量守恆起源於哪個對稱性呢？很不幸，我們發現並沒有什麼對稱性對應於質量守恆。難道我們上面對對稱性和守恆量的理解並不完備？難道對稱性並沒有那麼重要？不是所有的守恆量都起源於對稱性？

　　有人也許會說所有的理論和理解都不是十全十美的。總有那麼一兩個反例。可是如果你堅持對物理定律之美的信念，也許你會去懷疑質量真的是守恆的嗎？如果你真的這麼做了，那你將會有一個比肩愛因斯坦的偉大發現。愛因斯坦發現其實質量並不守恆，質量可以轉化成能量，能量也可以轉化成質量。把質量也算進去的總能量才是真正的守恆量，而這一真正的總能量守恆（也叫質能守恆）才對應於我們上面所講的時間平移對稱性。對美的堅持有可能導至出重大的發現，我想你真的不會再懷疑對稱性在物理學的重要性了。

　　材料物質中的對稱性

　　我們知道萬物都是由原子組成的，而描寫原子運動的物理規律有各種各樣完美的對稱性。這是不是意味著原子所組成的物質也都有這些對稱性呢？我們也知道原子可以組成各種各樣千變萬化的物質。這些千變萬化的物質形態到底是從哪裡來的？我們發現答案又和對稱性有深刻的聯繫。

　　大家認為物理定律對稱性越高越美。那由原子組成的物質形態，是不是也是對稱性越高越美？其實具有所有對稱性的物質形態是最乏味的，無美可言。由原子組成的氣體，就是這麼一種物質形態。氣體中的原子呈隨機分布，隨便怎麼平移，隨便怎麼旋轉，還都是隨機分布，有最高的對稱性。而大家認為美麗的晶體，相對於氣體，反而對稱性要少一些。因為晶體中的原子排列成規則的點陣。這些點陣只有在固定量的平移下和固定角度的旋轉一下才保持不變。所以我們說，相對於氣體的最高對稱性，晶體有對稱性破缺。這是一個很有意思的哲理：和物理定律不一同，物態之美是來源於對稱的破缺。具有最高對稱性的物態反而是平凡無味。

　　朗道把這種物態結構起源於對稱破缺的觀念，提升到一個普適的高度。他認為千變萬化的物質態，其本質的不同就是來源於不同的對稱性破缺。兩個對稱性完全相同的物態，總可以平滑連續的變成對方，屬於同一個相。這一深刻的洞察、導致了朗道關於物態及其相變的對稱性破缺理論。這一理論是描寫物質的凝聚態理論的一個基石。

　　有很長一段時間，大家認為朗道的對稱性破缺理論描寫了所有的物態和所有物態之間的相變。大家覺得凝聚態的基礎理論已經完美了，已經走到了盡頭，已經沒有進一步發展的空間，做凝聚態基礎理論的物理學家應該在別的方向找工作了。直到最近二三十年拓撲物態的發現，大家才意識到朗道理論的不完備性。這使凝聚態物理迎來了一個熱火朝天令人激動的第二春。（未完待續）

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