五子棋有什麼好玩的？

當你第一次聽說大學有五子棋比賽，甚至還存在「五子棋協會」時，你的反應或許是：「這玩意兒有什麼好比的？我四歲時就能靠五子棋打遍幼兒園無敵手。」

我的第一反應也差不多，於是我回憶著小學二年級時終結我職業生涯的十連負，點開了「○大杯五子棋競賽規程.pdf」，才發現正式的五子棋比賽並不像之前想的那麼簡單。

我唯一猜對的是傳統五子棋已經被計算機完美解決了(Allis, 1994)。在一個15*15的棋盤上，如果對先手的黑棋沒有任何限制，存在相當多必勝下法。當然，如果執黑棋一方水平太差(例如十餘年前的我)，輸掉是完全可能的。

當然，五子棋作為一款古老的遊戲，人們早已認識到先手方有巨大優勢，甚至在一本叫《五子棋：從入門到精通》的書中，作者列出了無限制五子棋的先手必勝下法(Sakata and Ikawa, 1981)。因此，為了限制先手方，人們想出了種種神奇的規則。一般來說，不加限制的五子棋稱為「五目(Gomoku)」，而附加神奇規則的五子棋稱為「連珠(Renju)」。

上文提到的這本書中就有一套「連珠」規則：

·黑棋先手，白棋後手，在15*15的棋盤上先後落子。

·黑方獲勝條件是在任意方向連續排列五個棋子，但是不能多於五個子，否則判負。

·黑方不能下出「雙三」(兩個「三」的兩端都沒有棋子)或「雙四」(兩個「四」至少有一端沒有棋子)，否則判負。

·白方獲勝條件為在任意方向連續排列至少五個棋子，超過五個也能獲勝；如果黑方下出上兩條規定的「禁手」，白方也獲勝。

即使如此，在進行了大量的棋局後，人們發現先手方還是有巨大的優勢(Sakata and Ikawa, 1981)。再增加限制只會讓規則變得更加複雜，違背了五子棋作為一種規則簡單的棋盤遊戲的初衷。

在講解決方案前，先講個小故事：有人給Sein和Colt送了一個蛋糕，而Sein和Colt都很喜歡吃蛋糕，那麼最公平的分配方式是什麼？

答案大家都知道：先讓Colt把蛋糕切成兩塊，然後讓Sein挑選一塊蛋糕就行了。

用相同的邏輯，職業連珠比賽加上了「兩手交換(Swap2)」的規則。

舉個例子：

Colt執黑先手，由於職業連珠的限制，第一子必須下在「天元」，即棋盤正中。Sein執白後手，根據規則只能下載在天元周圍八個位置中的一個。Colt繼續黑棋第二手，只能在棋盤中央5*5方塊中間落子。

三子落定，起手階段結束，棋盤上有兩個黑子和一個白子。Sein面臨一個選擇：(1)繼續執白棋，下白棋的第二手，或(2)換為執黑棋，白棋的第二手讓Colt下。無論是否交換，雙方的棋色就此固定，不再變動。

當棋盤上有黑白子各兩個時，黑方(第三手)必須下兩個子，讓白方選擇一個「更喜歡」的落子位置並保留。在這種情況下，棋局開始時的先手方完全不存在優勢，黑方因為有禁手也受到了一定限制，因此，職業連珠的規則相當公平(Allis, 1994)。

當然，兩手交換的規則對初學者有些困難，而且由於被研究得相當透徹，不太適合初學者與高手同台競技，因此○大杯五子棋競賽採用了「一手交換」規則，去掉了「禁手」和職業連珠的起手規定。再舉個「一手交換」的例子：

Colt執黑先手，下在棋盤上的任何一點都可以。此時Sein可以選擇(1)執白棋繼續下，或(2)換成黑棋，讓Colt執白繼續。之後的流程與「幼兒園五子棋」完全相同。

「一手交換」相當富有深意：如果Colt第一手下在黑方必勝位置(如天元)，那麼Sein就可以要求交換，竊取勝利果實；如果Colt第一手下在「垃圾位置」，例如棋盤角落，那麼Sein大可以繼續執白棋，趁權力真空之機，佔據天元。因此Colt的第一手必須下在一個不太好又不太差，使黑白雙方勢均力敵的地方。

然而優秀的制度並不一定會帶來預期的結果：據○大五子棋協會成員稱，歷年五子棋比賽很少有人交換，先手下在必勝位置卻被打得落花流水者大有人在，大多數參賽選手的水平往往停留在小學。

正文完

附錄：

**過敏原信息：下文內含政治哲學內容，過敏者可以跳過**

「先讓Colt把蛋糕切成兩塊，然後讓Sein挑選一塊。」

「Colt的第一手必須下在使黑白雙方勢均力敵的地方。」

這兩個規則其實都是「最小最大規則(maximin rule)」的實際應用，該規則由約翰·羅爾斯提出。

羅爾斯老爺子認為，為了達到公平，資源的分配者應該在「無知之幕」後進行分配。在「無知之幕」後的人不知道自己的任何身份信息，如性別、國籍、出生地、年齡、受教育程度、富裕程度等等。 羅爾斯還認為，一個理性的分配者會保證分配結果中「境況最差的人被分配到儘可能多的資源」，當然，這一點仍有爭議。

**過敏原信息：下文內含博弈論內容，過敏者可以跳過**

其實，在沒有「禁手」或「交換」的情況下，對於任何兩人參加、輪流落子的「連成一線」類遊戲，先手方都不可能輸。這類遊戲在數學上稱為「mnk博弈」，mnk博弈的規則為：

·在一個m*n的棋盤上，黑白雙方輪流落子；

·第一個在水平、豎直或對角線方向連續擺放k個子的一方獲勝。

例如五子棋是「15, 15, 5」博弈， ○○××井字棋是「3, 3, 3」博弈。

為什麼後手方在任何mnk博弈中都不可能贏呢(理想情況下)？

繼續舉例：

假設後手方(Sein)有某種必勝策略，無論先手方(Colt)的第一手下在哪裡，後手都能獲勝。由於不考慮兩名棋手的知識水平差距，Sein 和Colt都知道這種後手必勝的策略。

Colt無論在哪裡放下第一個子，Sein都可以開始採用這種必勝策略。但在下第一手之後，Colt閉上了雙眼，假裝忘記自己下了第一個子。當Colt睜開雙眼，Colt只會看到對方的第一手，在他的思維世界中，他變成了後手，那麼他就可以採用後手必勝策略獲勝。如果Colt在執行「後手」獲勝策略過程中要求下在被遺忘的第一手的位置，那麼他隨便下一個子就可以了，畢竟多下一個子只會增加他的優勢。

也就是說，Sein和Colt都能用這種後手必勝策略獲勝，皆大歡喜，然而在邏輯上是矛盾的，因此，後手必勝的策略是不存在的，也就是說，棋盤上存在至少一個點，只要先手第一手下在這個點上，就不可能輸。

如果想了解哪些mnk博弈先手方必勝，哪些博弈只能做到平手，可以看馬偉基教授對mnk博弈的討論。

**過敏原信息：下文含有職業五子棋內容，過敏者可以跳過**

在職業五子棋比賽中，起手三步是受到嚴格限制的，第一步必須下在天元(棋盤中央)，第二步必須在以天元為中心的3*3方框中，第三步必須在棋盤中央的5*5方框中。除去對稱的情況，連珠一共只有26種起手方式，分別稱為：長星、峽月、恆星、水月、流星、雲月、浦月、嵐月、銀月、明星、斜月、名月、彗星、寒星、溪月、疏星、花月、殘月、雨月、金星、松月、丘月、新月、瑞星、山月、遊星。

經過大量研究，疏星、瑞星起手，雙方優勢相同；長星、流星起手，白方有輕微優勢；彗星、遊星起手，白方必勝，其他二十種起手方式都對黑方有利甚至黑方必勝。

Bibliography:
L. Victor Allis (1994). Searching for Solutions in Games and Artificial Intelligence. Ph.D. thesis, University of Limburg, The Netherlands. pp. 121–154. ISBN 90-900748-8-0.
Sakata G. and Ikawa W. (1981). Five-In-A-Row (Renju). The Ishi Press, Inc., Tokyo.

本文譯自 花生自己寫的，由譯者 花生 基於創作共用協議(BY-NC)發布。

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