哈爾濱中軟分享：1為什麼等於0.99999

0.99999...=1

初一看，這個等式貌似不會成立，0.9999....給人的第一感覺該是無限接近於1、但應該比1小。

這其實是一個被反覆提起的數學問題，尤其是在中國各大網路社區中。接下來的問題是：這個等式為什麼成立？在什麼情況下能成立？如何證明它？

首先，我們來看看網上流傳的三種證明法。

最簡單的三種……

直接來看看這三種證明吧：

1、∵1/3=0.33333...

3X0.33333..=0.99999...

3X1/3=1

∴0.99999...=1

2、令0.99999...為A

10A=10X0.99999...=9.9999...

兩邊都減去一個A

9A=9.99999...-0.99999...

可以得出：9A=9

兩邊除以9得出：A=1

∴0.99999...=1

3、0.99999...=0.9 0.09 0.009 0.0009……

很明顯，右側是一個求和的無窮遞降等比數列。

回憶一下等比數列求和公式：Sn=[a1(1-q^n)]/(1-q)

而當n趨向於無窮大時，求和公式S=a1/(1-q)

∴0.99999...=0.9/（1-0.1）=0.9/0.9=1

當然，這三種方式都不嚴謹，只是為了便於讓大家理解。例如，第二種方式就是大衛·福斯特·華萊士在他的《Everything and More》一書中給出的。

這個方法迅速被打臉。數學家威廉姆斯·拜爾在《How Mathematicians Think》中評價這個證明：「0.999...既可以代表把無限個分數加起來的過程，也可以代表這個過程的結果。許多學生僅僅把0.999...看作一個過程，但是1是一個數，過程怎麼會等於一個數呢？這就是數學中的二義性？他們並沒有發現其實這個無限的過程可以理解成一個數。看了上面這個證明而相信等式成立的學生，可能還沒有真正懂得無限小數的含義，更不用說理解這個等式的意義了。

至於靠譜的證明法，由於實在是超綱太多，我就不一一說了（我會告訴你，那些證明過程我看了很懵、完全木有看懂嗎？）

不過說起來，第三個方法中其實已經用到了極限，所以要理解這個等式，需要先了解下極限。

什麼是極限？

百科的解釋，「極限」是數學中的分支——微積分的基礎概念，廣義的「極限」是指「無限靠近而永遠不能到達」的意思。

數學中的「極限」指：某一個函數中的某一個變數，此變數在變大（或者變小）的永遠變化的過程中，逐漸向某一個確定的數值A不斷地逼近而「永遠不能夠重合到A」（「永遠不能夠等於A，但是取等於A已經足夠取得高精度計算結果）的過程中，此變數的變化，被人為規定為「永遠靠近而不停止」、其有一個「不斷地極為靠近A點的趨勢」。極限是一種「變化狀態」的描述。此變數永遠趨近的值A叫做「極限值」（當然也可以用其他符號表示）。

請注意：「取等於A已經足夠取得高精度計算結果」。

所以，按照極限的定義，0.99999..這個無限小數的極限應該就是1。

用極限思想解決問題的一般步驟可概括為：

對於被考察的未知量，先設法正確地構思一個與它的變化有關的另外一個變數，確認此變數通過無限變化過程的「影響」趨勢性結果就是非常精密的約等於所求的未知量；用極限原理就可以計算得到被考察的未知量的結果。

重要的事情說三遍：用極限原理就可以計算得到被考察的未知量的結果、用極限原理就可以計算得到被考察的未知量的結果、用極限原理就可以計算得到被考察的未知量的結果

請相信，用極限的思想方法是有科學性的，因為可以通過極限的函數計算方法得到極為準確的結論。

所以，總而言之一句話，你就只需要知道0.99999….=1就好了。

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