怎樣證明圓周率是一個常數？

人類使用圓周率π有著相當漫長的歷史，古人早就知道任何一個圓的周長和直徑之比是一個常數，這個常數被定義為圓周率，相關證明方法並不複雜。

如上圖所示，假設有兩個同心圓O1和O2，圓心為O，它們的半徑分別為r1和r2，並且r1

圓O1和O2內接正n邊形的周長p1和p2分別為：

p1=n·AB

p2=n·CD

如果圓分成的等份越多，那麼，內接正多邊形的周長就越接近於圓，所以圓O1和O2的周長c1和c2與p1和p2有如下的關係：

c1≈p1=n·AB

c2≈p2=n·CD

如果取極限，當圓分為無窮多等份時，即n趨於無窮大時，內接正多邊形的周長就會等於圓的周長，所以有如下的關係：

把上述兩式經過變形可得如下的形式：

由於相似三角形的關係，AB/r1=CD/r2，所以可以得到如下的關係：

因此，任何圓的周長與直徑之比是一個常數，這個常數就是我們所說的圓周率π。

當然，圓的周長與半徑的比值也是常數（記作τ，大約為6.28），之所以數學家沒有把這個常數定義為圓周率，是因為用圓的周長與直徑定義的常數使用起來更為方便，例如，用公式表示圓的面積時，πr^2顯然比τ/2r^2來得更方便。雖然曾有人主張把π替換成τ，因為在某些公式中用τ會更簡潔，但也僅限於少數公式，所以π的地位無可撼動。

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