聽鼓的聲音
作者 | 陸志勤，羅茱莉
來源 | CAM傳習錄（ID：CAMtips）
感謝作者授權好玩的數學刊發！
武俠小說里有「聽風辯器」一說， 講的是武林高手在戰鬥中， 閉上眼睛，氣沉丹田，就可以聽出對手的武器種類，來襲的方向等等。比如天龍八部里漂亮的王語嫣，不僅能聽出對手使用的暗器的形狀，還可以聽出他的門派， 練武的層次，有沒有走火入魔等等細節 …… 當然這只是小說，現實生活中不可能有這樣的人。
但是另一方面， 一個普通人可以毫不費力地聽出不同樂器發出的聲音， 比如大提琴和小提琴發出的聲音就是不一樣的。大提琴聲音低沉，小提琴聲音比較清亮。一個受過訓練的音樂工作者肯定可以分辨出更多的細節。
這裡就產生一個數學問題：如果有一雙完美的耳朵，並且受過足夠的訓練，那麼一個人通過聽覺最多能夠聽出一種樂器的多少細節？
1966 年，馬克 · 卡茲（Mark Kac, 1914 – 1984）在美國數學月刊上發表了一篇文章，闡述了這個數學問題。其實對於管弦樂器來說, 「聽音辨器」 這個問題比較簡單，甚至不需要用到多少數學。
我們知道，一種管弦樂器，比如提琴，它的每一根弦發出的聲音的主要部分被稱為基音，而基音的頻率被稱為基礎頻率。除了基音以外， 琴聲中還包含泛音。泛音的頻率是基音的整數倍，它能夠和基音一起組成和諧的共振之音。對於一雙靈敏的耳朵，聽出基音的頻率是不成問題的。如果基音低沉，那說明提琴的弦比較長，那就是大提琴，如果基音比較高亢，那就是小提琴。
小提琴的弦本質上是一維的。一維的問題容易解決，對於兩維的物體，同樣的問題就困難得多。在卡茲的文章中，他用鼓來作為兩維樂器的代表。
真實的鼓當然大多數都是圓形的。不過為了能夠討論這裡的數學問題，我們做一些假設：
和小提琴的情況相同的是，擂鼓發出聲音的主要部分被稱為基音，而基音的頻率被稱為基礎頻率；除了基音以外， 鼓聲中也包含泛音。和小提琴的情形不同的是，在兩維的情形下，泛音一般不是基音的整數倍了，它們之間也沒有明顯的聯繫。根據數學上的傅立葉級數理論，鼓聲其實是許多不同頻率的聲音（基音和泛音）組合而成的。
我們假定一雙完美的耳朵可以從鼓聲中分離出所有的不同頻率的聲音，而每一種頻率可以用一個正實數來表示， 在這種假設下，我們可以問這樣的一個數學問題：是否所有的這些實數的集合能完全決定那一面被聽的鼓的形狀呢？這個就是 1966 年卡茲提出的著名的問題。
奇妙的是，研究鼓聲，或者鼓的振動，和我們日常生活中的另一個常見的現象：熱傳導，有著相同的數學基礎。在數學上，這些現象都能夠被歸結為下列特徵值方程（和一些邊界條件，這裡我們不詳細論述了）
在上面的方程中，被稱為拉普拉斯運算元， 這個稱號被用來紀念法國數學家皮埃爾· 西蒙 · 拉普拉斯 （Pierre-Simon Marquis de Laplace, 1749 – 1827），它是微分方程里最重要的運算元之一。
希臘字母 λ 是一個正實數， 用來表示鼓能發出的某一種頻率的平方，也即基音或某一種泛音的平方。在數學上，我們稱 λ在一維情形（弦振動），上面的方程可以被簡化為
兩維的（鼓振動）問題就困難的多， 首先特徵值方程會變得看上去有點嚇人
這是一個兩階偏微分方程。和一維情形不一樣的是，對於一般的平面區域，上述方程的精確解是找不到的。所以卡茲問題變成：如果有兩面鼓， 它們發出的所有的基音和泛音都一樣，也就是說這兩面鼓有著相同的特徵值， 那麼它們的形狀是不是完全一樣呢？
對於這個問題，數學家們努力了幾十年，直到 1992 年才有了突破。三位數學家 Carolyn Gordon, David L. Webb 和 Scott Wolpert 在美國數學會公報上發表了一篇文章，解決了這個問題。
我們知道，在數學上，如果要證明某個論斷成立，那就要證明該論斷下包含的所有情形都成立。比如說勾股定理，我們不但要證明勾三股四弦五，還要證明對於所有的直角三角形，其斜邊的平方等於兩直角邊的平方和。但是反過來，如果要說明一個論斷不成立，只要找出一個例子就行了。這樣的例子被稱為反例。雖然只是一個例子，有時它的難度不見得比證明一個論斷更容易。
卡茲的問題在 1992 年被Carolyn Gordon, David L. Webb 和 Scott Wolpert以一種令人驚奇的方式給出了否定的解答。他們的工作被許多數學家簡化以後，我們才知道，下列兩面稀奇古怪的鼓面（相信這種形狀的鼓不會出現在任何現實生活中）
它們發出的聲音的頻率是一樣的。也就是說， 如果光聽聲音， 那麼就算是一雙完美的耳朵， 也不能區分這兩面鼓。用數學的語言來講，這兩個平面區域有著相同的特徵值（集合）。
雖然卡茲問題的答案是否定的，但是這不代表我們不能得到一些信息。比如上面的兩個平面區域儘管是不一樣的，但是很容易驗證， 它們有著相同的面積和周長。 除此之外， 它們還有其他的一些相同的量。
對於許多實際問題來說， 這些量可能更重要。比如在石油勘探中，我們可以用人造地震來測量出地下油田發出的頻率，雖然一般我們無法知道地下油田的形狀，但是我們可以用特徵值的信息來估算出地下油田的體積， 也就是石油的儲量，這才是更重要的。相同的數學原理現在也被廣泛地使用在醫療，天文，模式識別，人工智慧等等許多領域。
卡茲問題的研究也催生出純數學上一個叫做譜幾何的分支。它使用到數學中最前沿的微分幾何與微分方程的結果，是一個正在蓬勃發展的領域。
那麼在天龍八部里， 如果王語嫣姑娘足夠聰明， 理論上她能不能僅僅通過聽風辯器來說出暗器的形狀呢？如果用上圖的形狀作出兩種暗器， 並且僅僅提供給王姑娘這兩種暗器本身振動所發出的聲音，那麼她就不可能區分它們。當然， 這兩種暗器破空來襲的時候和空氣摩擦發出的聲音可能是不一樣的，聰明的王姑娘還是有可能辨別其中的不同， 不過這是另一個（很大的）數學問題了。武俠世界裡像王語嫣這樣的聰明的美女到處都是， 這有點令人鬱悶。
2019 年 2 月 3日 定稿
本文是發表在牛津大學出版社部落格文章的改寫版，原文網址是
https://blog.oup.com/2015/12/drum-shape-mathematics/
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