令人驚喜的聯繫：愛因斯坦和

圖片來源：Charlie Powell

每年的3月14日都是科學愛好者會慶祝的節日。首先，這一天是愛因斯坦的誕辰（140歲生日）；再者，它是圓周率日，因為3.14是我們的曆法中最近似圓周率π的十進位展開（π= 3.1415927……）。

無論是愛因斯坦還是圓周率，都在科學和數學中扮演著重要的角色。但這兩者之間還有更緊密的聯繫嗎？

當然有，我們只要看看愛因斯坦的方程就知道了。這裡，我指的是「真正的「愛因斯坦方程，而不是眾所周知的E=mc2（就其本身而言，這是狹義相對論的一個非常簡單的結果，而不是一個基礎關係式）。所謂的真正的愛因斯坦方程，是你在任何一本好的廣義相對論教材的索引中尋找「愛因斯坦方程」時，都會找到的那個。它是連接了時空曲率與能量源的場方程，是廣義相對論的核心方程。它看起來是這樣的：

如果不熟悉這些符號，你可能會被這個方程嚇到，但從概念上看它是非常簡單的；如果你不知道這些符號，可以把它想像成一首外語小詩。它是這樣說的：

（引力）=8πG×（能量與動量）

沒那麼可怕，對吧？引力的大小正比於能量和動量的大小，比例常數是8πG，G是一個數值常數。

誒？！π在這裡做什麼？似乎有點莫名其妙。愛因斯坦明明可以定義一個新的常數H，然後讓H = 8πG，如此不就會得到一個更簡潔的方程嗎？難道他對π有某種特殊的愛，比如因為這是他的生日？

真實的故事沒有這麼異想天開，但更加有趣。愛因斯坦之所以不想發明一個新的常數，是因為G已經存在了，它是牛頓的萬有引力常數，因此這很合理。雖然廣義相對論取代了牛頓的萬有引力理論，但說到底它仍然是引力，而且它的強度也和之前一樣。

所以真正的問題是，為什麼當我們從牛頓引力過渡到廣義相對論時，會出現一個π？

我們來看看牛頓引力方程，也就是著名的平方反比定律:

其實它的結構與愛因斯坦方程類似：左邊是兩個物體之間的引力，在右邊我們能找到這兩個物體的質量m?和m?，以及萬有引力常數G。（對牛頓來說，質量是引力的來源；而愛因斯坦發現，質量只是能量的一種形式，他將引力的來源升級為所有形式的能量和動量。）當然，我們還要除以兩個物體之間距離r的平方。不過在整個公式中，π都沒有出現。

這是物理學中一個很偉大的方程，也是科學史上最具影響力的方程之一。但它也有令人困惑之處，至少在哲學上是這樣。它講述了一個有關於超距作用的故事——兩個物體在沒有任何中介物質的情況下，在很遠的地方相互施加引力。牛頓本人認為這是一種不可接受的狀態，儘管他並沒能給出一個很好的答案：

引力對物質來說應該是天然、固有且基本的，以至於一個物體可能在沒有任何中介物質的情況下，穿過真空中的一段距離對另一個物體施力。通過這段距離，它們的作用和力或許可以從一個傳到另一個。對我來說這是一個巨大的荒謬，我相信沒有一個有哲學思辨能力的教職人員能信服於此。

但是有一個方法可以解決這個難題。那就是將重點從引力（F）轉向引力勢場（Φ），力可以從引力勢場推導出。空間中充滿了引力勢場，每一個點都有其特有的值。在質量為M的單個物體附近，引力勢場由以下式子給出：

這個方程與最初的牛頓方程很相似。它與距離成反比，而不是反比於距離的平方，因為它並不直接是引力；我們可以從場的導數（斜率）得出力，而求導則會把1/r變成1/r2。

這很好，因為我們已經用填滿了整個空間的場，這樣一個令人舒心的機械概念取代了奇異的遠距離行為。雖然我們仍然沒有看到π。

但是這個方程只告訴我們，當有一個質量為M的物體時會發生什麼。如果有很多個物體，每個物體都有自己的引力場，或者在那個物體周圍有氣體或液體散布在那片區域，情況又會怎樣？那麼我們需要談論質量密度，或者說單位體積的質量，通常用希臘字母ρ表示。確實有一個方程能把引力場和空間中任意的質量密度聯繫起來，它叫泊松方程：

在方程中，倒三角符號代表的是梯度運算元（這裡的平方則表示是拉普拉斯運算元）；這是一種用來描述場在空間中如何變化的奇特的三維方式（它的矢量導數）。但更有趣的是，在方程右邊出現了一個π！這是怎麼回事？

當然，它有一個很技術性的數學解釋，但也有一個粗略的物理解釋。而在牛頓方程或引力勢場方程中，我們最初關注的是一個物體在距離r上的引力效應，現在我們要把宇宙中所有的效應都累積起來。那麼這個「累加」（也就是積分）過程可以分為兩個步驟：1.將所有離某固定點距離為r的位置的效應相加；2.將所有距離的效應相加。在第一步中，所有距離某個固定位置r的點，定義了一個以該位置為中心的球體。所以我們實際上是將沿著一個球面的效應累加起來。而球面面積的公式是：

這看起來幾乎太顯而易見，但這就是答案。π之所以出現在泊松方程而不是牛頓方程的原因是，牛頓關心的是兩個特定對象之間的力，而泊松告訴我們要如何計算引力勢作為傳播到各處的關於物質密度的函數。而且在三維空間中，「各處」指的是「在一個球體上的所有面積」，然後「對每個球體進行相加」。（我們將球體相加，而不是立方體或別的東西，因為球體描述的是從某點出發的固定距離，而引力取決於距離。）而一個球體的面積與圓的周長一樣，也正比於π。

那麼愛因斯坦呢？回到牛頓引力的時代，通常使用引力勢場是很方便的選擇，但實際上並沒有必要；理論上我們總是可以直接計算引力。但當愛因斯坦提出廣義相對論時，場的概念成為絕對核心。我們計算的不是引力（事實上，在廣義相對論中，引力並不是一個真正的「力」），而是時空的幾何。它是由度規張量場固定的，是一個包括我們稱之為引力勢場的子集的複雜野獸。與愛因斯坦的方程直接類似的是泊松方程，而不是牛頓方程。

這就是愛因斯坦與圓周率的關係。愛因斯坦發現場能最好地描述引力，而不是將引力視作為個體之間的直接相互作用，將場與局部的物體相連涉及到球體表面的積分，而球體的表面積又正比於π。而他又恰好在這天生日，更是一個快樂的意外。

撰文：Sean Carroll

翻譯：萌大統領

http://www.preposterousuniverse.com/blog/2014/03/13/einstein-and-pi/

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