你肯定不知道，音樂和數學還有這樣的巧妙聯繫！

撰文/王江山

本文節選自《知識就是力量》雜誌

「do, re, mi……」隨著這幾個簡單的音節，我們開始了人生的第一堂音樂課，數字簡譜以1、2、3、4、5、6、7代表音階中的7個基本音階，讀音為do、re、mi、fa、sol、la、si，休止以0表示。

提到數學與音樂的關係，我們所能想到的第一個有關音樂與數學的結合，也許就是這7個基本音階了。但你可曾想過，這些音階是按照什麼規律排列的呢？讓我們回到2500年前，追隨大名鼎鼎的古希臘數學家畢達哥拉斯的腳步，看看他是怎麼解答的吧。

畢達哥拉斯素描像（繪圖/朱宇彤）

畢達哥拉斯是古希臘著名的哲學家和數學家，他認為「萬物皆數」「數是萬物的本質」，是「存在由之構成的原則」，而整個宇宙是數及其關係的和諧體系。

據說，畢達哥拉斯曾在散步時路過一家鐵匠鋪，鐵匠鋪里傳出的叮叮噹噹的敲擊聲吸引了他的注意，他走進去，發現這些美妙的聲音原來是源於鐵鎚和鐵砧的大小不一，故而發出的聲音也不同，這同時也激發了他的思考。那麼，這些音樂的和諧與什麼有關呢？

眾所周知，畢達哥拉斯開創了自己的數學學派，該學派信奉數是萬物的起源，因此宇宙和諧的基礎應當是完美的數的比例，而音樂之所以給人以美的感受，很大程度上是因它有著一種和諧。在這種意識的啟發下，畢達哥拉斯用不同的樂器做了許多的實驗，進而發現聲音與發聲體體積有著一定的比例關係。而後，他又在琴弦上做了試驗，發現只要按比例劃分一根振動著的弦，就可以產生悅耳的音程，而它們彼此間是存在著比例關係的。

那麼，這個比例是什麼呢，能不能通過數學的方法計算出來？畢達哥拉斯又進一步進行了實驗。經過更多的實驗和推算，畢達哥拉斯發現，當弦長比分別為2∶1、3∶2、4∶3時，發出的音律最為和諧。這就是我們後來所使用的「五度相生律」。

豎琴（繪圖/朱宇彤）

畢達哥拉斯當年做測試時用的很可能就是豎琴。豎琴是一種大型撥弦樂器，可以認為它是一切古典式弦琴的起源。它所發出的音色空靈純凈，清澈動聽，作為和聲伴奏極具感染力，而獨奏時又能演繹柔和優美的抒情片段 。

那麼，為何弦長符合這些比例時，我們會覺得音樂和諧悅耳呢？

眾所周知，聲音是由振動產生的，但音的頻率是按照等差數列排列的，同一根弦，其有效弦長與發音頻率成反比關係。因此，當撥動一根弦時，其各等分點為界的弦也在各自振動，因而會產生一系列的音，我們將這些音稱作「第一泛音」、「第二泛音」、「第三泛音」……而這些音之間，某些分界點產生的音連接起來會顯得特別優美，我們可以說這些是泛音列中佔優勢的音程關係。而按照畢達哥拉斯的發現，這些純音程的頻率之比都是最簡單的自然整數比。

美的東西，總是簡單而和諧。依據五度相生律產生的基礎音階構成的旋律，按照任意的方式組合，都有各自的美感，而將全部半音階推算出來後，旋律的緊張度和動力性會得到增強，更能產生旋律之間動態的美感和張力。

正如萊布尼茨的名言所說：「音樂是數學在靈魂中無意識的運算。」音樂正如有情緒的數學，而數學則像最純粹的音樂，樂音激蕩，而數字翩躚，音樂與數學恰似人類心智開出的兩朵玫瑰。就讓我們沉醉其中，縱情感受它們的魅力吧！

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