一個大活人，還能讓尿活活憋死？能…

一個大活人，還能讓尿憋死？？？

在高中物理課本上，有那麼一位貢獻卓越的天文學家，名為第谷·布拉赫。他詳細而又準確的行星觀測數據，直接幫助其助手開普勒總結出了行星運動三大定律，進而為牛頓建立萬有引力定律奠定基礎。

第谷·布拉赫畫像，圖片來自維基百科

然而這麼一個人……參加宴會時想上廁所……

他出於禮儀，拒絕離開會場……

最後憋尿憋到……膀胱破裂……

去世了……[1]

最近天氣逐漸轉暖，春天來了，萬物復甦，又到了在屋子裡宅了一個冬天的人們出門溜達溜達的季節。不過一旦出門在外的時候，無論是不是選擇困難症，都可能要在要人生難題清單裡面加上：去哪裡才能上廁所？還有多久才能排到我？這樣的人生「終極」問題。

為了讓大家都能有一個良好的出行體驗！為了幫助大家順利找到廁所，小編通過詳實的論證和細緻的數學分析，總結出了兩條簡單實用的出門找廁所兩大規律。並結合實際場景分析了一下這兩條規律的使用方法和注意事項，幫助大家從零開始，會找，能找，找好廁所，安心出門 ~

1

「預測」未來的馬爾科夫鏈

要給日常生活中恐怖的東西排個序的話，不知道大家的選擇是什麼樣的，小編第一個選擇排老長老長的隊……

以前，我相信動態平衡這一說，如果有兩列隊伍的話，長的那一列的人會自動補到短的那一列去，所以安心選擇一條等著就好了。直到有一天，我了解了可以預測未來的馬爾科夫鏈（Markov Chain）……

馬爾科夫鏈描述的系統，其任一時刻的狀態僅僅由其上一個時刻決定，而和更早的歷史沒有關係。就像鏈條一樣，相鄰兩個環緊緊相扣，而更遠的兩個環之間並沒有交集

馬爾科夫鏈說的是這麼一回事。小明在每天下午 5 點的時候有兩種狀態：一、認真學習。二、愉快摸魚愉快玩耍。如果他今天是認真學習，那麼明天有 40% 的概率會在玩耍；而如果他今天這個時候是在玩耍，那他會因為羞愧難當，在明天有 70% 的概率會認真學習。我們現在想要看小明之後每天下午 5 點在幹啥。

每天下午 5 點，小明可能所處的狀態和其相互之間的轉移的概率關係示意圖

假設小明剛開始下午這個時候都是在學習的，那麼明天，他玩耍的概率就會變為 40%，學習的概率變成 1 - 40% = 60%。到了後天，他玩耍的概率分為兩部分：昨天玩了今天繼續玩，40% × (1 - 70%) = 12%；昨天學習了今天才玩，60% ×40% = 24%。所以後天他玩耍的概率為 36%，學習的概率為 64%。重複這樣的計算，最後，他每天玩耍的概率為 36.4%，而學習的概率為 63.6%。

這正是馬爾科夫鏈的精髓。

2

人該多的地方永遠人多

回到我們關心的廁所問題上來。現在這個工具已經放到了你的面前，那上廁所能夠用馬爾科夫鏈來分析嗎？

給我們不斷變化的隊伍建一個馬爾科夫鏈適用的情形

首先，我們要構造一個馬爾科夫鏈適用的場景。在景區裡面，由於不斷有來上廁所的人，也不斷有走的人，不失一般性，我們可以假設在外面排隊的人數是處於動態平衡，相對固定的。每隔一段時間，兩個廁所裡面排隊的人都會做出選擇，是繼續排這個隊伍，還是換一條隊伍。那麼這個「雙廁所」系統，就可以開「馬」了。

為了方便理解，我們依舊沿用上面小明同學的概率，只不過這時候他的概率不是學習還是玩耍，而是去上哪個廁所的概率。我們可以把這中間所有選擇的過程歸納成為下面這張圖。箭頭和箭頭上的數字代表了你每次做選擇時候的方向和概率。

在廁所 A 和在廁所 B 排隊的人在下一時刻的不同選擇的概率的示意圖

廁所 A 比較受歡迎，在所有到廁所 A 的人裡面，下一時刻有 60% 的人會選擇——就是你了，不管怎樣都要排隊等候。而還有 40% 的人可能因為人太多等原因選擇另外一個廁所。廁所 B 則不那麼受歡迎，在所有到廁所 B 的人裡面，只有 30% 的人選擇繼續等候，剩下 70% 的人要溜。

和上一節中的計算相同，無論開始時候兩個廁所外排隊人數如何，經過多次選擇以後， B 佔比約為 36.4%，而 A 佔比為 63.6%，也就是最終的狀態會停留在 4：7，正好和兩個廁所中間的轉移的概率成正比。

這裡面的殘酷事實就是，雖然兩者之間會不斷有人員交換，但是，人該多的的地方永遠是人多的。

這個定律的精髓在於，我們平時看到的樣子，其實已經是系統平衡以後的樣子，系統之間內部狀態的轉移已經全都被自然地考慮進去了。這種時候我們一般只需要……直接選人少的就好了。

3

死理性派上廁所

現在手機地圖使用起來已經非常地方便，比如可以打開地圖，輸入「廁所」進行查詢，身邊哪裡有廁所一目了然。

結合地圖可以直觀看到我們附近到底有多少廁所，遇到了三急也有去處。假如遇到了人多到爆炸的情況，我們也可以再進行挑選。

這一類選擇問題其實是一個十分古老的問題。

穿過一大片麥田，要求讓你帶一個最大的麥穗回來。中途你不能夠回頭，也不能夠進行更換，用什麼樣的策略，撿到大麥穗的可能性最大？

這個問題最難的地方在於我們面對的是徹底的未知，用統計學術語來說的話，我們缺少先驗分布。在進入麥田之前，我們不知道麥穗到底有多大。如果我們太早做出選擇，則很有可能「撿了芝麻」；如果我們太晚做出選擇，則會「丟了西瓜」。選擇廁所的過程其實和選麥穗很類似，我們也不知道地圖裡的廁所長什麼樣。

選麥穗策略示意圖，假設 A > B > C，我們拒絕掉最開始的第一個，那麼會有一半的概率選到整個序列中的最大值。

傳統的選麥穗問題套路很簡單，最優的策略為拒絕掉開始的所有 r - 1 個選擇，在這之後，一旦遇到比之前所有都好的，直接決定。利用這種策略得到了最佳選擇需要滿足兩個條件：

1. 第 i 個為最佳選擇
2. 前 i - 1 個選擇的最大值被我們拒絕掉了，也就是在開頭的 r - 1 個裡面。這樣我們才能一直看到第 i 個選項

由此我們可以得到計算這個策略成功的概率為 [2]

如果希望最後選中最佳選擇的概率最大，我們大約需要拒絕 1 / e ，也就是 37% 的選擇。

但是，在找廁所的路途之中，我們完全可以回過頭來選擇之前已經遇到的最好的，這並不是一件丟臉的事情。在我們的找廁所的方法里，這個 1 / e 原則很可能有點水土不服了。

4

好馬要吃回頭草

我們這時候新的策略完全就是「吃回頭草」。在觀察完 k 個選項以後及時止損，回頭選擇已經看到的最好的那個。

一共有 N 個選擇，我們同樣先看前 r 個選項，記錄最佳的結果。接下來在第 k 個（我們選擇的終點）之前，一旦我們遇到了比記錄結果更好的，直接選擇。但是如果我們沒有找到更好的，那就回頭，從過去的 N - k 個選項裡面選擇最好的。

這個策略和之前的至多都只能做 N 個選擇，在這點上兩者是公平的，唯一的區別在於能不能回頭。

為了直觀了解兩個策略哪個更強，我們人為地隨機生成了 10000 個長度為 100 的序列進行模擬，按照原來的 1 / e 策略和我們的吃回頭草策略從序列中找出最大值。下圖中橫軸為 k 的取值，也就是選擇的終點，到達這裡以後就不再繼續看新的選項了。縱軸為 r 的取值，在一開始需要拒絕的選項的數量。因為我們選擇的終點顯然要大於需要拒絕的數量，所以在我們的結果中只展示了上面半個三角形的部分。圖中顏色的深淺代表了在這個參數下取到最大值，撿到最大的麥穗的可能性。

數值模擬結果，橫軸為 k，考察的所有選項個數；縱軸為 r，在最開始拒絕的選項的個數。顏色的深淺代表在這個參數下撿到最大的麥穗的可能性。可以看到，不同的參數選取會影響我們的最終結果

在圖中可以看到，顏色最深的兩個分別集中在中間，以及最右邊的邊界上。而這最右邊的邊界不是別的，正是我們的 1 / e 策略。因為如果我們取把選擇的終點取到頭的話，我們的回頭草策略實際上看完了所有的選項。而且 N - k = 0，此時也失去了「吃回頭草」的能力。

我們單獨把對角線上的結果和最右邊的結果拿出來進行比較。

數值模擬結果，橫軸為數值模擬時選擇的參數。圖中藍線代表原來的 1/e 策略，此時的橫軸參數代表最開始拒絕的選項的個數。我們可以看到在 37 附近，藍線確實取到了最大值。圖中紅線代表回頭草策略，在 r = k = 50 的時候，我們可以以 50% 的概率取到最好的那個選擇。此時對應的策略為只考察系統中一半的選擇，然後回頭選擇之前看過的最好的那個

圖中藍線代表原來的 1 / e 策略，可以看到如果我們開始拒絕了 37% 的選擇的話，藍線確實取到了最大值 0.37。而圖中紅線代表吃回頭草策略，直接在看完前一半的選項以後回頭選擇最好的，就能夠以 50% 的概率取到整個隊列中最好的那個。此時也確實發揮了吃回頭草的極致……

光說這點好處肯定不能讓你們堅定地選擇吃回頭草策略，接下來還有一些更猛的發現。

前面我們比較的是選中了最大的概率，但是我們並不只是想要最好的體驗，我們還很關心下限。在找廁所的時候，我們平均的體驗其實會更重要，比如比起一個稍微不那麼乾淨的廁所，沒有紙這一點顯然更尷尬。所以我們接下來分析了 1 / e 策略和吃回頭草策略中結果的均值。從下圖看上去，大家好像都很優秀的樣子……

顏色越深代表最後得到的結果中平均值越大

但是如果我們單獨把 1 / e 策略和對角線上的吃回頭草策略拿出來比較的話……

1 / e 策略和對角線上的回頭草策略對比結果圖

這是什麼啊？！1 / e 策略在這時候不僅不能取到平均結果的最大值，更是被吃回頭草策略遠遠地落下了。

誰說好馬不吃回頭草？好馬就要吃回頭草！

5

理論結合實踐

因為經常被人問，你們算來算去都是真空中的球形雞，有什麼用啊？今天，我們就以著名景點——杭州西湖為例，來看看怎樣才能科學地上廁所。

我們可以先來直觀地感受一下這附近有多少眾眾眾眾眾眾眾眾眾眾眾。圖中每個圓點都代表一個廁所。如果這個點的顏色越綠，代表使用的人越少。而如果這個點越紅，則代表使用的人越多。可以看到，在西湖沿岸的那些景點周圍，幾乎每個廁所都是爆滿狀態。

西湖景區廁所熱力圖，來源《西湖文旅大數據報告》

利用廁所熱力數據，我們可以重建西湖景區的人員的密度。在圖中，顏色的深淺表示了這個地方人的相對密度。利用廁所熱力數據所反推出來的密度分布同樣顯示，在西湖附近集中了大量的人。不過從廁所分布來看，廁所基本上均勻地覆蓋了西湖附近的所有景區，而且和人流較大的地方有較高的重合度。

利用廁所熱力數據反推得到的西湖景區人員密度分布圖，上圖中的紫紅色的點代表廁所的位置

如果我們把上面的熱力分布圖放大的話，還能夠看出來大家都喜歡去什麼樣的景區。

西湖周圍的熱力分布圖

西湖十景分布圖

通過對比地圖和熱力圖，西湖北岸的孤山以及其附近的斷橋最受大家的喜歡，廁所熱力的峰值同樣也出現在這個地方。而在西湖的西南岸，雷峰夕照和柳浪聞鶯同樣聚集了大量的遊客。如果出行遊玩涉及到這些區域的話，需要提前做好心裡準備，上廁所估計要等很長時間……

左圖為西湖的廁所分布圖，右圖為其按照不同的熱力範圍分類得到的直方圖，橫軸為熱力數據，高度為這個熱力範圍內的廁所數量

分析完人的分布以後，我們重新回到廁所問題上。人以類聚，物以群分，如果我們按照這種思維也給這些廁所們分一個類，其實絕大多數的廁所其實都不擠，而少數二十幾個廁所則承包了 3/4 的廁所使用量。

結合這兩大策略，以及西湖景區的廁所分布和使用情況，我們的找廁所攻略如下：

1. 看到人多的廁所堅決避開

   ，有時候你堅持選個近的，就能體會到啥叫望眼欲穿了。

2. 廁所的密度還是很高的

   ，錯過了一個還能有下一個，千萬不要在一個廁所邊憋死。

3. 不要怕走回頭路

   ，看完了發現之前的那個更好，果斷回頭。

最後，祝願大家，在憋尿的時候，別遇上這樣的路……

順利抵達廁所~

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