【人人都能欣賞的數學證明】為什麼有無限多個素數？
作者 | 民間數學家
來源 | 職業數學家在民間
好玩的數學獲授權發布本文，轉載請聯繫原作者。
1
據說很多學生對數學課堂中的數學證明十分恐懼，甚至畢業多年後數學證明依然是許多人關於數學的痛苦回憶。
《職業數學家在民間》公眾號決定開設一個專欄：
【人人都能欣賞的數學證明】
希望專欄的文章能夠扭轉大家對數學證明的錯誤印象。數學證明非但不可怕，而且在數學家的眼裡，一段真正的數學證明恰似一首符號的詩歌，一曲邏輯推理的樂章。
從數學普及的角度來看，只普及一些數學定理和結論是遠遠不夠的，沒有了解相關的數學證明只會「知其然，不知其所以然」。另外，數學普及只限制在中學生，數學教師，有理工科背景的數學愛好者這個範圍內也是遠遠不夠的。如何讓更寬廣的公眾們完全理解高高在上的抽象數學證明對於我們而言是一個巨大的挑戰。
據說白居易寫詩但求「老嫗能解」，他的詩一定要修改到連不識字的老太婆都能聽懂為止。同樣地，我們的專欄文章在正式發布之前，也會找一些小學生，和沒有數學背景的人，讓他們提意見，一直修改到他們能讀懂為止！ 我們力求做到：
人人都能讀懂這個專欄里的數學證明，
人人都能欣賞這個專欄里的數學證明！
2
我們今天要介紹的，是公元前300年左右，古希臘數學家歐幾里德寫在《幾何原本》中的一個古老定理（歐幾里德定理）和它的證明，距今已有兩千多年的歷史了。
在開始介紹這個古老定理和它的證明之前，大家需要先耐心了解幾個簡單的背景知識。這可能需要您付出一點點的時間和專註力，但我保證這種付出是值得的，尤其是當您完全理解了這個定理和它的證明，並為之讚歎的時候。
我把這些背景知識分成六條，熟悉這些知識的讀者可以跳過去直接閱讀後面。
一，自然數，又稱正整數，指1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12……
二，素數，又稱質數，指那些大於1，且不能分解成更小的兩個正整數乘積的正整數。
比如：1 不是素數。2，3，5，7，11，13，17，19，23，29 和 31 都是素數。但是 4，6，8，15，21和24都不是素數，因為：
4=2×2；6=2×3；8=2×4；
15=3×5；21=3×7；24=3×8。
三，倍數：我們把正整數a和任何整數的乘積都稱為a的倍數，所以下面這些數都是正整數a的倍數
……-3a，-2a，-a，0，a，2a，3a，4a……
比如 0，5，10，-15 都是5的倍數；-7，7，14，21 都是7的倍數；13，26，39都是13的倍數。但是11不是5的倍數；20不是7的倍數；18不是4的倍數。
四，如果正整數b和c都是a的倍數， 那麼b c和b-c也都是a的倍數。
既然b和c都是a的倍數， 那它們分別可以寫成b=ma，c=na，其中 m 和 n 都是整數。根據乘法分配律
b c＝ma na＝(m n)a;
b-c＝ma-na＝(m-n)a。
所以b c和b-c也都是a的倍數。
五，每個大於1的正整數，如果不是素數，則一定可以分解成素數的乘積。
這個知識點不難理解，因為根據素數的定義，一個大於1的正整數，如果不是素數，則一定可以分解成更小的兩個正整數乘積，如果這兩個數不全是素數，我們可以繼續將其分解，直到所有的因子都是素數。比如：
12=4×3=2×2×3；
63=9×7=3×3×7；
105=3×35=3×5×7；
108=4×27=2×2×3×9=2×2×3×3×3。
六，每個大於1的正整數n，一定是某個素數q的倍數。
如果這個正整數n本身就是素數，那它當然是自身的倍數。如果n不是素數，根據第五個知識點，它可以分解成素數的乘積，所以它也一定是某個素數q的倍數。
如果您完全理解了以上六個知識點，那麼恭喜您，您已經做好充分的準備，可以開始和我們一起品味一段優美的數學證明。
3
上面的第五個知識點告訴我們，所有大於1的整數，就算不是素數，也都可以分解成素數的乘積，因此可以說素數是整數大廈的基石和磚瓦。所以我們要了解整數，首先要了解素數。接下來古老的定理要登場亮相了：
（歐幾里德定理）素數的個數是無限的.
如何說明有無限個素數呢？最直接的方法就是不停地，瘋狂地尋找更多的素數：
2，3，5，7，11，13，17，19，23，29， 31，37，41，43，47，53， 59， 61， 67， 71， 73， 79， 83 ，89， 97 ，101， 103 ，107，109 ，113………
當你找到許多個素數的時候，你可能會跑到我面前說：
「看！我不斷地找下去，總能發現新的素數，所以，肯定有無限個素數。」
這個理由可以說服很多人相信確實有無限多個素數。
但是，這是數學證明嗎？
不是！
哪怕你找到天崩地裂，找到海枯石爛，找到100000000000000000000000000000000000000000000000000000個素數，也不是替代真正的數學證明！
因為你在有限時間內，只能找到有限個素數，不管你用盡什麼方法！
好了，別哭了，站起來！是時候和過去的思維方式說再見了，讓我們一起走進真正的數學證明！
4
既然在有限時間內，只能找到有限個素數，那麼我們必須要走另一條完全不一樣的路！
不妨假設這個定理是
錯的，錯的，錯的，錯的，錯的
證明：假設素數的個數是有限的。
那我們就可以把這僅有的有限個素數按照從小到大的順序完全羅列下來，一個不漏：
2，3，5，7，11，13，17，……，p
這裡 p 表示最後一個素數。
（這裡，可能會有人抗議：證明中的有限個素數可能很多，可能是百億個，萬億個，億億個，為什麼能寫成一行？這恰恰體現了數學符號的威力，一個省略號就可以表示幾個億億，一個小小的 p 也可以表示一個天文數字。）
我們讓這些僅有的素數全部相乘，再把這個乘積加上1，
(為什麼要加上1呢？這恰恰是整個證明過程中最精妙的地方，您們看到後面將會恍然大悟)
就會得到一個很大的正整數 n
n=2×3×5×7×11×13×17×………×p 1
(回憶第六個知識點：每個大於1的正整數n，一定是某個素數q的倍數。)
根據第六個知識點，n必然是某個素數q的倍數。但是這個素數q 必然是落在我們所羅列的僅有的有限個素數中，所以上述的乘積2×3×5×7×11×13×17×………×p 也一定是 q 的倍數。根據第四個知識點，
(回憶第四個知識點：如果正整數b和c都是a的倍數， 那麼b c和b-c也都是a的倍數。)
既然 n 和 2×3×5×7×11×13×17×………×p 都是q 的倍數，那麼
1=n－2×3×5×7×11×13×17×………×p
也一定是素數q 的倍數。
但是，注意了，1，不可能是素數q 的倍數。
(這就是當初我們為什麼要取n為乘積2×3×5×7×11×13×17×………×p加上1的原因，目的是為了直截了當地推導出矛盾)
這樣我們就得到矛盾，所以先前的假設不成立，素數的個數是無限的。
證明完畢
如果您讀到了這裡，並完全讀懂了上面的內容，那麼恭喜了，您已經打開了一扇數學之門。
傳播數學，普及大眾
TAG:好玩的數學 |