專訪Stefano Bianchini、鄔似珏教授與尤釋賢教授

(由左至右為尤教授、Bianchini教授與鄔教授)

策劃：劉太平

訪問：劉太平

時間：2012年11月2日

地點：中央研究院數學研究所

原文整理：甘濟維、陳麗伍

好玩的數學獲授權轉載自《數學傳播》2012年第36卷第4期，在此感謝！

Stefano Bianchini，畢業於Politecnico di Milano， 1995 BS、MS， SISSA， 2000 Ph.D。先後受聘於Max Planck (Leibzig)，中研院數學所2000-2001， CNR-Rome 2001-2004，自2004年為SISSA教授。Bianchini教授的研究領域為守恆律及測度論。

Sijue Wu (鄔似珏)，畢業於北京大學， 1983 BS， 1986 MS， Yale University 1990 Ph.D。先後受聘於NYU， IAS， Northwestern University， University of Iowa， University of Maryland，自2003年為University of Michigan教授。鄔教授的研究領域為調和分析及水波運動。

Shih-Hsien Yu (尤釋賢)，畢業於台灣大學， 1986 BS， 1989 MS， Stanford University 1994 Ph.D。先後受聘於IMA， UCLA， Osaka University， City University of Hong Kong，自2007年為National University of Singapore教授。尤教授的研究領域為守恆律，空氣動力學及偏微分方程之邊界關係。（圖片中從左至右為曾根良夫和尤釋賢）

三位教授正當盛年，皆以獨步的創見、深入的分析，分別在其研究領域作出重要的貢獻。

劉太平(以下簡稱「劉」)：這星期的研討會[2012非線性分析,發展偏微分方程和空氣動力學,國際研討會,　10月29日至11月2日在中央研究院數學研究所舉行。]，演講的人照姓氏字母排序。Stefano不想按照這個順序發言，他說這樣不太公平，那我們就倒過來，從字母在後面的開始。釋賢，你是熟悉這種訪談的。

尤釋賢(以下簡稱「尤」)：是的，我以前跟你一起訪問過很多人。

劉：我們常常從這個問題開始：你為什麼及如何走上數學這條路?

尤：如何走上數學這條路?我感覺命運很奇妙，其實我那時也沒什麼選擇。考大學的時候，一開始想要念物理，那時認識了一個台北人，讓我覺得台北很有意思，就把志願的順序改了。不知道是幸還是不幸，我進了數學系；分數不到，進不了物理系，卻以高分進了數學系。我試過轉物理系，成績太差，轉不成，只好留在數學系。最後才意識到我的心是在數學上的，這是上天決定的。當時如果選了其他科系，日子會很難過。

鄔似珏(以下簡稱「鄔」)：所以不是因為你喜歡數學。

尤：我真心喜歡數學，不過那時候，湊巧上天給了我更多機會去尋找我真正的興趣。

鄔：用刪去法?

尤：現在我對科學有更多要抱怨的。早期物理學家和數學家是同一群人，當初我想要念物理，是因為同時也可以悠遊於數學，所以當時比較想成為物理學家，不過現在情況不同了。

劉：你認為念數學和念物理沒什麼差別，都是數理科學。這是你的想法?

尤：沒錯。從18、19世紀的例子看來，他們本質上是相同的。只不過物理學家有更多自由想像的空間。

Stefano Bianchini (以下簡稱「B」)：我這麼說可能有點怪異：從集合論當中我們可以找到某些跟現實相關的東西，而只要深入去研究，這是探尋普世視野的關鍵。我真的相信我們的思考方式，也就是說集合論的法則,是從天地萬物學來的,這應該是宇宙間知識的本質。

鄔：我不大明白你所說的集合論是什麼。你可以闡釋一下嗎?

B：我們所用的，從假設演繹出定理的推論，是一種真實的東西。為什麼我們會學到這個法則，這是因為數千年的經驗讓人腦了解這些簡單的推斷法則，並且對現實進行演繹。我們演繹的方式不是創造出來的,是歸納出來的,它根源於自然的選擇。

鄔：這是普世的真理。

尤：我們處理很多可知的資訊，不需要無中生有。在這之上，我們可以做更多的事。舉例來說，我們使用語言，但不創造語言。

B：即便是不同的語言，都有共通的規則，這一點是真的。

劉：你一直想念數學，是這樣嗎?

鄔：不，不完全是。我一直認為數學並不是我想做的。

劉：問錯問題了。你是怎麼進入數學的?

鄔：我成長的時候，在中國不大有學習的機會，然後在文化大革命之後，政府大力提倡科學，有許多科學競賽，其中最受矚目的是數學競賽。高中時，因為跳級的關係，我物理和化學學得不多，基礎較弱。其實我的文科很好，這是我真心喜歡的，一直到現在還是。但是因為參加了數學競賽，而且脫穎而出，從市級，到省級，最後到全國性的比賽。在過程中，為了參加下一個階段的比賽必須缺課受訓。一開始跳級，就讓我處在弱勢，再加上為了晉級比賽，又缺更多課，最後，我沒太多選擇了。同時，我們分為文科和理科，理科被認為比文科好。因為我是好學生，自然而然地我應該讀理科。而因為參加了數學競賽，數學就成了唯一的選擇。後來我沒有贏得全國性的比賽，必須參加高考。我考得不錯，那時候，數學是競爭最激烈的科系之一，北京大學又是最難考的，而我以第一志願進入北大數學系。不過當時我並不知道念數學是為了什麼，我以後想從事什麼樣的職業，我可以用數學來做什麼，一點概念都沒有。可是其他理科科目我懂得不多，我沒有信心選擇其它科系。

劉：釋賢說他找到了真愛。你呢?

鄔：這不是我唯一的愛，但這是我的真愛之一。

尤：事實上，我覺得台灣的環境很好。我在台大的大學生活很棒，我們有自由。我在宿舍交了很多朋友，宿舍里有很多不同科系的人；在繫上，也可以結識很多朋友，有厲害的學生，也有比較弱的學生，可以看到各式各樣的人，有機會去找尋真正的興趣所在。

鄔：但是不論有沒有跟人互動，你都應能認識到自己心裡真正要的是什麼，不是嗎?

尤：嗯，有時候是需要跟人互動的。

鄔：我是直到最近才發覺數學是我真正喜歡的。

劉：這讓我想起陳省身先生的話：有些人談到對數學的興趣；但是一個人有能力做，自然會有興趣。我想你是有能力做數學的人。

鄔：在潛意識裡，我一直覺得我更喜歡別的東西。

劉：這是健康的態度。

鄔：雖然我從沒做過其它事情；也許別的事我可以做得更好，我總認為我還有其它選擇。這麼想讓人自我感覺良好。

劉：那叫做「希望」。

鄔：是啊，我做其它事會做得更好。

劉：或是「願望」。

鄔：「願望」。那是真的。直到最近我才發現數學是我的真愛。當你知道為什麼做數學，這點很重要，數學才會變得有趣。

劉：似珏，你早上剛給演講時，我看得出來你樂在其中。

鄔：雖然我過去不知道我喜不喜歡數學，但是剛開始教書的時候，學生們總是說， 「顯然你很喜歡你的科目。」

尤：所以你喜愛它吧?

鄔：是啊，甚至不自覺地，也沒有試著去承認我喜歡它。

B： 我高中畢業時，想要念物理，不過我父母說， 「不，不，不，這樣子你找不到工作，學工程吧。」事實上，我學的是工程。但是在學習過程中，我改變了方向，因為我發現數學不需要知道很多概念就能了解，只需要知道初始的定義，或是只需要知道定理的敘述，然後自己建構證明或定理所需要的許多步驟。只要有一個明確的陳述，循此你可以自己判定是不是走錯了方向，有點像是一個遊戲，讀了證明，就可以看出對或錯，所以我決定申請攻讀數學博士。然後遇到許多偉大的數學家，這對我很重要，我因此了解到不同的可能會引向不同的路。為什麼喜歡數學?數學不只是規則或競賽，數學是一種思考和詮釋生命的方式,它是唯一一種我們可以 確切陳述的知識；我們無從了解宇宙，這是每個哲學家都知道的假設。在這個情況下，數學不是如古典力學、量子力學、或是更複雜的理論中得到的描述；數學是方法,是我們從假設得到 定理的方法,是事實的關鍵,是真理。如果時光倒流，再選擇一次，嗯? ?由於我認可這種思考方式的重要性，當然不願意因為改變學科而失去這樣的思考方式，我需要這種對生命的了解，所以我會再選擇數學。在已知的宇宙中，只有人類能夠做數學問題，沒有電腦或動物有這個能耐。不過未來或許不是如此，就像下棋，現在電腦比人腦厲害，所以我想很久以後，可能一個要緊的事是，人類發展出比我們自己還會思考的機器和演演算法。 ??

尤：你對伽利略[Galileo　Galilei　,(1564-1642),義大利物理學家、數學家、天文學家和哲學家,被尊為現代科學之父。]說的「數學是上帝的語言」有什麼想法?

B：那正是我的想法，不過我說的還要更深一層。數學不僅是「現實(reality)」的模型，雖然你可能永遠不會了解或證明這是不是個正確的模型，但是數學語言代表的是我們對萬物真正的知識。

尤： 那是造物者的語言。這是所有領域共通的。

劉：真好。你訪問過中研院數學所幾個月，我記得你爬山和打太極拳，同時，你做了中心流形坐標(center　manifold　coordinates)。可以談談嗎?

B：這含有兩個部份。第一，中心流形坐標的想法是來台灣前才想到的。我不知道該怎麼說，有些地方讓你一下飛機或一下車，就有回家的感覺，對我來說台北就是這樣的一個地方。你們讓我可以安靜的做自己的事，感覺有點不像是真的，因為在那之前我在德國的時候，一群人有專題討論要參加，這對有些人來說可能是好的，可是對我卻是分心。在這裡我認認真真的做了三個月，我喜歡這個地方，可以爬山或打太極拳，這一切的一切構成了適合我工作的環境。

劉：你如何想到中心流形坐標的?

B：如果你有一個非線性方程，在座都知道的標準工具，主要就是找出能做估計(estimates)的部分，估計它，其餘的項，在某種意義上來說，不會破壞這個估計，也就是說維持了這個估計。在這個情形下，如果它是行進波(traveling　waves)，就不會隨時間改變，一個正確的坐標中必須把它當作常數，而不能視為源項(source　term)，因此我們必須找出方法，把這個看似源項的移到能做估計的部份。中心流形坐標做的正是這個，只要是這些不變解(invariant　solutions)，凡是在不變流形(invariant　manifold)上的，源項一定要是零，這是關鍵。

鄔：所以在不變流形上源項是零。如果做法正確，不應該有任何源項。

劉：但是以前沒有人想到。

鄔：可能有人想過，可是他們不知道怎麼去做出來。

尤：我不覺得是這樣子， Stefano是第一個想到。

B：我的碩士論文做的是動力系統，所以我有常微分方程的背景，不然我就需要去學不變流形的概念。

尤：所以這是基因混合。

鄔：我覺得我的話應該以更廣義的方式來理解。不變流形是Stefano的選擇。一般來說，如果所考慮的情形是沒有源頭的，那麼做法正確的話，就不應該有源項。

B：這是一種思考的觀點。如果是動力系統，我立刻就可以看出裡面的端倪，我有背景讓我知道什麼是正確的部份。

劉：似珏，你研究水波(water　waves)。你今天早上的演講真好。原本你是做調和分析的，對吧?

鄔：我同意Stefano說的，這也是我在想的。理論上，我也覺得我的方程應該是沒有任何源項的，問題是如何把方程式放在正確的架構上，得出乾淨利落的結果。Stefano有不變流形，至於我，我還不知道該用什麼工具。您問我為什麼研究水波嗎?

劉：我聽人說過調和分析是個核心科目，做調和分析的人可以轉入偏微分方程，比方說像Bourgain[Jean Bourgain,(1954～2018),比利時數學家,　1994年以在調和分析的深入研究而獲頒菲爾茲獎。]那些人，以直接的方式把調和分析應用到偏微分方程上。不過你的情形，從調和分析到偏微分方程的銜接方式在我看來不是很直接明顯，是這樣嗎?

鄔：您是問我怎麼開始的?我在聽完Thomas Beale[James　Thomas　Beale,現任教杜克大學(Duke　University),研究興趣包括偏微分方程和流體力學。]在ICM[The　International　Congress　of　Mathematicians　(國際數學家大會,簡稱ICM),每四年舉行一次,由國際數學聯盟主辦。]的演講之後開始做水波。我覺得這個主題很有趣，他的分析中有邊界積分(boundary integrals)出現，而我有了解邊界積分的工具。這是我真正喜歡調和分析這種基礎科目的地方，就像Calderón[Alberto　Calderón(1920～1998)，阿根廷數學家,於偏微分方程和奇異積分運算元的研究有重要貢獻。]， Coifman[Ronald　Raphael　Coifman,數學家,現任教耶魯大學(Yale　University),研究興趣包括基波理論和奇異積分。]-McIntosh[Alan　McIntosh,數學家,研究興趣包括調和分析和偏微分方程。]　-Meyer[Yves　F.　Meyer　(1939～ ),法國數學家,小波理論之父之一。]的工作，他們證明何時定義在曲線上的柯西積分(Cauchy　integral)或是希爾伯特轉換(Hilbert　transform)是從L2到L2的有界運算元，這是個很基本的問題，做的時候不見得會了解它都有些什麼應用。有趣的是, 如果你能夠證明這麼基本的東西,自然會有很多應用。我聽到水波問題的時候， 意識到我有分析它的一些工具， 所以決定踏進去， 仔細看看。不過， 在做的過程中， 注意力是集中在問題本身、在想了解的事情上， 不是因為有了工具就一定要應用， 而是看著想要解決的問題， 思考其中最關鍵的是什麼?那個時候， 我只是覺得， 我可能多少佔些優勢， 因為我是Coifman 的學生， 我了解一些調和分析的工具， 知道很多研究偏微分方程的人可能不知道的定理。不過， 具體要解決哪個問題， 用什麼方法解決， 那又是另一回事。

Ronald Coifman， 鄔的導師

劉：你說當有了問題，不應該一直想著如何應用你的工具，而是要試著去了解問題本身，對嗎?

鄔：對。當你弄懂了問題，你就有了起點。你不會去做一個完全沒有感覺的問題，必須要有一些感覺的。

劉：這是真的，是個真理，可以寫在我們的大門上。

B：可是有時候我會做我一開始不知道的問題。

啟功書法：問渠那得清如許?為有源頭活水來。

鄔：最開始的時候我也不懂。我開始做水波是因為已經思考了一陣子vortex sheet的問題。拿到博士學位之後，我意識到調和分析發展得算是成熟了。調和分析的發展，是因為有偏微分方程作它的源頭之一。所以必須到源頭去找問題。我一個人到處看，想找問題，卻找不到問題，這時候我遇到看來簡單的Euler方程，我開始考慮其中的vortex sheet問題。可是到底要解決什麼，人們關心什麼，我那時一點想法都沒有，我不知道我該做什麼，就卡在那裡。然後我聽到這個水波問題，看起來有相似的地方，我就想，何不試試這個呢?當然，在過程中，我了解了泰勒符號條件(Taylor　sign　condition)很重要，在Thomas Beale、 Tom Hou(侯一釗)和Lowengrub的論文中假設了這個條件。那時候我在西北大學，在那裡很容易看到波浪，因為學校就在密西根湖邊。我看著波浪，發現就算它翻過來，也沒有破碎，它不應該破碎，這個條件無論如何都應該是對的，然後我證明了它。

劉：很多人希望自己也可以說"這應該是對的，然後我證明了它。"

鄔：在我看來它是對的，但是實際上剛證明出來的時候許多人都還不相信。他們說浪一旦翻過來，就應該破碎了，它是不穩定的。但是在我看來，雖然翻過來了，仍然是好的，因為觀察的時候，必須把風以及其它東西造成的效應區隔出來。來這裡之前，我在香港訪問。那裡有人問我：「你做實驗嗎?」我說： 「我不做，但是我觀察波浪。」「可是你很難區隔出風的效應? ?」確實，不過我認為如果觀察夠用心、夠仔細，你會知道到底是怎麼一回事。既然你提起調和分析，我可以說調和分析提供一種語言，應該說是一種工具。 ??

尤：是一種載體。

鄔：對，是一種載體，但這不是全部。關鍵是如果你懂調和分析,那麼當你面對一個奇異積分時, 你不會害怕；調和分析的知識讓你有一個基本的感覺，知道它什麼時候有界，為什麼有界。不過要解決問題，你必須了解方程式的本質，而這不僅只是調和分析。

劉：因為每個情況都不同。

鄔：對，這是最重要的部份。一旦把水波問題化約成一個邊界上的問題，就會得到奇異積分，就必須處理這個奇異積分。比方說你知道什麼時候 u×v 是有界的：你知道當u是有界的， v是有界的，那麼 u×v 就會有界。可是現在我們有一個積分的形式(integral　form)，也想知道它什麼時候有界，而調和分析讓你對於它是否有界、什麼時候應該有界，有些基本的概念。一般來說，如果是一個直接了當的方程式， ut?Δu=u2，你直接去解它就是了。但如果方程中包含著某些積分的形式，你不免擔心，這個積分是什麼意思。如果你熟知調和分析，你會說， OK，這是我可以處理的，我不需要擔心。

劉：所以你不會把注意力放在不必要的地方。

鄔：沒錯。只需要專註在需要了解的地方，也就是方程本身，而不是顧慮這個積分是否有界或是在什麼意義下有界。

尤：那給了你信心。

鄔：正是。不會為一些基礎的東西而分心。

劉：這跟你從動力系統得到的幫助有點不同，對吧?

B：對，有一點不一樣。

鄔：可能一樣。

B：我想你要強調的是，在你的情況，調和分析讓你能夠專註在需要研究的部份，但這不是標準的調和分析；而我換了很多主題，也寫了一些測度論和線性傳遞(linear　transport)的論文。我剛開始做數學的時候，碩士論文寫的是動力系統，然後做了一些測度論，接著改做雙曲方程(hyperbolic　equation)。我完全從零開始，之前動力系統並沒有任何對雙曲方程直接甚或是接近的應用。事實上，中心流形只是其中的一小部分，因為動力系統是個很廣、涵蓋很多部份的科目，不變流形只是其中的一小塊。說起來我只是運氣好。

鄔：我覺得沒有幸運這種事。可能直覺上你覺得這個行得通。

劉：在比較表面的層次上，可以說是運氣好;做出這樣深度的研究，那就不可能是運氣好。你會碰到某個東西，那是運氣。

鄔：你得往那個方向走才會遇到，是吧?那不是幸運，因為你有那麼多方向可以走。

劉：釋賢，我不大清楚你怎麼最後會去研究邊界關係(boundary　relation)。在偏微分方程里有初始值問題、邊界值問題，可是你做的是不一樣的東西。

尤：大家覺得我會試著走相反的方向。我相信如果問題經過那麼久還在那兒,一定有什麼地方出 錯了,沒做對,因此做不出結果,所以要回歸最基本的地方。我決定從頭開始重新思考這個問題。舉例來說，當大家都用一個方法做問題，我總會試試別的方法，看看會發生什麼事。當我檢視這、檢視那，發現有很多東西含混在一起，所以我有機會思考什麼才是真正應該探究的東西。我捨棄了很多別人已經建立的東西，從零開始。如此，去掉了知識的包袱,可以自由 地、無拘束地看東西,最後所有的事都變得很簡單。

劉：我想每個年輕人都要自由，不過這樣常常讓他們變成遊民。所以這種想要自由的渴望絕對不是能夠成就的充分理由。

尤：那是情感。

鄔：既有的成規也許有其意義，你不能把它都摧毀掉。

尤：我覺得應該要摧毀。成規不代表一定得遵從。例如，亞里斯多德的學說風行了兩千年，可是化學出現後，就需要做更深入的探究。

B：那是人們對於亞里斯多德的詮釋。我認為亞里斯多德對於新的概念是很開放的，人們誤解了他。

尤：成規是可以的,但是不要把它變成宗教。

B：人們喜歡有人可以告訴他們該做什麼。

鄔：對，那很不幸。其實我很年輕的時候，總是覺得應該要跟隨什麼。或者說，至少我不知道要做什麼；那是一段很黯淡的日子，然後，我做水波，用自己的方式做，從此感覺脫胎換骨，對於做研究才真正樂在其中。

尤：回到太平問的問題。我從頭開始，檢視所有的東西，發現每個步驟都有困難的地方，有些東西破壞了所有的程序。我也試過以逆變換(inverse　transformation)的方式去做，等等，可是初始數據(initial　data)在那裡，我發現哪裡也去不了，卡住了很久。那麼，何不拿掉初始數據!拿掉初始數據之後,所有事情都不一樣了。我們的教育是這樣的，在偏微分方程課，分離變數，把邊界值拿掉，考慮初始值問題，全部都是齊次項。我們的知識是這樣來的，回頭去看才發現初始數據是問題的癥結。

劉：你求邊界關係，初始和邊界數據給你困難，於是你兩者皆拋。

尤：對。初中、高中的時候，我們學習如何控制參數。做物理實驗的時候，不會把複雜的東西都放在一起。我想數學可以跟做實驗一樣，要簡化問題,嘗試找出困難的主要原因。

劉：我聽了你們三位敘述為何做目前的題目、如何進行、又如何得出結果，可是基本上我覺得這其中仍有神秘不可言說的地方。

鄔：像釋賢說的，你必須真正給自己自由。

B：你選擇做一個問題，不只因為你喜歡它，也因為知道解決那個問題時會學到新東西。

劉：你有那個想望。

B：不然就算問題解決了，什麼也沒學到。

鄔：你能夠發掘出一些未知的東西。

尤：你不必創造新東西，只是做出一些東西。

鄔：其實是想要了解一些不曾了解的東西。

劉：Stefano，我知道你在做測度論， 比薩學派或是義大利學派的東西。一直以來你都主張測度論是真實的、重要的。

B：我覺得測度論對於許多如多維雙曲方程尚未解決的問題，將會有根本上的影響，這就是為什麼我從完全不相關的問題開始。我有一點背景，因為博士研究生的前兩年做測度論，後來才換了。我喜歡測度論，一方面因為它是完全理論的，你可以用測度論重新有系統的表述數學邏輯，產生關於矛盾的問題。一旦空間變得很弱，或一旦假設變寬，可以出現失序的狀況；可是另一方面，因此可以把很多方程式解釋為測度的傳遞(transport)，這樣一來，解就不再是古典解，甚至不是弱解，甚至不是可以計算的。測度的非線性(nonlinearity)沒有意義，因為它不是函數，你一無所有；但是這個障礙(obstruction)讓你專註在重要的東西上，例如消散(dissipation)，因為消散是定義在測度上的。有些情形，例如可壓縮Euler方程的消散，已經可以做出來了，不過這只是我的詮釋。我們應該可以把方程式重寫成測度或空間的運動,這些測度和空間描述局部狀態。因此，測度是一個更為複雜的東西，實際上已經不再是局部了，其意義需要加以詮釋，我覺得這是一件很好的事。數學裡很重要的一部份是給先驗上本 無意義的事情賦予意義。而數學內在的核心在於：你在一些事實之間。我現在想要思考的是，即便只有公式，是現實里不存在的東西，如果理論正確，仍然可以正確詮釋，通過正確的詮釋，對於現實將有新的體悟。許多問題互相關聯，現在沒有人能夠賦予這些問題意義。十到十五年來，有許多被規避掉、尚未解決的問題，它們本身很有趣，這些問題引領我們汲取知識，取得工具，提示未來的方向。

劉：關於可壓縮流，你的觀點很受歡迎，因為現在有個危機，就是解應該在什麼函數空間里，你提出了不一樣的說法。

B：即使方程不正確，也可以的。我們需要的是有正確性質的時間軌跡，為什麼必須是方程呢?測度論是個廣泛的科目，我並不了解它的所有方向，但我可以用它做為基本的工具。有些偏微分方程問題和幾何測度論相關，我真的很喜歡，因為測度論很簡潔。另一方面，它跟數學邏輯很相近，讓它非常乾淨利落。它有下面令人驚嘆的事實：一個函數的基礎特性是它可以被局部化，所以如果有一個點，函數給你一個值。但測度不是這樣，測度必須作用在一個集合，或是特定的集合，但它竟然也可以被局部化。這個很棒，因此有一個測度關於另一個測度的導數概念，以及其它許多可以討論的東西，我對於測度論的看法主要是這樣。如果函數不足以描述你的系統，譬如說，有一個函數乘以勒貝格(Lebesgue)測度，就不再是函數，但卻是一個測度，所以某種意義來說，測度是函數觀念的延伸。因此，或許在這個新空間里，可以解決以往無法解決的問題。例如，在F. Golse（他的一個訪談見 https://web.math.sinica.edu.tw/mathmedia/interview18.jsp?mID=33201）的演講中，如果不用測度論處理，會非常複雜。不過一旦把流(flow)詮釋成作用在測度上，就會變得很乾凈利落。

鄔：測度論提供你描述時需要的語言，所以你仍然有目的，每件事都有個目的。

劉：所以在博士生的訓練過程中，必須在某一個核心領域有紮實的訓練，對它有不錯的感覺，並不只是解決一個好的問題就好。

B：人的精神體力隨著年紀增長而降低，但最重要的是時間少了，這是最大的困難，你可以海闊天空學習的時間變少了。仍然可以做，不過時間變少了。

鄔：我想年紀越長，開始意識到有那麼多的問題可以解決，去做可以用手邊已有工具解決的問題要簡單多了，比較沒有動機學習完全無關的東西。

B：不過這跟時間變少也有關係。

鄔：你必須自覺的學習新東西；必須要有強烈的願望。

B：當學生的時候，修課是基本的，你選擇一個科目，必須徹底了解。而教書，是另一種強迫自己學東西的重要方法。

鄔：我覺得如果想要把書教好，教的科目必須是你有所涉入的，比方說，如果要我現在教代數，我不知道代數所為何來，我講課一定很枯燥無趣。

劉：對了，說到代數，這些日子釋賢都在想著代數。

尤：伽利略相信數學是上帝的語言。我想代數是數學的精髓。

鄔：真是這樣，我同意。在我做了我的方程事實上不含二次非線性的工作之後不久，做了一場公開演講。我們系主任Mel Hochster ，一位很好的代數學家，跑來跟我說， 「其實你最關鍵的工作是代數。」我說， 「沒錯。」需要做代數運算把方程式重新制定成那個好的形式,這些運算 是等式,不是不等式。

尤：例如，在代數里，可以做加減乘除這些事情。這不只是等式，這是物件，可以作運算，可是如果把它分成幾個部份，頭和手和腳等等四處分散，移動其中一個，就走樣了。不過 有代數在那 里，一個方程式是一個物件，如果移動另一個物件，仍然會有完美的平衡 ，我特別要說的，多項式就是這樣的一個物件。

鄔：我不知道我們對於代數的觀點是否相同。

B：代數是很廣的學科。

鄔：至少對我而言，我總想斤斤計較什麼都捨不得，儘可能導出等式而非不等式。

電影《 從你的全世界路過》台詞

劉：或許可以把常說的一句話改成， 「每個好的理論的背後都有一個等式。」

鄔：或許不是。我說教代數是指教範疇論、場論，或是群論，這些科目我無法告訴學生所為何來，所以講課一定枯燥無味。只有在知道為什麼要做一件事時，你所做的這件事情才有生命。

尤：我舉個例子。在羅馬時代，做乘法是很複雜的。不過知道怎麼做乘法和除法之後，事情就不一樣了。所以上帝賦予的語言帶有某一種簡潔。大部份時間我的腦袋缺乏新的想法，也無法了解新的問題，不過有時候新想法是在潛意識裡產生的，一定有誰把想法放到我的腦袋裡，這是個謎。未來還有很多未知的物理現象要解決，現在該是用物理和數學來探索新想法的時候了。

劉：你是說未來有很多自然現象等著探索，而數學將扮演核心的角色。

尤：對，數學仍然可以成為科學之母。

鄔：不是可以，它是，它應該是。想想看，無論數學家或物理學家都想要了解自然的規則，如果這是既定的目標，我們就知道該做什麼。

尤：對，不過看看現在的情形，沒有物理學家或工程師願意認真跟你對話。

鄔：我今天早上跟曾根（按：指 曾根良夫，Yoshio Sone）教授談了一些，我們在很多事情上意見一致。

劉：我喜歡釋賢的說法，要強調就要誇大。你說「沒有」，不過當然你不是真的指沒有人。

鄔：只要有一些人認真跟我們說話，就夠好了。

劉：只能希望如此。你剛剛說要找出自然的法則。

鄔：了解自然的法則，就是要「了解」，因為各種現象就在身邊，但是我們想要了解其規律。

B：Newton的方程式很簡單，卻可以從Newton到Boltzmann到Euler ，這很複雜。雖然現實的模型很簡單，但現實很複雜，即便是在古典力學裡，都非常豐富。另一方面，只要不是有限集合，就像我們的情形，就沒辦法描述或演繹每個假設，這很複雜，也很有趣。

劉：釋賢，你有其他的結論嗎?

尤：有，數學家還是有希望，希望能夠佔據科學的核心。

B：媒體把事情扭曲了，高能物理的領域中有很多數學家在做模型。許多模型沒有內在一致性，要從假設、法則開始證明一致性。這是數學的世界，沒有模型能夠做這件事。歐洲核子研究組織(CERN)有個新機器,沒人注意到有多少數學家在那裡服務,數學家讓機器順利運作,也分析結果。人們以為那裡只有物理學家,但情況並不是這樣。

劉：今天很謝謝你們，未來希望能夠常在這裡見到你們三位，無論是單獨或一起來。

*　本文訪問者劉太平任職中央研究院數學研究所,　整理者甘濟維、陳麗伍為中央研究院數學研究所助理。

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