黑洞中隱藏的5個公式

引子

北京時間4月10日21時，人類歷史上首張黑洞照片正式披露。

黑洞，這個神秘莫測，看不見摸不著，能吞噬一切物質，甚至連光都不放過的宇宙怪獸，第一次不再活在科幻大片的虛擬設想中，真正與我們見面。

成功拍下的黑洞照片的事件視界望遠鏡，據科學家聲稱，對深空天體的觀察能力，相當於在紐約能數清洛杉磯的一個高爾夫球表面的凹痕。

對於物理學家來說，可能他們需要照片來證實自己的理論。

但對於數學家來講，他們無需任何照片，這100多年來，他們通過對公式的演算就能推導出黑洞的各種性質。

這5個與黑洞相關的數學公式，才是破解黑洞真相的密鑰。

01

愛因斯坦「引力場方程」

發現黑洞？

很少有人比發現黑洞存在的這個人更討厭黑洞：他就是愛因斯坦。

1915年，愛因斯坦發表了廣義相對論，提出了著名的「引力場方程」。

本來希望大家用這個方程能認真理解物質是如何引起時空彎曲的——就像一個鉛球放在彈簧墊上，就會引起彈簧墊表面會向下凹陷。

但沒想到這個彈簧墊上一個月後直接破了個洞，史瓦西在場方程中找到了第一個非平坦時空的準確解時，意外地發現了一個密度足夠大的物體，它最終將在時空中形成一個被稱作奇點的「無底洞」，即黑洞就是場方程的一個解。

我們來看下場方程，里奇曲率張量減去二分之一的度量張量與里奇標量的乘積，與能量-動量-應力張量成正比。

也就是說，如果已知一個恆星、一個黑洞甚至一個宇宙，可以算出物質能量濃度周圍的曲率。

按照廣義相對論，物質決定時空如何彎曲，而光和物質的運動將由彎曲時空的曲率決定，當曲率大到一定程度時，光線就無法跑出去了，黑洞的概念也就由此而生。

那黑洞究竟長什麼樣子？

如果一切都如廣義相對論的預期，那麼我們看到的黑洞圖像將會是：

一個圓形「剪影」被一圈明亮的光子圓環所圍繞。

觀測黑洞的剪影非常重要，因為它的形狀和大小是由愛因斯坦的廣義相對論所決定的。

科學家一直很渴望在黑洞這樣極端的引力環境中，檢驗廣義相對論的有效性。

02

史瓦西半徑公式

黑洞的大小？

史瓦西，不僅是使用廣義相對論方程證明黑洞的確能夠形成的第一人，更是首次發現了史瓦西半徑存在的人。

愛因斯坦使用傳統的直角坐標系去破解自己的場方程，最終得到了一個近似解。這讓向來具有強迫症的史瓦西實在看不下去，於是，他另闢蹊徑地引入了一個類似於極坐標系的坐標系，使得場方程變得更優雅明確，並導出了場方程的第一個精確解。

這個解給出了一個靜態球對稱黑洞（即史瓦西黑洞）的描述，並定義了任何具有質量的物質都存在的一個臨界半徑特徵值，即「史瓦西半徑」。

式中，Rs為天體的「史瓦西半徑」，G為萬有引力常數，M為天體的質量，c為光速。

這個半徑，也是黑洞的視界半徑，即黑洞的重力場捕捉光使其不能逃逸的範圍。

通過公式，我們可以計算出一個物體想要變成黑洞，其半徑要縮小到多少才行，太陽需要縮小成3千米才有機會變成黑洞，而地球的史瓦西半徑只有約9毫米。

史瓦西為黑洞確立了一個「視界」。

這個視界是光子的牢籠，光子只能被禁閉在「視界」之內，「視界」之外的空間仍然是平直的歐幾里德空間，光子仍然遵守地球空間中的一切物理定律。

在它的中心，所有的物質都被無限壓縮，時空被無限彎曲，「一切科學預見都失去了效果」。

沒有時間，也沒有空間。

它就像宇宙中的無底洞，任何物質一旦掉進了這個「引力陷阱」，基本就再也逃不出來了。

03

黑洞熵公式

黑洞有「毛」嗎？

這個公式讓我們了解黑洞本身的性質。

如果往黑洞里倒一杯熱茶會怎樣？

20世紀70年代，作為「熵 定律」的忠實粉絲，惠勒向「經典黑洞」提出了質疑。

熱茶既有熱量又有熵，但一切物質被黑洞吞下後就不見了，造成總體的「熵值」似乎不是增加而是減少了，這不是有悖「熵 定律」嗎？

廣義相對論所預言的「經典黑洞」，奉行的是「黑洞無毛定理」，也被戲稱為「黑洞三毛定理」。

所謂三毛，指的是無論什麼樣天體，一旦塌縮成為黑洞，就剩下電荷Q、質量M和角動量L三個最基本的性質。

天體的形狀、大小、磁場分布、物質構成的種類等等，都在引力塌縮的過程中丟失了。對黑洞視界之外的觀察者而言，只能看到M、L、Q這三根毛。

那熵，這個代表微觀信息不確定度的物理量在哪？

1972年霍金證明的「黑洞視界的表面積永遠不會減少」給了貝肯斯坦極大的啟迪。

藉助於史瓦西半徑為黑洞確立的「視界」，1972年，貝肯斯坦發表了一篇霸氣論文《黑洞和熵》，提出黑洞的熵就是它的表面積除以普朗克常數平方再乘以一個無量綱數。或者說，越大的黑洞熵越多，熵和表面積完全成正比。

貝肯斯坦的黑洞熵概念使得「熵增加原理」對黑洞仍然成立。

比如說，當你扔進黑洞一些物質，就像惠勒所說的一杯茶，之後，黑洞獲得了質量。而黑洞的面積是和質量成正比的，質量增加使得面積增加，因而熵也增加了。黑洞熵的增加，抵消了被扔進去的茶水的熵的丟失。

04

黑洞溫度公式

黑洞溫度有多高？

傳統上認為，黑洞有進無出，任何東西都不能從黑洞的視界之內逃逸出來。

當貝肯斯坦提出黑洞熵概念後，所有人都覺得：這個人一定是瘋了！

當年的專家們都確信「黑洞無毛」，可以被三個簡單的參數所唯一確定，那麼，黑洞與代表隨機不確定性的「熵」應該扯不上任何關係！

霍金一開始也表示不相信：如果黑洞具有熵，那它也應該具有溫度，要有溫度就一定要向外發出熱輻射，這怎麼可能？

然而與貝肯斯坦戰鬥、進行了一系列的計算後，霍金髮現原來「黑洞不黑」！

承認了貝肯斯坦「表面積即熵」的觀念，霍金在此基礎之上提出了著名的「霍金輻射」：原本經典理論上「一毛不拔」的黑洞在黑洞量子力學中也可以通過一定的機制發射黑體輻射！

根據熟知的熱力學公式，溫度可以看作是使得系統的熵增加1比特所需要的能量。因此，從黑洞熵的表達式，可得史瓦西黑洞的溫度：

C表示光速，h是普朗克常數，G是牛頓引力常數，π是圓周率，而k是玻爾茲曼常數。

這個公式表明，一個黑洞猶如一個具有溫度的熱體一樣發射輻射，其溫度只與它的質量有關。

黑洞的質量越小，其溫度就越高。

通過這個黑洞公式，熱力學，力學和量子力學被結合在了一起，這也成了霍金的成名之作。

05

黑洞行為

拉馬努金公式

1919年，印度的貢伯戈訥姆。

拉馬努金躺在病床上，他的女神在夢裡給了他最後一個公式——模θ函數。

這個公式令同時代所有的數學大師都不解，沒有人能看懂它描述的啥。

2012年，這個神秘的公式終於被破解，科學家發現它有助於研究黑洞行為。

然而在100年前，還沒有一個人知道黑洞是什麼！

一個世紀後的拉馬努金，又用他自學成才的數學天賦再一次征服了宇宙。

這個征服宇宙的神秘函數，本質上是模形式。

拉馬努金猜測，在輸入特殊值時，也許能這樣描述模θ函數：它和模形式毫不相像，但特性類似，這種特殊值稱為奇點，靠近這些點時，函數值趨向無窮大。

如函數f（x）=1/x，它有一個奇點x=0。隨著x無限接近0，函數值f（x）漸增至無窮大。

這位對數學有著野獸般直覺的天才相信，對於每一個這樣的函數，存在一個模θ函數使得它們不僅奇點相同，奇點的函數值也以幾乎同樣的速率趨近於無窮。

而黑洞的中心其實就是一個奇點。

在這個奇點上，史瓦西半徑幾乎為0，時空曲率和物質密度都趨於無窮大，時空流形達到盡頭，引力彎曲成了一個「陷阱」，成了一個無限吞滅物質的無底洞。

從奇點到奇點，冥冥之中，這似乎喻示著模θ函數與黑洞之間早就寫下了一場緣分。

這位一生堅信著「娜瑪卡女神在夢中用公式向他啟示」、寫下3900個公式的數學大師，在生命彌留之際，一定也曾點亮一盞油燈，虔誠著向女神祈求靈感。

在那一刻，他一定是看到了奇點、最接近無限的人。

結語

數學家眼中的黑洞

在數學家的眼中，宇宙是可以計算的：如果知道支配宇宙系統的基本定律，並且知道它的初始狀態，就應該能據此無限地推演它的發展直到未來。無論用牛頓定律來預測撞球的未來位置，還是麥克斯韋方程描述電磁場，或者是愛因斯坦的廣義相對論來預測時空形狀的演變，這些原理都是成立的。

作為一個普通人，我們用五官去感知宇宙，所以這張照片對我們來說非常重要。

而對於一個數學家來說，他們更在乎的是公式是否嚴謹，只有公式嚴謹，這樣推導出來的黑洞才是正確的。

這讓我們想起愛因斯坦的一段往事：當年全世界在為光線彎曲的實驗震憾時，唯有愛因斯坦非常平靜，因為他堅信廣義相對論的數學底層是堅實的，無需實驗來證明，一切都在意料之中。

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