在《生活大爆炸》完結前，他們證明了謝爾頓猜想

謝爾頓身穿印有「73」的上衣

史上收視率最高的美劇《生活大爆炸》終於要在連續播出 12 年後落下帷幕。正在這個感傷的告別時節，《美國數學月刊》發表了一篇有趣的論文，題目是《謝爾頓猜想的證明》。

撰文 | 張華

在《生活大爆炸》中，理論物理學家謝爾頓對73這個素數情有獨鍾，謝爾頓認為這個素數是最優美的（the best）。他穿的衣服上就印有73這個數字。

73到底有什麼特別之處，能讓挑剔而奇葩的謝爾頓為之痴迷？

為什麼是73？

我們知道，這個世界上的複雜事物可以通過排序變得簡單而清晰，比如學生在學校里有學號，員工在公司里有員工號，在快餐店等餐也有排隊序號。素數也一樣，早就兩千多年前，歐幾里得就證明了素數有無窮多個。我們可以引入一組「索引序號」，將素數從小到大排列。例如，連續的素數2、3、5、7……被編入索引序號1、2、3、4……

按照序號排列，73是第21個素數。

按照數學家的標準寫法，可以寫成P(21) = 73。

在這種寫法中，P(n)是一個數論函數（所謂數論函數，是說這個函數的自變數是正整數），P表示素數（Prime number），n的取值範圍覆蓋全部連續的正整數。

依照這種寫法，我們可以發現，第12個素數是37。也就是說P(12) = 37。

在《生活大爆炸》中，謝爾頓注意到一個很有趣的事實，那就是對73與37這兩個素數來說，它們正好存在有趣的對稱性：P(21) = 73，而如果我們把素數73倒過來寫成37、把序數21倒過來寫成12，這時P(12) = 37同樣成立。

謝爾頓喜歡73這個素數，一個重要原因就在於這背後的鏡像對稱性。

73與37的區別

看到這裡，你可能會問：從鏡像對稱性上來說，73和37的地位是平等的，沒有誰高誰低。既然如此，為什麼謝爾頓會覺得73比37更具有科學美感呢？

在劇中，謝爾頓沒有給出進一步的解釋，但現實世界中的數學家卻「替」謝爾頓研究起這個問題。

莫寧賽德學院數學副教授克里斯·斯派斯（Chris Spice）與兩位數學系學生注意到，73不但具有鏡像對稱性，它還具有另外一個性質，那就是「積性」（product property）。

積性的定義很簡單。一個素數 p(n)如果是有「積性」的，那麼，p(n)中的每一位阿拉伯數字的乘積正好等於n。

例如：

P(7) = 17，1×7 = 7

P(21) = 73，7×3 = 21

P(181440) = 2475989，

2×4×7×5×9×8×9 = 181440

我們注意到，謝爾頓最喜歡的73是一個具有積性的素數。但是，對於37來說，它雖然有鏡像對稱性，但卻沒有積性：3×7 = 21，與序號12不符。

這就是37不如73優美的原因。

當然，這些數學家不會滿足於此。在此基礎上，他們在2015年的一篇論文中正式提出了謝爾頓猜想：除了73這個素數同時存在鏡像對稱性與積性，不存在其他素數同時具備這兩種性質。

滿足該條件的素數，也被稱作謝爾頓素數。也就是說，論文作者認為，73是唯一的謝爾頓素數。

證明謝爾頓猜想

謝爾頓猜想的提出看似有點搞笑，因為這就好像說《射鵰英雄傳》里的黃蓉證明了n階幻方的存在性定理（具體參看黃蓉與瑛姑的對話那一部分內容）。

但是，不可否認的是，雖然劇中的謝爾頓聲稱73是「最優美的素數」（the best），但謝爾頓並沒有說73是「獨一無二」（unique）的。（因為這部劇的科學編劇也不知道73到底是不是唯一的謝爾頓素數。）

直到今年2月，情況終於變了。斯派斯與達特茅斯大學數學教授卡爾·波默朗斯（Carl Pomerance）在《美國數學月刊》上刊發論文，證明了謝爾頓猜想。

兩位數學家要解決的問題是，73到底是不是唯一的謝爾頓素數（同時具有鏡像對稱性與積性）。

由於理論上有無窮多的素數，所以如何縮小搜索的範圍，變得十分重要。

在論文中，作者宣稱，具有積性的素數，只有上文提到的三個。但要證明這一點，就需要一些數論知識了。其中最重要的是素數定理，因為有了素數定理，就可以知道我們能知道第n個素數大概等於多少。

有了素數定理，根據積性的定義，可以得到一個重要的結論：如果一個素數非常大，那麼它肯定不具有積性。從嚴格的數學推導可以估算出，當素數的位數超過46位的時候，這個素數肯定不可能具有積性。

所以，以10的46次方作為分界線，素數被分為兩部分：大於1046的素數，肯定沒有積性，因此證明謝爾頓猜想時可以忽略這部分；而小於1046的素數是可以具有積性的，它們才是我們應該關心的。

由此，論文作者的搜索範圍得到了限制。這個事情比張益唐當年對孿生素數猜想的論證過程要簡單得多，因為張益唐要面對的是無窮多個素數，不斷縮小範圍，最後逼到一個極限。而波默朗斯與斯派斯只需要面對小於1046的那些小素數。

卡爾·波默朗斯在解釋對謝爾頓猜想的證明。（圖片來源：Eli Burakian）

這兩位教授的論文一共有11頁。他們在論文中部分依靠數學技巧，部分依靠計算機編程，最後檢索完畢，證明了73確實是唯一的謝爾頓素數。

當《生活大爆炸》的科學顧問、加州大學洛杉磯分校物理教授戴維·薩爾茨伯格聽說了「謝爾頓猜想」被證明後，他聯繫上了作者，詢問是否可以在接下來的《生活大爆炸》中使用這一結論。也許，在最後一季的最後一集中，我們可以聽到謝爾頓親口說出：「謝爾頓猜想被證明了」！

原始論文：

Proof of Sheldon Conjecture

The Sheldon Conjecture

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