解讀吳文俊三大研究成就與人工智慧的淵源

2019年5月12日是著名數學家吳文俊的誕辰100周年紀念日。1956年，吳文俊因為在拓撲學上的成就，與華羅庚、錢學森獲得首屆國家自然科學一等獎；他在38歲時被評為學部委員，是當時最年輕的學部委員之一；2017年5月7日，吳文俊去世，享年98歲。吳文俊不僅有松柏之壽，也同樣有著長期而活躍的學術生涯。他長期參與數學界的地外國際交往，1979年，他與關肇直等人共同籌建中國科學院系統科學研究所；1986年他在國際數學家大會上作關於中國數學史的報告，引起廣泛的興趣．形成了復興中國數學的新趨勢；他在1970年代末開創了數學機械化的全新領域，這方面的學術思想更多地由他在90年代創立的中科院數學機械化重點實驗室傳承。

吳文俊還是同樣也是中國人工智慧歷史上一位里程碑式的開拓者。他提出用計算機證明幾何定理的「吳方法」，被認為是自動推理領域的里程碑，他也因此獲得1997年的國際自動推理最高獎——埃爾布朗自動推理傑出成就獎。但吳文俊晚年曾自我評價，自己最得意的是中國古代數學史的研究，「拓撲的那些工作不算什麼」。由此可見，吳文俊平生最得意的三件事，古代數學史的研究排在第一，拓撲學排在第二，數學機械化證明恐怕只能屈居第三。借吳文俊誕辰100周年紀念日之際，在緬懷前輩的同時，雷鋒網特此總結他在上述領域的創新研究中做出的巨大貢獻，解讀吳文俊與人工智慧的淵源。

為中國古代數學史正本清源

美國紐約州立大學石溪分校計算機系終身教授顧險峰曾經提到：「在我學習數學的歷程中，所接觸的主要定理和理論框架都是由西方人所創立，極少見到中國數學家的名字，直到學習了吳先生關於中國古代數學的系統論述，才令我體會到中國傳統數學的偉大和深邃。」顧險峰所描述的是西方學術界長期以來對中國古代數學根深蒂固的偏見，而吳文俊對中國數學史的研究，正是對這種錯誤觀點的修正。

吳文俊的研究從根本上澄清了，中國古代數學也是現代數學發展的源頭之一，除了希臘歐幾里得公理化的演繹推理體系，還有另一條與之平行的中國古代數學。但中西方認識世界和進行總結規律上的出發點並不一樣，與中國古人重視實際效果的「實用主義」不同，古希臘人從一開始就力圖探索和總結世界的本元——如畢達哥拉斯學派甚至認為，整個世界的本體就是「數」，任何事物都都可以用數來描述。這就像今天有觀點認為「萬物都是圖靈機」，可以說畢達哥拉斯學派就是當年的圖靈學派。

出發點的不同也造就了中外數學的兩條不同的表述路線。以畢達哥拉斯定理也就是我們所熟悉的勾股定理為例，在歐氏幾何中將其抽象化表述為「直角三角形兩直角邊平方和等於斜邊平方」；而我們的祖先將之具體化為更容易記憶和應用的「勾三股四弦五」（同樣的還有圓周率，西方用正多邊形無限逼近極限的方法計算，中國則略去過程直接套用22/7的「約率」和355/113的「密率」用於計算），這也是西方數學看起來嚴絲合縫，中國數學看起來並沒有形成一個嚴密的體系的原因。

（《周髀算經》中對勾股定理的證明）

從《海島算經》中證明的復原入手，吳文俊發現西算傳入以後，用西方數學中添加平行線或代數方法甚至三角函數來證明的思路是完全錯誤的，並不符合中國古代幾何學的原意。他在許多方面提出了獨到的見解，這一發現在他在1975年到法國高等科學研究院訪問時報告中有詳細提及。

在吳文俊看來，中國古代數學的關鍵字是「術」，無論「大衍求一術」、「更相減損術」或者其他的「術」，都是以機械化的解答方式，來解決數學中的實際問題。它的方法是「機械」的，與西方數學「靈機一動」的證明過程不一樣。而這也是中國古代將數學稱之為「算術」的原因——所謂算術，就是計算的「術」，這個「術」用今天的話來說就是演算法，換言之，中國古代數學，就是一部演算法大全。

吳文俊在中國古代數學正本清源的分析，也豐富了近代數學體系的構架，具有決定性的意義。如楊振寧所說自己最重要的成就就是提高了中國人的自信，吳文俊在數學史上的研究也起到了類似的作用。這個時代最聰明的人，果然會有最多的共同語言。

拓撲學示性類研究的承上啟下者

吳文俊對數學的主要領域——拓撲學做出了重大貢獻。他引進的示性類和示嵌類被稱為「吳示性類」和「吳示嵌類」，他導出的示性類之間的關係式被稱為「吳公式」。他的工作是1950年代前後拓撲學的重大突破之一，拓撲學在這一時代也成為現代數學的主流學科，吳文俊正是當年引發「拓撲地震」的重要人物之一。

（吳文俊五十年代在中科院講課）

纖維叢及示性類理論是現代數學最基本概念之一，在數學各個領域乃至數學物理有著廣泛的應用。吳文俊在法國攻讀博士期間最早的工作之一就是對Whithey的叢乘積公式給出一個簡短而圓滿的證明，全文發表在頂尖雜誌Annals of Mathematics上，Whithey於是認為，從此他的手稿可以不必保留了。對於同時代研究這一方向的科學家來說，頗有當年李白「眼前有景道不得，崔顥題詩在上頭」的感覺。

吳文俊在他的博士論文中定出了各種不同示性類之間的種種關係，並得出4維可定向微分流形上具有概復結構的充分必要條件，並在此基礎上給出了「吳示性類」和「第一吳公式」。這一公式不僅使得此前幾乎無法計算的Stiefel-Whithey示性類變得極易計算，而且還解釋了Stiefel-Whithey示性類不僅是拓撲不變的，而且還是同倫不變的。這一研究得到了大數學家Weil的青睞，但他告訴吳文俊，Grassmann流形上的Steenrod運算還沒有算出。經過在咖啡館裡一個月的奮戰，吳文俊又給出了著名的第二吳公式。1956年Dold證明，這一公式給出了Stiefel-Whithey示性類之間所有可能的關係。這一工作被認為是示性類研究的分水嶺，是對示性類的劃時代貢獻。

除此之外，吳文俊在其他示性類、微分流形和複合形的嵌入理論方面的研究也起到了承上啟下的作用。他對邦特里亞金示性類的研究證明了其拓撲不變性，由此推出某些邦特里亞金類的組合(模p)的拓撲不變性；他還解決了1維復形在平面中的嵌入問題，使著名的Karatowski不可嵌入定理成為特例，並將其應用於印刷線路問題，為圖論開闢了新的方向，在微分流形的嵌入問題上也給其留法時期的同門師弟A. Haefliger給出的微分嵌入定理以吉大啟發。吳文俊對拓撲學的各項研究已成為這一領域的經典成果。

【 猶他壺模型，圖片來源：

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「吳示性類」所揭示的方法此後被應用於計算力學、CAD設計、計算機圖形學和計算機視覺等領域，對於人工智慧的發展也有著重要的作用。如在CAD設計中的網格生成問題以及其他諸多組合幾何問題本質上與吳文俊發展的示嵌類、示痕類有著本質的聯繫，而計算機圖形學中著名的「猶他茶壺模型」和計算機視覺中至關重要的的形狀分析問題，吳文俊提出的數學機械化「吳方法」也提供了非常基本的演算法。

數學機械化開啟定理證明的新思路

相比起吳文俊自己最得意的中國古代數學史和拓撲學的研究，數學機械化反而是吳文俊最為人們所熟知的研究成果。這一方面是因為吳文俊後期的研究數學機械化為重點，並組建了以機械化重點實驗室，這方面的傳承由高小山、張景中、楊路等學者進一步發揚光大；另一方面，數學機械化的門檻也比拓撲學等要來得低一些，搜狗創始人王小川就是在高中時用吳文俊的數學機械化方法實現了幾何定理自動證明，這也使其開始走上了人工智慧的道路。

「數學機械化」一詞取自數理邏輯學家王浩的著作《數理邏輯總覽》中的「向機械化數學前進」一節。1958年，美國洛克菲勒大學教授王浩設計的計算機程序在IBM 704型計算機上證明了羅素與懷特海《數學原理》中220條有關命題邏輯的定理，稍後又擴展到了400條，這一成就震動了學術界，被譽為「一 擊落七蠅（Seven flies in one blow)」。王浩還因此於1983年獲得人工智慧國際聯合會與美國數學會聯合頒發的里程碑獎。70年代末當王浩得知吳文俊進行數學機械化的相關研究室曾給吳文俊寫信，建議吳文俊用已有的代數包，這大概是哥德爾系定理證明和塔爾斯基系定理證明為數不多的交流。

雖然「數學機械化」一詞由王浩提出，吳文俊利用中國古代數學「機械化」的方法才更好地體現出了「機械化」的含義。吳文俊曾用中小學學習數學的過程來解釋數學機械化的原理，小學時的加減乘除運算都是按照一定的法則機械進行，但像「雞兔同籠」之類的問題則需要運用巧思；到了中學學習到線性聯立方程組時，又可以像四則運算一樣按照法則機械地解答這一類問題；但此時的幾何證明又想小學時候的四則難題一樣需要巧思，所以說這是一個隨著知識的增長螺旋上升的過程。在此過程中，吳文俊的數學機械化的思路，正是將原來非機械化而極為困難的數學問題變成機械化的課解決的問題。所以吳文俊說自己從中國古代數學研究思路中找到了靈感，這一方面固然有老一輩科學家對中國傳統的捍衛的成分在內，但對於吳文俊這樣一通則百通的高人這裡也不完全是一句空話。

吳文俊幾何定理自動證明的「吳方法」被稱為自動推理領域的先驅性工作，他也因此於1997年獲得「Herbrand自動推理傑出成就獎」。他的哲學思想是典型的數學家思路，這和王浩等基於邏輯推理做定理證明的邏輯學家不盡相同，他所看重的中國古代機械化數學與歐幾里得幾何相反，在幾何學上根本不考慮定理的證明與發明，而是著重各種問題特別是幾何問題的解決並由此提煉成原理法則，進而解決其它更難的問題。這種問題的解決，往往自然導致方程的求解。這實際上也是之前提到的中國與西方哲學思想的不同導致的差異，前者重實效應用，後者重邏輯推理。如果再投射到今日的人工智慧，這就好比今日的人工智慧之爭，偏理性主義的「符號主義」和偏經驗主義的「連接主義」的差別，雖則出發點不同，實際上都是人工智慧體系的一部分。從吳文俊所做的數學機械化研究雖然更多的是從數學的角度，但這也給人工智慧以新的啟發；中國人工智慧學會將智能科學技術領域最高獎項定名為「吳文俊獎」，不僅僅是因為吳文俊在定理證明這個人工智慧的早期方向達到了新的高度，更是因為其背後的哲學思想對人工智慧研究者的啟發。

小結

吳文俊是中國近代數學研究的集大成者。在他的研究中融合了中國與西方、古代與現代、理性主義與經驗主義的諸多元素，在西方近代數學尤其是拓撲學的發展中起到里程碑式的作用，同時又能從中國古代機械化方法中找到解決問題的新思路；他在數學機械化研究的思想有明顯的經驗主義特徵，但卻又是強調理性邏輯推理的「符號主義」研究的一個高點；在中國人工智慧研究的歷史上，他也給與後來人以觀念和方法上的啟示。在我們編寫的《中國人工智慧簡史》一書中吳文俊有著重要的篇幅，同時在書中，我們也將講述更多關於「理性主義」和「經驗主義」這兩大流派對中國人工智慧研究的影響，敬請關注。

雷鋒網整理，參考資料：

【1】高小山等：《吳文俊與中國數學》；

【2】顧險峰：吳文俊先生的思想對我學術研究的影響；

【3】胡作玄：吳文俊（中科院數學機械化重點實驗室官方網站）

【4】林開亮：中國古代數學沒有定理，它是如何運作與發展的？

【5】吳文俊：數學機械化——回顧與展望

【6】尼克，《人工智慧簡史》

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