淺淺的水窪，大大的漣漪

撰文：Nate Barlow（羅切斯特理工大學數學科學副教授）

你是否也曾在某個溫暖的春日冒著雨散步，然後遇見那些」完美的「水窪？這裡我指的是那些當有雨滴落入時，能在水面泛起圓環波紋的水窪。

大概從15年前起，那時我甚至尚未踏入流體流動這一研究領域，就已經對雨滴落在水窪時出現的波紋深深著迷。

當我為了減輕在工業塗料和霧化過程中的不良波動，而開始專註於研究液體薄片中的不穩定波時，我對水窪波動的著迷轉變成了痴迷。這個過程中發生了什麼？水窪中的圖案從何而來的？為什麼與雨水降落在湖泊或海洋等地方相比，雨水降落到水窪中會如此不同呢？

事實證明，這一切都與彌散現象有關。對於水波而言，彌散就是指不同波長的波以它們各自的速度移動的能力。在水窪中，我們看見的就是一系列這樣的波像是一個漣漪一樣在水中移動。

當一顆雨滴下落時，它「滴答」一聲滴在了水面上。這聲「滴答」可以被理想化為各種不同波長的波組成的波包。在雨滴落下後，波包中的所有的波就準備好開始在水窪中的新征程了。

然而，我們是否能見到這些波化作漣漪取決於雨滴落入的水域；我們能夠看見的圈圈的數量和間隔取決於水窪的深度。這一點已經在一些漣漪水槽實驗中得到了證實，在那些實驗中，實驗人員讓具有相同速度的水滴落入不同深度的水槽中。

雨滴落在彌散型水窪中的波紋模型，由雨滴引起的初始波束會分裂成波長不等的波，中心波長較大的波比外圍的波長小的波移動得更慢。| 視頻來源：Nate Barlow

淺淺的水窪能夠激起漣漪，因為與它們的寬度相比，它們的深度非常小。水窪和水窪上方空氣之間的表面力與重力之間的平衡會偏向表面力。這一點非常關鍵，因為表面力取決於水體表面的曲率，而重力則不然。

在雨滴落在水窪表面後，最初平靜的淺水窪表面開始變得彎曲，長波與短波的表面力是不同的，這使得不同波長的波分裂成漣漪。在淺水窪中，長波會從雨滴滴落的點向外緩緩移動，而短波移動得更為迅速，非常短的波會運動得非常迅速，甚至會在周圍密集地聚集起來，這就產生了我們所看到的那些迷人圖案。

雨滴落在非彌散型水窪中的波紋模型，由雨滴引起的初始波束保持完整，並且以單一的速度傳播。| 視頻來源：Nate Barlow

在其他水域中，雨滴可能就會有不同的反應。想像雨滴落在湖泊、海洋，或者那些需要橡膠雨鞋才能淌過的深水窪上。在這種情況下，雨滴同樣是落在水面，但不同的是，重力的作用變得更為重要。重力會讓不同波長的波以相同的速度運動，這可能會抵消由於表面力而產生的漣漪效應。

在我一邊教授本科生偏微分方程，一邊繼續研究液體薄片的過程中，提出了所謂的「水窪方程」。當這個方程被解出來時，它會生成一個動畫模擬，展現當一個雨滴落水窪時會發生什麼。這是我們小組最近研究工作中的一個方程的簡化版本，但它同樣符合對漣漪的經典描述。

水滴落在一個彌散水窪的水面後出現的水波模型。上端的三幅圖顯示了水滴落在水窪時會出現的情況，箭頭表示的是時間流逝的方向。下端的圖顯示的是水窪的橫截面圖，顯示了雨滴激起的初始波包會分裂成不同波長的波。中心的長波比周圍的短波運動得更為緩慢。| 圖片來源：Nate Barlow

通過給水窪中的水波一個近似描述，我們將數學與周圍的世界聯繫了起來，學生也通過這種方法感受到了數學的美妙。

對由表面力驅動的波的研究對於製造電池和太陽能電池的塗層工藝等應用具有重要意義。

在水面上行走的水黽在用腿部划水時也會產生這種波，但研究發現，水黽並不是專門為了行走才產生這些波。

水窪波紋的美麗本身不是一件微不足道的事。通過將自然與它的原始語言——數學聯繫起來，我們得以進入自然的控制面板，這讓我們能觀察每一個微小的細節，最終解開所有的秘密。

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