好消息？數學家重新採用被拋棄解黎曼假設的方法！

在過去的150年里，人們提出了許多方法來研究黎曼假設（黎曼猜想），但沒有一種方法能夠解決數學中最著名的開放問題。發表在《美國國家科學院院刊》(PNAS)上的一篇新論文表明，這些老方法中的一種比以前認識到的更實用。艾莫利大學(Emory University)數論學家、論文合著者肯?小野(Ken Ono)表示：令人驚訝的是，在一個簡短的證明中，我們已經表明，對解黎曼假設一種雖老、被拋棄的方法不應該被遺忘。

通過簡單地為舊方法構建一個合適的框架，現已經證明了一些新的定理，包括一個包含黎曼假設標準的大部分，總體框架也為其他基本懸而未決的問題開闢了途徑。本文以約翰?詹森和喬治?波利亞兩位20世紀最重要數學家的研究為基礎。它揭示了一種計算簡森多項式的方法（黎曼假設的一個公式）不是一次一個，而是一次全部。證明之美就在於它的簡單，並沒有發明任何新技術，也沒有在數學中使用任何新對象，但為黎曼假設提供了一種新觀點。任何一個相當先進的數學家都可以檢驗該證明，這不需要數論專家。

雖然這篇論文沒有證明黎曼假設，但是它的結果包括了之前公開的由黎曼假設得出的結論，以及其他領域猜想的一些證明。這篇研究論文的共同作者是邁克爾·格里芬和拉里·羅倫——小野在埃默里大學的前研究生，現在分別在楊百翰大學和范德比爾特大學任教——以及馬克斯·普朗克數學研究所的唐·扎吉爾。斯坦福大學數學家、黎曼假說專家Kannan Soundararajan說：這裡所建立的結果可能被視為為黎曼假說提供了進一步的證據，而且無論如何，它都是一個美麗的獨立定理。

兩年前，小野在慶祝扎吉爾65歲生日的數學會議開始前，送給扎吉爾一個「玩具問題」，作為招待扎吉爾的「禮物」。「玩具問題」是數學家們試圖解決一個更大、更複雜問題的縮小版。扎吉爾將小野給他的問題描述為「一個關於涉及歐拉配分函數多項式的漸近行為的可愛問題，這是我和肯恩以及幾乎所有古典數論家的老愛好。小野表示發現這個問題很難解決，我真的沒想到唐會有什麼進展，但他認為這個挑戰非常有趣，很快他就想出了一個解決方案。

直覺是，這樣的解決方案可以被設計成一個更普遍的理論，這就是數學家們最終取得的成果。格里芬說：這是一個有趣的項目，一個真正有創意的過程。研究階段的數學往往更像是一門藝術，而不是計算，這一點在這裡是肯定的。這要求我們以一種新的方式看待延森和波利亞近100年的歷史。黎曼假設是7個千年難題之一，被克萊數學研究所確定為數學中最重要的開放問題，每個問題的解決者將獲得100萬美元的獎金。

1859年德國數學家伯恩哈德·黎曼(Bernhard Riemann)在一篇論文中首次提出了這一假設。他注意到質數的分布與一個分析函數的零點密切相關，這個函數後來被稱為黎曼澤塔函數。假設有點拗口，但黎曼的動機很簡單，他想數質數。這個假設是理解數論中最大謎團之一的一個工具——質數背後的模式。雖然素數是初等數學中定義的簡單對象(任何大於1的數，除1和自身外沒有正除數)，但它們的分布仍然是隱藏的。第一個質數2，是唯一的偶數。

下一個質數是3，但是質數不遵循每三個數的規律。接下來是5 7 11。隨著你不斷向上計數，質數很快就變得不那麼頻繁了。眾所周知，質數有無窮多個，但它們變得越來越少，即使到了100個。事實上，在前10萬個數字中，只有9592個是質數，約佔9.5%。從那時起，它們很快就變得稀少了。隨機取一個數並使其為質數的概率為零，這幾乎從未發生過。1927年詹森和波利亞為驗證黎曼假設制定了一個標準，作為釋放黎曼假設闡明質數和其他數學奧秘的潛力的一步。建立簡森多項式雙曲性準則的問題在於它是無限的，在過去的90年里，只有少數的多項式在序列中得到了驗證。

這使得數學家們放棄了這種方法，因為它太過緩慢和笨拙。在PNAS論文中，作者設計了一個概念框架，將多項式按程度組合起來。這種方法使他們能夠100%地確定每一度的標準，使之前已知的少數情況黯然失色。這種方法有一種令人震驚的普遍性，因為它適用於看似無關的問題，同時，它的證明也很容易理解。數學中一些最美妙的見解需要很長時間才能實現，但一旦你看到它們，它們就會變得簡單明了。儘管研究結果並不排除黎曼假設是錯誤的可能性，作者認為，一個完整的證據證明著名的猜想仍然是遙遠的。

博科園｜研究/來自：埃默里大學/Carol Clark

參考期刊《美國國家科學院院刊》

10.1073/pnas.1902572116

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