我在說謊，這是一句真話
▲什麼是悖論。?Vsauce2
字幕：明白知識
假如我對你說：「我正在說謊。」
這句話是真話還是假話？
如果你相信「我正在說謊」，那麼這就是一句真話，而不是一句謊言。可如果它不是謊言，那我就沒有在說謊，就和「我正在說謊」自相矛盾了。
我們都知道，沒有人可以既說謊又不說謊，這個問題根本就是個悖論，用邏輯把我們套路了。
類似的悖論還有：
你能不能穿越回去殺掉你的祖父呢？
想一想，如果你穿越回去殺掉了你的祖父，你的祖父就不能生出你的父親，也就不會有你了。如果你沒有出生，又怎麼能穿越回去殺掉你的祖父呢？
就我們人類現在對時空知識的掌握程度而言，還真不能解答這個問題。
上述兩個悖論，都是形式邏輯上導致的矛盾，用美國哲學家、邏輯學家威拉德·馮·奧曼·蒯因（Willard Van Orman Quine）的話來說，它們都是「二律背反」（Antinomy），字面意思是「違反法則」。
▲蒯因的證件照
作為20世紀最負盛名的哲學家
蒯因致力於研究邏輯學和哲學的關係
代表作《經驗論的兩個教條》
對流行已久的分析命題和綜合命題作出批判
康德在《純粹理性批判》中，曾指出二律背反所造成的困境：當你面臨兩個完全相反的命題時，往往會發現無論如何證明，兩邊的邏輯同樣嚴整，卻怎麼都得不出共識來。
康德將那些引起我們爭論不休的問題，那些我們本身含混不清的概念都放入到「物自體」當中，認為那是我們永遠無法知道的事情，使我們認知的邊界。不過，不久之後，費希特就對康德進行了批判，認為既然康德宣稱「物自體」是我們不可能認識的，可說出這句話之後，不久意味著已經對「物自體」這一事物有所認識了嗎？
於是，康德認為，這些問題實際上是我們人類沒有能力解決的問題，屬於「物自體」的範疇。
一言以蔽之，無解。
但在蒯因看來，二律背反這一類悖論是真正的悖論。這些悖論將人類知識的邊界一展無遺，造成我們的「思想危機」，我們不得不去解決它。
比如，大名鼎鼎的英國哲學家羅素在1901年提出一個「理髮師悖論」，讓當時數學界的人們頭疼得要命：
有一個理髮師，他聲稱「我只給那些不給自己刮臉的人刮臉」。
那麼，他給不給自己刮臉呢？
當理髮師這樣說的時候，就造成了一個困境。因為如果他給自己刮臉了，他就是一個「給自己刮臉的人」，那麼他就不能給自己刮臉。
可是，如果他不給自己刮臉，那麼他就成了一個「不給自己刮臉的人」，那他就必須給自己刮臉了。
羅素的「理髮師悖論」曾經引起了一場深刻的數學危機。是的，這個悖論是看起來總刮過鬍子的羅素，在研究數學的基礎，寫作《數學的原理》（ The Principles of Mathematics）時提出的。
▲伯特蘭·羅素（Bertrand Russell），英國著名數學家、邏輯學家、哲學家、文學家和和平主義者。他的「羅素悖論」引起了「第三次數學危機」，推動了集合論和邏輯學的發展。他也是一位分析派的哲學家，通過對語詞的邏輯分析，來加深對於哲學命題本身的研究，影響了維特根斯坦、蒯因等人。
理髮師悖論看起來很淺顯，但當用數學語言來表達時，就會發現，事情可沒這麼簡單。
具體而言，當一個集合S被定義為所以不屬於S的元素組成，那麼，S本身在這個集合內嗎？要是按照定義來看，S不應該在S內；那要是S不在S之內，那它就應該屬於這個集合。
這個悖論直接動搖了羅素設想中的數學大廈的基礎，他把自己難住了，以至於他寫了兩年的《數學的原理》被他自己稱為一本愚蠢的書。後來實在寫不下去了，就與他的老師阿爾弗雷德·諾思·懷特海（Alfred North Whitehead）另開爐灶，合作《數學原理》（Principia Mathematica）以取代前面工作。
但是以兩位大數學家之力，依然花了艱難的十年才完成這本書。這本書很厚，有2000頁，出版的時候劍橋大學出版社估算了下，要虧損600英鎊。於是，由出版社承擔了一半，皇家學會承擔了200英鎊，兩位作者一個人掏了50英鎊。羅素調侃自己，花了十年時間，賺了負50英鎊。而且，出版近50年後，按照羅素自己聽說的，完整讀完的人只有六個人。
一個小小悖論，飽含多少酸楚。
寫作《數學原理》的十年間，羅素悖論對羅素的煎熬到了難以描述的程度。有很長一段時間，他陷入了智力僵局，常常一整天對著一張白紙，一個字也寫不出來。甚至出現了厭世情緒，看見疾馳的列車，想卧軌了事。
被難住的不僅僅是羅素，還有另外一個邏輯主義的代表性人物，德國的戈特洛布·弗雷格（Gottlob Frege），他花了20年時間，構建邏輯主義的數學大廈，寫了皇皇巨著《算術的基本原理》（Basic Laws of Arithmetic），就在第二卷馬上付印之時，接到了羅素的一封信，信里除了恭維弗雷格「在您的工作中我找到了我們時代據我所知最好的工作」以及「我在所有主要方面都完全贊同您」外，用很不起眼的一小段文字提到了已經折磨羅素一段時間的羅素悖論。
果然，弗雷格也被徹底擊倒。貫穿他整個數學體系中最基礎的一個原理——第五基本規律——被羅素悖論直接顛覆。甚至可以說，如果不解決羅素悖論，他的《算術的基本原理》從根上被推翻。但是已經完全來不及修改了，弗雷格只能在書後面加了一個附錄，誠實的寫出了自己的尷尬：
「對一位科學作者來說， 很少有東西能比自己的工作完成之後大廈的根基遭到動搖更為不幸了。 在本書付印在即的時候， 伯特蘭·羅素的一封信就將我推到了那樣的境地……」
在蒯因的歸類里，以上悖論所體現的悖論類型：二律背反（Antinomy），屬於最重要的類型。它所代表的是人類知識的邊界。人類如果能解決之，則必然意味著人類知識上的突破。
文章前面附的視頻里，視頻小哥也舉了一個更淺顯的例子來說明二律背反（Antinomy ）對人類知識的重要性。
我們現有的地質學研究發現，我們遠古時期的地球上，已經出現液態海洋和萌芽的生命。但就我們所掌握的關於恆星的知識來看，數十億年前的太陽，所釋放的熱量不像現在這麼大（關於太陽的過去與未來，請點擊閱讀《人類應該對未來恐懼嗎？》），也就不足以讓處於冰凍狀態的地球解凍。矛盾之處在於，假如沒有足夠熱的太陽融化冰，地球上怎麼會有液態水呢？
顯而易見，在對太陽的認識以及對遠古地球的認識產生矛盾時，我們沒有足夠知識去判斷，這兩者哪個真哪個假。所以這樣的一個二律背反的矛盾，我們無法判斷出真假，如同羅素麵對羅素悖論時無法簡單肯定或否定一樣。歸根到底，是我們的認識不足。
要解決二律背反（Antinomy ），別無他法，只有升級人類知識才有可能。
正如蒯因1961年在《悖論的方式》一文中所指出：
「當然，一個二律背反悖論帶來的衝擊，除了對舊概念修改捨棄外，無法解決。」
（An antinomy, however, packs a surprise that can be accommodated by nothing less than a repudiation of part of our conceptual heritage.）
反過來說，一旦人類知識增長了，二律背反（Antinomy）所代表的矛盾，被人類理解了，人類有能力對之下真假斷言了，那麼，按照蒯因的分類，對人類來說，一個二律背反（Antinomy）悖論，就轉化成了另外兩種類型的悖論：「Falsidical Paradox」與「Veridical Paradox」。
「Falsidical Paradox」，即證假式悖論，看似悖論，其實命題是假的；
「Veridical Paradox」，即證真式悖論，看似悖論，其實命題是真的。
典型的證假式悖論（falsidical Paradox），是大數學家德·摩根（ Augustus De Morgan）的2=1悖論。
假設=1，則2=。由此推理：
?2-1=-1
?+1=1
? 2=1
這些證明步驟看似合情合理，但結論2=1顯然荒謬。
原因出在推理的第二步，兩邊同時除以（-1），相當於兩邊同時除以0，而這是不能成立的。
所以只要知識足夠，我們就有能力對看似悖論的命題下斷言。
對於證假式悖論（falsidical Paradox），更經典的例子是折磨人類上千年的芝諾悖論（Zeno"s Paradox）。
芝諾是2000年前的希臘哲學家：
芝諾聲稱，希臘神話中跑得最快的英雄阿基里斯也不可能追上烏龜。假如讓烏龜先走了一段路，阿基里斯想要追上烏龜，就勢必要先追上龜曾經停留的那個點，而當阿基里斯到達那個點之後，烏龜也繼續走了一段路。
這樣下去，每當阿基里斯追上烏龜上次到達的點時，烏龜就都又走出了一個新點。
所以，阿基里斯永遠追不上烏龜。
烏龜又走出了新的一段距離
是不是很難以接受？
即便是你我，在現實中都不可能跑不過烏龜。可芝諾那個時代的人（包括芝諾），就是沒法在理論上解決芝諾悖論。
真正解決芝諾悖論，還是靠人類知識的增長，對「無限」或「無窮」概念的理解：無限個數字相加，可以等於一個有限數字。
這是違反人類感性直覺的知識。
假如阿基里斯想要到達烏龜的起跑點，他要先跑過這段路的1/2，為了到達這1/2，他又要先到達這1/2的1/2，也即是1/4，以此類推，他需要一直跑啊跑，過程中有無數個點等著他。
看起來，他真的永遠無法跑過龜。
問題在於，這無數個點1/2+1/4+1/8+1/16+1/32...... 一直加下去，最後加起來，並不是一個無窮大的數，而是等於1！
也即是說，無窮多的數字加起來可以是一個有限的值，阿基里斯可以輕鬆的到達這個距離，芝諾想破腦袋也想不出來。
微積分發明後，人們意識到「無限」這個概念，芝諾悖論完全可以用收斂級數來解決。
芝諾悖論、2=1悖論，都看上去為真，實際上為假。在區分這類證假式悖論（falsidical paradox）時，蒯因指出：
「證假式悖論雖讓人意外，但只要我們能找到悖論潛藏的謬誤，就不過虛驚一場。」
（A falsidical paradox packs a surprise, but it is seen as a false alarm when we solve the underlying fallacy. ）
它與二律背反（Antinomy）的區別在於，對於二律背反（Antinomy），我們沒有足夠的知識去判斷真假，而證假式悖論，我們已經有了足夠知識，之所以會出現悖論，其實是悖論背後隱藏的知識與人類的直覺相逆。
是不是感覺像遇到了魔術表演？都欺騙了我們的直覺感官，但其實是假的。
罪魁禍首是「無限」這個超越日常認知的概念。
圍繞「無限」的概念，還可以構造出相反類型的悖論，即前面提到的證真式悖論（veridical paradox），此時命題看似不正確，其實為真。
比如，我要問你：
自然數和偶數哪個更多？
也許你會說，當然是自然數多，因為它是從0開始，然後1、2、3、4、5、6......這樣連續排列下去的。
偶數雖然也是從0開始，卻是0、2、4、6、8......這樣排列下去的。自然數除了偶數外，還包括1、3、5、7......等奇數，所以自然數顯然比偶數多。
是這樣嗎？
伽利略偏偏認為，要是我們將這兩個數列一一對應，也就是將自然數的0對應偶數的0，將自然數的1對應偶數的2，以此類推的話，那麼它們最終是一樣多的。
這個悖論也稱為「伽利略悖論」（Galileo"s Paradox）。這個命題看似荒謬，卻是正確的。奧秘就在於「無限」或「無窮」。
數學上，對無窮的準確理解，是通過集合論來研究的。無窮集的特徵，即在於它的部分與總體擁有同樣多的元素。
這在今日已是數學上的常規認識，並且有非常廣泛的應用，但在伽利略年代，卻是驚世駭俗之論。有些宗教上的認識甚至認為，對無窮的理解與運用侵犯了上帝領域。
同樣，只有對無限有認知，才能理解「希爾伯特旅館悖論」：
論假設有一個旅館，這個旅館有無數多個房間，並且住滿了客人。有一天，又有無數多個人來到了這個旅館，問題是，他們能夠住下嗎？
直覺上，是不是覺得沒法兒住下呢？
來看看德國數學家大衛·希爾伯特（David Hilbert ）的答案。
希爾伯特認為，即使有無數多個人，仍然能夠住下。既然旅館有無數多個房間，那就讓每一個現在住在旅館的1號房間的人挪到2號，住在2號房間的人挪到4號，這樣住在n號房間的客人住到2n號，以此類推，最終就可以塞下新來的無數多個人了。
是不是很神奇？
伽利略悖論、希爾伯特悖論，都是貌似為假，其實為真，這類悖論被蒯因統稱為「verdical paradox」，或者說證真式悖論，
蒯因這樣評價：
「證真式悖論確令人意外，但一旦我們明白了如何論證，這種意外馬上就煙消雲散了。」
（A veridical paradox packs a surprise, but the surprise quickly dissipates itself as we ponder the proof.）
生活當中，不乏證真式悖論（verdical paradox）。其實就是我們不夠聰明，或者反應不夠快，沒能理解透背後的道理，只跟著感覺走，結果做出錯誤判斷。
舉個例子，假設你去參加一個電視節目，最後的PK環節，主持人讓你從三扇門中選一個：其中一扇門後是獎品，一輛汽車，選對了，你就可以開著車回家；剩下兩扇門後面是兩隻羊，用來嘲諷你的。
當你選擇了一扇門時，主持人會打開另外兩扇門中的一扇，你發現這扇門後面是一隻羊。這時候，主持人問你，要不要改選？
你會如何選才能更高概率拿到高價值的車呢？
乍看之下，羊、車是隨機分布。剩下兩個門，一個後面是車、一個後面是羊，那車在其中某個門後面的概率應該一樣，都是1/2。所以改選不改選，結果概率一樣。所以，似乎沒有改選必要。
但果真如此嗎？
假如你一開始選中門A，只有三種可能，要麼是車，要麼是羊I，要麼是羊II。
情況1：門A里是車，此時不管主持人選擇哪個門裡面的羊，你改選的結果都是羊；
情況2：門A里是羊I，此時主持人選擇門後有羊II的給你看，剩下的門後面是車，假如你改選的話，結果是把車開回家；
情況3：門A里是羊II，此時主持人選擇門後有羊I的給你看，剩下的門後面是車，假如你改選的話，結果是把車開回家。
瞧瞧，三種情況下，有兩種情況改選有利，改選有利的概率是2/3。
而堅持不改選、只有1/3的概率選中車。
顯然，改選有利的概率是堅持不改選還有利的兩倍。所以應該改選。
是不是很違反直覺？
這三扇門造成的選擇困難症，其實就是著名的蒙提·霍爾悖論（Monty Hall problem，又稱三門悖論），這一悖論來源於美國電視節目《讓我們做個交易》（Let』s Make a Deal ）。
總結了三種類型的悖論及其關係
資料：The Ways of Paradox and Other Essays
出版社：Harvard University Press
出版時間：1976
回過頭來看看提到的三類悖論，多有意思啊。
◆二律背反：代表著人類知識的邊界。既無法判斷為真，也無法判斷為假，原因是我們人類所掌握的知識不夠；一旦相關知識邊界被人類突破，「二律背反」悖論就演變為「證假式」悖論或者「證真式」悖論。
◆證假式悖論：看起來為真，實際為假的悖論。往往是悖論所隱藏的知識，與人類直覺悖逆，所以讓我們誤以為真。
◆證真式悖論：看起來為假，實際為真的悖論。我們覺得這個悖論反常識，恰恰是我們的常識不可靠。
無論證真式還是證假式悖論，都並非真正的悖論，倒更類似我們人類的思維體操：讓我們去審視我們的常識。這類悖論，引發我們的好奇心、探索心，最終讓我們個人的知識得到增長或補漏。
人類的惰性之一，就是願意呆在舒適區不動。而悖論，除非你視而不見，否則，就跟釘子一樣，讓你不得不跳出日常依賴之常識的舒適區，去突破自己的知識邊界，去運用理性迭代知識。
這算是悖論的奇妙之處吧。
正如康德的名言那樣：要有勇氣運用你自己的理智。■
