一個曾被遺棄的方法，重燃證明黎曼假設的希望

1.

黎曼假設是數學中最令人費解的問題之一。1859年，德國數學家波恩哈德·黎曼（Bernhard Riemann, 1826-1866）在一篇論文中首次提出了這一假設，其終極目標是想要解開質數之謎。

質數的神秘之處就在於，我們無法從根本上理解它們在數軸上的分布，因此我們很難預測每個質數會落在數軸上的什麼位置。這是一個困難重重而又極具意義的問題，克雷數學研究所（Clay Mathematics Institute）將它列為千禧年大獎的七大難題之一。

黎曼假設的核心是黎曼ζ函數。黎曼注意到，質數沿數軸的分布，與黎曼ζ函數中函數值為點密切相關。他意識到，如果黎曼ζ函數滿足一定條件，就能揭示出一些質數的秘密，比如可以得出在一個給定數值之下存在多少個質數。

黎曼澤塔函數有無窮多個函數值為0的點（位於圖中顏色的迴旋處）。黎曼假設預測，某些0點會位於一條直線上，在這幅圖中，這條直線是水平方向的，在這條直線上，彩色條紋與紅色相交。| 圖片來源：Empetrisor/Wikimedia Commons

因此他推測，如果對黎曼ζ函數進行繪圖，會看到函數中一些特定的（非平凡的）0點，都會落在一條特定的直線上。多數數學家認為，這個猜想應該是正確的。但是，由於黎曼ζ函數中含有無窮多個0，因此這並非一件容易證明的事。

2.

最近，數學家Michael Griffin、Ken Ono、Larry Rolen、Don Zagier通過使用一種本已被「拋棄」的陳舊方法，為證明黎曼假設帶來了新的進展。這種被重新啟用的方法可以追溯到數學家約翰·延森（Johan Jensen, 1859-1925）和喬治·波利亞（George Polya, 1887-1985）的工作，他們為了能證實黎曼假設而制定了一個標準。利用黎曼ζ函數，我們可以構造一個無限的數學函數族，也就是所謂的Jensen多項式。

Jensen多項式或許能成為解開黎曼假設的關鍵，它們是種複函數。但是，如果誰可以證明讓Jensen多項式為0的值都是實數的話，那麼就自動證明了黎曼假設為真。但問題在於，Jensen多項式有無窮多個。在過去的90多年裡，這一研究方向進展緩慢，只有一小部分Jensen多項式被證明是具有實根的。這使得數學家們在眾多攻克黎曼假設的策略中，漸漸地淘汰掉了Jensen多項式，認為它是一種太慢、太笨的辦法。

然而，這次新的突破就是在研究Jensen多項式的表達式時所獲得的。幾位數學家證明，許多Jensen多項式的確是有實根的，這滿足了證明黎曼假設所需的大部分條件。他們將這一成果發表在了5月21日的《美國國家科學院院刊》（PNAS）上。

在新的論文中，數學家們設計了一個概念性的框架，他們將多項式進行分組，這種方法使他們能夠為每組中全部而又是有限多個的多項式進行證明。這種方法具有令人震驚的普適性，它可以被用於看似毫無關聯的問題之上。同時，這一結論的證明過程也非常精簡，很容易理解。

3.

這一想法的靈感源自於兩年前，當時為了慶祝Zagier的生日，Ono為他準備了一個「玩具問題」作為禮物。Zagier將這個禮物描述為「一個關於涉及到歐拉配分函數的多項式的漸近性的可愛問題，是我和Ken（Ono）的一個心頭愛，也是幾乎所有經典數論學家的心頭愛。」

Ken Ono（左）和Don Zagier（右）| 圖片來源：Emory University

後來Ono回憶說，他原本認為這個問題很難解決，所以根本不期待Zagier能在這個問題上作出什麼進展。但沒想到Zagier認為這是一個非常有趣的挑戰，很快就想出了一個解決方案。而Ono的直覺讓他敏銳的察覺到，這個解決方案可以變成一個更普遍的理論。於是，最終便有了這篇新的論文。

Griffin表示，他們的新的工作是一個有趣的項目，一個非常有創意的過程：「研究階段的數學往往更像是一門藝術，而非計算。這一點在我們這裡是肯定的。它要求我們以一種全新的方式去看待延森和波利亞近100年之久的想法。」

許多數學家為此興奮不已，聖保羅州立大學的數學家Dimitar Dimitrov說：「任何與黎曼假設相關的進展都是令人著迷的。而這是一個任何人都無法取得任何一絲進展的方向，他們卻做到了。」

不過，也有一些數學家們對於這一證明能帶來的前景持謹慎而保守的態度，他們不確定這一進展最終能帶領我們走向黎曼猜想的終點，因此也不敢貿然就此作出任何預測。過去，黎曼假設也曾取得過許多進展，但每一項進展都有其不足之處。而且從近幾十年來一些其他的重大數學問題（比如費馬大定理）得到解決的經驗來看，在這些問題得到真正的解決之前，我們似乎是無法判斷解決方案是否近在咫尺了。

4.

從一定程度上看，新的結果似乎進一步支持了數學家們對黎曼假設的普遍認識，即黎曼假設是正確的，它為黎曼假設的正確性提供了新的證據。如果最終我們可以證明黎曼假設是完全正確的，那麼它將不僅僅揭開了質數的謎題，而且還能即刻證實許多以黎曼假設正確為前提的數學思想。

因此，對於新的結果，我們很難不寄予一絲希望，因為哪怕只是離證明黎曼假設前進了一小步，它也讓我們離那些非凡的數學奧秘的真實面貌更進了一點點。不過我們必須要強調的是，黎曼猜想或許是世界上最困難的問題了，因此即便這次數學家們取得了一些進展，也並不意味著它能帶來最終的解決方案。畢竟，我們離擁有一個能完整地證明黎曼猜想的證據還非常遙遠。

參考鏈接：

[1] https://www.sciencenews.org/article/mathematicians-progress-riemann-hypothesis-proof?tgt=nr

[3] https://plus.maths.org/content/cute-problem-goes-big

[4] https://esciencecommons.blogspot.com/2019/05/mathematicians-revive-abandoned.html

《環球科學》2019年6月刊現已上市

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