物理好難，音樂老師你快幫我補補課

　　來源：中科院物理所

　　很小的時候，我就開始好奇音樂與數學之間的關係了。我五歲左右的時候，祖父為我拉小提琴，至今我仍記憶猶新。後來他通過自己的物理書從不同的角度向我解釋了這個問題，他自己年輕時也曾研究過這些問題。在關於聲音的那一章里，有一個音符A，在它旁邊是個數字440，這個數是這個音符的頻率。這是我第一次意識到數字在音樂中所扮演的角色，這幅畫面深深地印刻在我腦海中。雖然我祖父的小提琴不在了，但他的音叉卻保存了下來；儘管生鏽了，它仍然以每秒440個周期的頻率忠實地振動。最近我把它送給了我學打擊樂的孫子。我希望有一天他能把它傳給他的孫子孫女們。

　　但僅僅研究音樂是不夠的：必須演奏音樂。我用豎笛開始了我的音樂之旅。巴羅克時代有很多作品都是為這種簡單的樂器而作的，但是為了欣賞古典音樂（這裡的「古典」指的是海頓、莫扎特和貝多芬的時代，大約在1750年到1830年之間），豎笛是不行的，所以我拿起了單簧管。這種樂器是莫扎特最喜歡的管樂器，他為它寫了一些他最傑出的音樂，或者更確切地說，為他的朋友單簧管演奏家安東·斯塔德勒寫的。單簧管有一個不尋常的特點，當你打開樂器背面的拇指孔時，聲音不會像大多數木管樂器那樣上升一個八度，而是上升了12度一個八度加五度。這引起了我極大的興趣，使我對管樂器的聲學產生了深刻的思索。一根空氣柱可以振動，產生一種像小提琴弦一樣的音樂聲音，儘管這種振動是完全處於無形之中的：你能聽到它們，但你看不見它們。這一事實太令我著迷，到現在也依然如此。

　　音樂和數學總是緊密地交織在一起。任何玩過樂器的人都知道樂譜上的每一頁都有數學的痕迹——從設定樂曲節奏的時間標記，到決定樂曲演奏速度的節拍器數字；當然，演奏音樂本身就要求我們數1、2、3……然後把這些數字分組，稱為小節。因此，數學對音樂產生重大影響也就不足為奇了。更不為人知的是，這種影響是雙向的。

　　活躍於公元前6世紀的古希臘哲學家畢達哥拉斯可能是第一個發現音樂和數學之間定量關係的人。通過對繃緊的弦進行實驗，他發現把一根弦的有效長度縮短到原來長度的一半時，就能把音調提高一個八度。其他弦長度的比例產生更小的音程：2/3對應的是第五個音符的音程（之所以這麼叫，是因為它是從基音符向上的第五個音符），3/4對應於第四個，等等。畢達哥拉斯還發現，將兩個比率相乘就等於將它們的區間相加：（2/3）x（3/4） = 1/2，所以第五音符的音程加上第四音符剛好等於一個八度。在此過程中，他不知不覺地提出了歷史上第一個對數定律。

　　一個八度中，第五度和第四度產生了悅耳的音調或輔音組合，然而更複雜的比例，如9：8或15：16，會導致不和諧的音調。這一發現給畢達哥拉斯學派留下了深刻的印象，促使他們相信宇宙中的一切——從音樂和諧的規律到太陽、月亮和五大行星的運動——都是由簡單的整數比例控制的。「數字支配宇宙」是畢達哥拉斯的座右銘。在接下來的兩千年里，它將主導科學思想。

　　古希臘傳統中，音樂的地位與算術、幾何和天文學相當，和這三門學科加在一起構成了「四藝」，這是一個有學問的人應該掌握的四門學科的核心課程。然而，我們應該注意到，「算術」一詞對畢達哥拉斯學派的意義與今天不同：它的意思是數論，研究整數的性質，而不是用數字計算所需的實際技能。同樣，畢達哥拉斯學派認為四藝中的音樂成分是指音樂理論——對和諧的研究，而不是演奏音樂的實踐。這是畢達哥拉斯學派對待一切實際事物都持冷漠態度的典型表現。他們的世界是一個完美的宇宙，由美、對稱與和諧所支配。

　　儘管畢達哥拉斯的著作沒有流傳下來，但是「數字支配宇宙」成為一代又一代科學家和哲學家的座右銘，他們試圖用音樂的比例或簡單優雅的幾何圖形來解釋宇宙的奧秘。例如，行星必須以完美的圓形軌道繞地球運行；對於古希臘人來說，除了完全對稱的圓之外，任何形狀都是不可想像的。這都是他們對一個由美與和諧所構成的宇宙的宏大觀點之一——他們的「音樂宇宙」，或者說是天體的音樂。

　　在最後一批畢達哥拉斯學派中，著名的德國天文學家約翰內斯·開普勒（1571-1630）是現代天文學之父之一。開普勒是一位虔誠的神秘主義者，同時也是哥白尼日心說的忠實信徒。他花了大半生的時間，試圖從音樂的和諧中推導出行星運動的規律。他認為，每顆行星在圍繞太陽運動時，都會發出頻率低於我們可聽到的頻率範圍的聲音（更不用說它是在聲音無法傳播的真空中產生的）。他甚至為每顆行星指定一首天籟之音，並把它寫在樂譜上——復興了著名的「音樂宇宙」。經過幾十年的摸索，開普勒終於放棄了希臘的圓形軌道，代之以橢圓軌道。

　　在開普勒之後的半個世紀後，牛頓提出了萬有引力定律，從而為行星軌道提供了一個理性的數學解釋，並在天體可能的軌道上添加了拋物線和雙曲線。但他也痴迷於音樂的比例，設計了一種「迴文音階」，在這種音階中，無論向上還是向下，音程都是相同的：9：8、16：15、10：9、9：8、10：9、16：15、9：8。他將其與光譜中的七種彩虹顏色進行了比較。

　　牛頓和萊布尼茨在1666年至1676年的十年間分別獨立開發的微分和積分學，使把數字比例和音樂和諧之間的關係建立在堅實的數學基礎上成為可能。微積分能夠解決的一個典型問題是找到振動弦的確切形狀和它發出的聲音的性質。它是無窮多個有自己獨立頻率和振幅的正弦波或純音的疊加嗎？或者是沿著弦的長度來回傳播的波的組合？在後來被稱為「偉大的弦辯論」中，歐洲四位最重要的數學家——丹尼爾·伯努利、萊昂哈德·歐拉、讓·勒隆德·達朗貝爾和約瑟夫·路易斯·拉格朗日——就這個問題展開了激烈的辯論，並在此過程中奠定了後微積分分析的基礎。

　　但直到半個世紀後，著名的法國數學物理學家讓·巴普蒂斯·約瑟夫·傅里葉（1768 - 1830）才提出：每一個受到一定的限制的周期函數，都可以寫成無窮個純正弦或餘弦函數的線性組合，並且這些正弦或餘弦函數的頻率是最小頻率的整數倍。這些獨立的正弦波被稱為泛音或諧波；它們是所有聲音的組成部分，它們賦予每一種聲音特有的音色或音質——這讓我們可以區分小提琴和單簧管聲音，即使它們演奏的是同一個音符。

　　隨著對音樂的興趣愈發濃厚，我逐漸走出巴洛克-古典-浪漫主義時期（大約1600年至1900年），轉向現代音樂。在20世紀60年代，仍然有很多關於阿諾德·勛伯格和他的無調性音樂的討論。他在20世紀初設計出了這類音樂，堅信它應該取代古典音樂的神聖基石：調性原則。調性要求一段音樂應該圍繞一個給定的鍵，稱為主音，如C大調或G小調。當然，隨著樂曲的發展，它可能會從指定的鍵偏離到相關鍵，甚至是遠程鍵，但最終它會回到主音。因此，琴鍵就像一個音樂參照系，每個音符都與主音有特定的關係；例如，在C大調的調式中，G（高於C的五分之一）為」主導音」，而C下的F為「次主導音」。但是在19世紀下半葉，作曲家們逐漸不再嚴格遵循調性原則，使得人們很難理解音樂與主音之間的關係。勛伯格認為調性的時日已盡，決心用「音列」來取代它。在一個音列中，半音音階的12個音符每一個都只出現一次；只有在這個音列完成之後，才能重複出現上一個音列的音符。這給作曲家提供了數量驚人的組合選擇：1 x 2 x 3 x … x 12 = 479，001，600。在十二音樂體系中，民主主義有充分的體現：每一個音符都是平等的。每一個音符都只與系列中的前一個音符有關；不同音符在主音上所扮演的角色已經不復存在。它的核心是一個數學系統，勛伯格決心把它應用到音樂上。

1934年4月1日，利奧波德·戈多斯基、阿爾伯特·愛因斯坦和阿諾德·勛伯格在紐約卡內基音樂廳。

　　作為一名數學家，我發現勛伯格的十二音樂體系和阿爾伯特·愛因斯坦的廣義相對論有著驚人的相似之處，就好像音樂和物理學的經典結構同時發生了類似的分解。1905年，愛因斯坦給了以太致命的一擊：沒有以太，沒有絕對靜止的單一宇宙參照系；相反，每個觀察者都有他或她自己的參照系，慣性參考系只在離觀察者無窮近的地方建立。人們不能不注意到它與勛伯格的無調性音樂的相似之處，在他的無調性音樂中，每一個音符都只與音列中的前一個音符有關。你可以稱之為相對論音樂。

　　勛伯格和愛因斯坦幾乎是同時代的人，都出生在一個中產階級猶太家庭，出生時間相隔不到五年。他們的母親都叫波琳，都喜愛古典音樂，所以這兩個孩子是在熱愛音樂的家庭中熏陶長大的。他們的職業生涯都是從底層員工開始的——勛伯格在維也納當銀行職員，愛因斯坦在伯爾尼的瑞士專利局當職員。在年輕的時候，他們都放棄了傳統的猶太教，但由於深受反猶太主義的興起和隨之而來的大屠殺的影響，他們在晚年才回到了猶太教。兩人基本上都是自學成才的：勛伯格從未接受過正規的音樂教育，而愛因斯坦（儘管他畢業於蘇黎世大學）則是通過自學19世紀偉大的物理學論文汲取知識的。 

　　1933年納粹掌權後，兩人都移民到了美國。勛伯格立刻去掉了他原來名字中的德語umlaut——Schonberg，而愛因斯坦不得不習慣他美式英語（在德語中讀作「Einshtein」）。兩人都熱情地追求著自己的愛好——勛伯格是一位畫家和網球愛好者，愛因斯坦拉著他標誌性的小提琴或者在他的小帆船上享受遠足。他們還喜歡擺弄小玩意：勛伯格致力於音樂打字機的設計，而愛因斯坦和他的物理學家同事里奧·西拉德（Leo Szilard）發明了冰箱並申請了專利。在納粹從開除德國大學所有猶太教授之後，兩人都夜以繼日地幫助流離失所的學者在避難國找到工作。勛伯格和愛因斯坦都沒有再踏上歐洲的土地（儘管勛伯格的遺體被埋葬在他的故鄉維也納），他們都在76歲去世。

　　愛因斯坦和勛伯格的革命性思想是在其他領域發生突破性變革的背景下產生的，這些變革都發生在19世紀末20世紀初的時候。古斯塔夫·馬勒首演了他的第一部交響曲《泰坦》（1889年），由作曲家親自指揮。西格蒙德·弗洛伊德發表了他的第一部重要著作《夢的解析》（1900），巴勃羅·畢加索進入了他的「藍色時期」（1901-1904），馬克斯·普朗克將一個很快可以徹底改變所有科學的新概念引入物理學：能量量子。如果這還不夠，德國偉大的數學家大衛?希爾伯特在世紀之交，挑戰第二屆國際數學家大會。他在1900年巴黎舉行的第二屆國際數學家大會提出了23個未解決的問題的解決方案，他認為這對數學的未來發展至關重要的——事實也證明如此。

　　這些發展是否對愛因斯坦和勛伯格的思想有任何影響還很難說，但它揭示了這個新世界的幾位演員積極地投身於音樂：愛因斯坦的小提琴；普朗克是一位多才多藝的鋼琴家；諾貝爾獎得主、物理學家維爾納?海森堡（Werner Heisenberg）在轉向量子力學之前，曾認真考慮過從事音樂事業。

　　在畢達哥拉斯尋求將音樂和數學統一在一個框架時，也許他終究是對的。

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