發掘與重視數學的美育價值
新時代，我們需要什麼樣的人才？「德、智、體、美、勞」全面發展，缺一不可。數學教育在德育、智育方面的價值毋庸置疑，也使得數學成為各個國家和民族培養下一代接班人的基礎性必修學科。事實上，數學在美育方面的價值亦是其他學科所不可替代的。
數學具有濃郁的美學特徵
柏拉圖在《大希庇阿斯篇》中寫到，蘇格拉底和希庇阿斯爭論「美是什麼」的問題，開啟了西方美學研究的歷史。《大希庇阿斯篇》是古希臘哲學發展到柏拉圖時代，對「什麼是美」問題的第一次專門性討論，藉由蘇格拉底的辯證法，柏拉圖對什麼是美作了清晰的提問和辯駁：「從美本身去把握美才是真正的美」。
西方古典美學肇始於古希臘哲學，而古希臘的哲學則與科學（自然科學）融為一體，哲學是作為「物理學之後」的「形而上學」。古希臘美學要回答的，是關於「美」的根本問題，即美的本質和美的規律。西方文明史上形成的對數學近乎信仰式的理性精神，在其美學中發揮了重要的作用。數的和諧、形式邏輯的演繹，形成一種具有確定性、邏輯性、結構性的研究目標和方式，都體現在西方美學研究之中。西方的音樂、美術等藝術學科發展都有著強烈的數學美學特徵。這其中重要的原因是西方美學從屬於西方哲學，而西方哲學恰恰處處表現出數學的理性精神。
數學作為一種文化，在人類歷史上對自然科學、社會科學和人文藝術的影響非常深遠。科學求真，人文至善，藝術臻美。數學應為自然科學加人文科學，又是科學和藝術的合體。純數學是一門科學，同時也是一門藝術。數學具有一般語言文字與藝術所共有的美學特點，在內容結構和方法上都具有自身的數學美。一般來說，簡潔性、統一性、對稱性、整齊性、奇異性、思辨性等是數學美的主要特徵。由於西方文化中數學與哲學的關係、哲學與美學的關係，所以數學美學得到了高度的重視。
對數學美的追求，一直是數學家自身研究所努力的方向。古希臘哲學家、數學家普洛克拉斯曾認為，「哪裡有數，哪裡就有美」。羅素認為，「數學不僅具有真理，而且具有至高無上的美——冷峻的和簡樸的美，像雕塑之美一樣」。哈代認為，「美是首要的標準，不美的數學在世界上是找不到永久的容身之地的，現在也許難以找到一個受過教育的人對數學美的魅力全然無動於衷」。馮·諾依曼認為，「數學家無論是選擇題材還是判斷成功的標準主要都是美學的，數學家成功與否和他的努力是否值得的主觀標準，是非常自足的、美學的，不受（或近乎不受）經驗的影響」。龐加萊認為，「數學的美感、數和形的和諧感、幾何的雅緻感，這是一切真正的數學家都知道的審美感……正是這種特殊的審美感，起著我已經說過的微妙的篩選作用……缺乏這種審美感的人永遠不會成為真正的創作者」。
數學為科學提供美學標準
科學史上，科學真理的「美學標準」甚至「數學美學標準」，從畢達哥拉斯的「天體音樂」到愛因斯坦的廣義相對論都有體現。科學理論發現及其真理性判斷中審美標準的作用，已引發許多科學家有價值的研究。科學理論應該在形式上簡單、一致，內容上和諧、自洽，這不僅是出自科學家本身的審美要求，更重要的是因為其符合研究對象總的特點和基本規律。卡爾丁通過對科學美與數學美的比較，闡述科學美的特徵是一種和諧、統一中的多樣性。「它與純數學的美不同。數學的統一僅僅由於邏輯的嚴格性：它是命題的統一，命題可靠地推導而不管它們與事實的一致。但科學的統一不只是由於理論解釋的邏輯嚴格性；它也包括與邏輯系統統一的實驗觀察，從該系統演繹出的東西與觀察保持一致。科學中美的作品是完全的和完整的工作，其中事實都做某些概括或是理論的例證。科學中的統一不像數學中的統一那樣完美地實現，但是就它包含進一步的和諧類型而言，它是更豐富的統一，即一組邏輯上相關的命題和一組獨立的觀察材料之間的和諧」。數學美與科學美的差異是，「數學美不需要與實在的新接觸，不需要與觀察和實驗資料和諧一致」。
數學正是因其抽象形式簡單卻應用廣泛而臻於大美。從古希臘畢達哥拉斯的「萬物皆數」，直到後來的「奧卡姆剃刀」，簡單性尤其是數學上的簡單性一直被作為科學臻美之追求。哥白尼在追求理論上的數學簡單性的基礎上建立了日心說體系。而開普勒在闡述自己支持日心說的原因時指出，「我從靈魂的最深處證明它是真實的，我以難於相信的歡樂心情去欣賞它的美，而這就是因為哥白尼的體系具有更大的數學簡單性與和諧的緣故」。牛頓在其《自然哲學的數學原理》中指出，「自然不做徒勞的事，解釋多了白費口舌，言簡意賅才見真諦；因為自然喜歡簡單性，不會響應於多餘原因的侈談」。
愛因斯坦也是到數學的簡單性中去尋求真理的唯一可靠源泉，建立起他的相對論體系。海森堡曾給愛因斯坦寫信說，「我相信自然規律的簡單性具有一種客觀的特徵，它並非只是思維的結果。如果自然界把我們引向極其簡單而美麗的數學形式——我所說的形式是指假設、公理等等的貫徹一致的體系——引向前人所未見過的形式，我們就不得不認為這些形式是『真』的，它們是顯示出自然界的真正特徵。我又坦白承認，我被自然界向我們顯示的數學體系的簡單性和美強烈地吸引住了。你一定也有這樣的感覺：自然界突然在我們的面前展開這些關係的幾乎令人震驚的簡單性和完整性」。愛因斯坦對海森堡回信說，「你會反對我由談論簡單性和美而引進了真理的美學標準，我坦白承認，我被自然界向我們顯示的數學體系的簡單性和美強烈地吸引住了」。
麥克斯韋也曾指出，他自己總是把數學看作獲得事物的最佳形態和維度的方法；這不僅是指最實用的和最經濟的，更主要是指最和諧的和最美的。狄拉克認為，「理論物理學家把數學美的要求當做信仰的行為。它沒有什麼使人非信不可的理由，但過去已經證明了這是有益的目標。例如，相對論得到如此普遍的承認，其主要原因就在於它的數學美。這種對美的欣賞支配著我們的全部工作。這是我們的一種信條，相信描述自然界基本規律的方程必定有顯著的數學美，這對我們就是一種宗教。奉行這種宗教是很有益的，可以把它看成是我們許多成功的基礎」。
這些偉大的物理學家，將數學簡單之美作為一種評價準則甚至是科學信仰。數學家外爾評價到，「在自然定律中，正如我後來將要更精確地確立的，簡單性是本質的。如果我們不添加在數學上受簡單的定律支配的陳述，那麼自然受嚴格定律支配的斷言就缺乏一切內容。這件事類似於化學中的倍比定律：除非我們添加組合以相對原子量的小整數倍發生，否則它就喪失了一切內容」。萊布尼茨在《論方法》中指出，「當容許任意的複雜性時，定律的概念就變成空洞的。因此，簡單性在自然科學中變成工作原則」。
數學教育應注重美學價值
長期以來，人們過多關注數學對於人類文明發展的「形而下」（器物層次）的功能，往往忽視了其「形而上」（精神層面）的作用，忽略數學作為一種工具、思想、方法背後所蘊含的精神氣質和美學價值。數學教育逐漸遠離了數學文化本身的博大精深和理性智慧，越來越失去了數學的文化意蘊和美學價值，人們的數學觀漸趨工具主義，數學成為思想、方法和技術的代名詞。數學在學生眼中不那麼美了，數學教育近乎喪失了其歷史上蘊含的強大的人文特性和美學功能。很多人的數學教育觀念和實踐行為存在較大問題，往往偏重於知識灌輸、解題技能訓練，忽視數學教育過程中的心靈教化和人格培養，不太注重引導學生通過數學學習去尋求人生意義和價值，學生的思維力、創造力、想像力也被枯燥的數學所壓抑，學生的道德感、審美感難以通過數學學習得到啟迪，這樣的數學教育很難培養出傑出人才、拔尖人才和創新型人才。
「理性」和「感性」如車之兩輪、鳥之兩翼，對於人的全面發展都非常重要。數學教育應該既能培養學生的理性精神，又能培養學生的感性能力。新時代的數學教育應實現「以美育人，以文化人」的目標，通過數學的學習讓學生髮展對美的感受性，培養學生對美的事物的情緒體驗，形成正確的審美能力和表達美的能力。數學教師要提高自身的美學修養，在教學過程中善於用數學審美情感去「感染」和培養學生的「美感」，通過數學美育提高學生的學習興趣，提高學習的積極性、主動性和創造性。總之，要讓學生通過數學的學習，感受到數學是美的，數學學習的過程應該是追求美、感受美和創造美的過程，讓數學教育真正恢復其歷史本來的人文面目和美學意蘊。
（作者單位：吉林師範大學數學學院）
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