這個問題，只能在8維和24維空間中找到答案

三年前，瑞士洛桑聯邦理工學院的Maryna Viazovska一鳴驚人，找出了在8維和24維空間中大小相等球體的最密堆積法。如今，她和合作者提出了一項更出彩的證明：解決上述問題的構型，還可以用來解決無數個不重合點的最佳排列問題。

撰文 | Erica Klarreich

翻譯 | 馬一瑗

編輯 | 吳非

這些點可以是無限多個相互排斥的電子的集合，它們需要達到最低能量構型；還可以代表溶液中具有聚合物長鏈的中心，它們需要避免與其他聚合物碰撞。相似的問題還有很多，但是否存在通用的解決方法呢？數學家認為，在大多數維度中，這都是不太可能的。

但是，8維和24維是例外。它們各自包含一個特殊的高度對稱的點構型，能同時解決所有問題。用數學語言來說，這兩種構型是「普遍最優的」。

這一新發現涵蓋了Viazovska及其合作者以前大部分的工作。「但靈感的火花並未止步於此。」匹茲堡大學的數學家Thomas Hales評價道，他於1998年證明了在三維空間中，球體的最密堆積法是金字塔型。

如今，8維、24維與1維一同成為了已知具有普遍最優構型的維度。數學家懷疑二維平面上的等邊三角形晶格也是一個普遍最優構型，但是沒有證據。三維空間則複雜得多：不同情形中存在不同的最優點構型，而對於某些問題，數學家對它們的最優構型甚至毫無頭緒。

「改變維度或是稍微改變問題，一切就可能完全無法預測了，」布朗大學的數學家Richard Schwartz說，「我不知道為何數學宇宙會這樣古怪。」

證明普遍最優性要比解決球體堆積問題困難得多。這是因為普遍最優性同時包含無數不同問題，而這些問題本身也很難解決。在球體堆積問題中，只用考慮每個球體附近球的位置；但是對於分散在空間中的電子，不管相距多遠，每個電子還會與所有其他電子相互作用。Hales說：「即使有早期的工作支持，我也從沒想過普遍最優性的證明會是可行的。」

「他們的工作令我印象深刻，」紐約大學的數學家Sylvia Serfaty說，「它的意義相當於19世紀的數學大突破。」

一個魔法證明

8和24維的表現會與7、18或25維不同，這聽起來也許很奇怪，但數學家們早已知道，在不同的維度里，物體的堆積方式是不同的。例如，考慮一個更高維度的球體，將它定義為與某一中心點等距的點的集合。如果比較球體與能裝下它的最小立方體的體積，當維度增加時，球體佔據立方體的體積比越小。如果你想把一個8維的足球裝進最小的立方體盒子，那麼這個球只佔盒子體積的不到2%，剩下的空間全部被浪費了。

在所有高於3的維度中，構建一個類似於金字塔堆積的結構都是可能的，並且隨著維度的增加，球體之間的空隙會增大。當達到8維時，空隙突然增大到足以將新的球體放入。這就產生了一種被稱為E8晶格的高度對稱構型。同樣，在24維中，會產生Leech晶格，可以將額外的球體放入另一個已被研究透徹的球體堆積空隙中。

出於某種數學家們沒有完全理解的原因，這兩種晶格出現在從數論到數學物理等各個數學領域中。十多年來，一直有強有力的計算證據暗示，E8和Leech晶格在各自的維度上是普遍最優的，但數學家還不知道如何證明這一點。

直到2016年，Viazovska邁出了第一步，她證明了這兩種晶格是最優的球體堆積法。（她與Cohn、羅格斯大學的Abhinav Kumar、Stephen Millerrof，以及德國馬克斯普朗克數學研究所的Danylo Radchenko一起得出了Leech晶格的證明）

Hales的三維球體堆積證明足足寫了數百頁紙，還需要大量的計算機計算，而Viazovska的E8證明只有短短23頁。她的論證核心是找出一個「魔法」函數，以證明E8是球體堆積的最優方式。這一函數可能很難找，但一旦找到，就能使證明問題豁然開朗。舉例來說，如果有人問你是否存在實數x使多項式x2–6x 9為負，你第一時間可能很難回答。但是，當你意識到這個多項式等於（x-3）2時，你立刻就會知道答案是否定的，因為平方數永不為負。

Viazovska的魔法函數很強大，甚至超乎預期。球體堆積問題只關心附近點之間的相互作用，但是Viazovska的方法似乎也適用於遠程相互作用，例如電子之間的相互作用。

高維不確定性

要證明空間中某種點的構型是普遍最優的，必須先指定所討論的問題體系。不存在對所有目標都是最優的點的構型，例如，當引力作用於點上時，最低能量的構型不是任何一種晶格，而是所有點都位於同一個點上的大規模堆積。

Viazovska、Cohn和他們的合作者關注的是斥力體系。準確地說，他們考慮的條件是完全單調的，即點之間的距離越近，斥力越強。這一體系包括物理世界的眾多常見力，例如電荷的庫侖平方反比定律。球體堆積問題屬於這一體系的邊緣問題，只要把球體不重疊的條件轉換為當兩球中心距小於直徑時，會出現無窮大的斥力就可以了。

對於這些完全單調的力，問題就變成：對於無限多的粒子集合，其最低能量構型，或者說「基態」是什麼。2006年，Cohn和Kumar通過比較能量函數與具有良好性質的較小「輔助」函數，開發了一種求基態能量下限的方法。他們發現每個維度都存在無限多的輔助函數，但無法確定哪個是最好的。

在8和24維中證明普遍最優性的五位論文作者：從左上順時針分別為Henry Cohn, Abhinav Kumar, Maryna Viazovska, Stephen Miller和Danylo Radchenko。

Cohn和Kumar發現在大多數維度中，他們找到的數值邊界與最廣為人知的構型的能量大相徑庭。但是在8和24維中，Cohn和Kumar嘗試模擬了所有的斥力，其數值邊界與E8和Leech晶格的能量都驚人地相似。自然，接下來的疑問就是，對於任何給定的斥力，是否存在一個完美的輔助函數，其給出的邊界與E8或Leech晶格能量完全匹配。對於球體堆積問題，這正是Viazovska三年前的工作：她在模函數中找到了完美的「魔法」輔助函數，模函數的特殊對稱性使它們數世紀以來一直是數學家的研究對象。

當涉及到其他排斥點問題，例如電子問題時，每個魔法函數需要滿足的特性是已知的：其必須在特定點上具有特殊值，而其傅立葉變換（用於量化函數的固有頻率）則需要在其他點上具有特殊值。研究人員只是不知道這樣的函數是否存在。

通常，構造一個在某些點上有期望效果的函數很簡單，但是同時控制函數及其傅立葉變換是非常困難的。Cohn說：「當你強行調整它們中的一個時，另一個總會與你的期望背道而馳。」

事實上，這一特性屬於物理中著名的不確定原理。海森堡不確定原理就是這樣一個特例，因為一個粒子的動量波是其位置波的傅立葉變換。

對於8或24維中的斥力，Viazovska大膽地推測：研究團隊想要在他們的魔法函數上施加的邊界限制，及其傅立葉變換都恰好落在可能和不可能之間的界線上。她懷疑，再多一點限制，就不可能存在這樣的函數；再少一點限制，則可能存在太多函數。而在團隊所研究的條件下，恰好只有一個函數完全合適。

「我認為這是Viazovska的一大優點，」 Cohn 說，「她既有洞察力，又很大膽。」

而Cohn對此持懷疑態度——Viazovska的猜測太理想了，很難相信是真的。但最終團隊證明了她是對的。他們不僅證明了每個斥力都正好對應一個魔法函數，還給出了其構造方法。與球體堆積一樣，這種結構直截了當地證明了E8和Leech晶格的最優性。「這個結果意義重大。」 Schwartz說。

三角形晶格

除了解決普遍最優性問題外，新的證明還解答了許多自三年前Viazovska解決球體堆積問題以來一直存在的疑問：她的魔法函數是怎麼得出的？ 「我想很多人都很困惑，」 Viazovska說，「他們不斷問，『這裡是什麼意思？』」

在這篇新的論文中，Viazovska和她的合作者證明了球體堆積魔法函數只是一系列模函數中的首例，這些模函數可以被用來構造針對各種斥力的魔法函數。「現在它有很多兄弟姐妹了。」 Viazovska說。

這一切如此巧妙，仍然讓Cohn覺得有些不可思議。「在數學中，有些事你必須通過堅持和蠻力來完成，」他說，「而有時候，就像這次一樣，像是數學希望巧合發生。」

下一個問題自然變成，這些方法是否適用於證明另一位候選者：二維平面中的等邊三角形晶格的普遍最優性。

與E8和Leech晶格不同，二維三角形晶格在自然界中無處不在，從蜂窩結構到超導體中的漩渦狀排列均在此列。在大量的實驗和模擬基礎上，物理學家們提出假設，這一晶格在廣泛的範圍中都是最佳的。但是，沒有人能給出三角形晶格普遍最優的概念解釋，而這有望由數學證明解答。

除8和24維之外，二維是唯一一個Cohn和Kumar的數值下界可以良好運作的維度。這強烈暗示了二維中應該也存在魔法函數。但是同樣的構建魔法函數的方法不太能在這個新領域中延伸。它很大程度上依賴於E8與Leech晶格中，點距恰到好處，而在二維中則不是這樣。Cohn認為，這一維度「目前似乎超越了人力」。

當前，數學家們還在慶祝他們對古怪的8維和24維空間的新了解。Schwartz表示：「這是我有生之年能見到的最好的事之一。」

https://www.quantamagazine.org/universal-math-solutions-in-dimensions-8-and-24-20190513/

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