我的愛豆是數學家小平邦彥

哆嗒小編按：此文作者是小平邦彥的超級大粉絲。長期在各個渠道逢人就推薦小平邦彥的數學著作。終於，他們的事情被出版小平邦彥中文版著作的圖靈新知知道，並且授予了他圖靈優秀讀者的榮譽，算是對他的鼓勵吧。

這篇文章有非常明顯愛豆情節，請讀者理解。另外，文章中提到的閱讀細節，對需要買這本書的人可能會有幫助。

2008年年末的時候，我在長沙定王台的湖南圖書城瞎轉悠，看見兩個小同學在數學專櫃那裡，我路過一看，她們在拿著一本不太厚的書在翻閱，書名是《微積分入門I》，作者是一個從未聽說過的數學家，叫小平邦彥。等她們走後，我拿起書翻了翻，封底上寫著這位數學家卓越的事迹，於是我懷著不屑一顧的心情，最終還是自己買了一本，因為我當時根本不相信，一本號稱入門的微積分教材，這個老頭寫出來的能換出啥子花樣。

很快，我為我自己的無知嘗到了苦頭。第一章的第一節，類似於講故事，當時我根本沒有品讀出多少有用的知識出來，然後到了第8面的定理1.1，證明兩個實數，α與β，這兩個實數的大小關係，大於，小於，等於有且只有一種是成立的，我一看，這不廢話嗎？這有啥子好說的？而且，他的那種證法，和要證的命題，看似毫無瓜葛。這老頭在搞啥？但是好在當時我閑來無事，又有一股子倔驢脾氣，我和這個題目杠上了，拿在手裡慢慢想，慢慢琢磨。最終，我通過對他的那個證法展開的結果，發現他在書中想告訴我的是，如果大於小於等於三個都不成立，這是不可能的。那麼，這和要證明只有一個成立，又有什麼關係呢？無奈中，我有一次無意中掰著手指頭玩，突然間腦袋靈光一閃，找到了解決問題的鑰匙：大於小於等於，類似於食指，中指，無名指，成立我們可以視為伸直，不成立我們視為彎曲，那麼我們假設伸直與彎曲之間沒有中間狀態，三個手指頭，就可以演示出四種情況：三個手指頭都彎曲，伸直一個，伸直兩個，伸直三個。這四種狀態有且只有一種是成立的，沒有兩種同時成立的情況，也不可能都不成立，更無另外第五種情況，書中論證了三個手指頭都彎曲的情況，那麼以此為指針，根據前一面的實數的定義，和上文中，實數大小的定義，剩下的兩種同時成立，三種同時成立的情況，很容易證偽，最終留下一種可行的情況，那就是有且只有一種情況是成立的。

當我想明白這一步的時候，突如醍醐灌頂，原來這本書的布局如此精妙。後來慢慢的往前讀，我才發現，這個書很多地方寫得很簡略，但是該給的指針都給出了。作者督促讀者在學習中要反覆閱讀課文，反覆思考道理，而此書布局最令人驚嘆的地方，就是一個簡單直接的道理：你不把前面的書看明白，不把道理想明白，我讓你後面的根本根本看不懂！所以，小平邦彥大師寫的不僅僅是一本數學書，他同時把數學的教學法，學生該掌握的學習法都包容在這本書里，真正以知識和正確的學習方法去澆灌讀者，而不是停留在教會做題之上，這對於現在這個浮躁的數學學習範圍，以應試為目的的數學學習動力，無異於一股能沉降渾濁的清流，而且最重要的是，不從知識和方法的根本上去學習數學，只看習題和分數，那是無源之水無本之木，不可能走得很遠的。小平邦彥大師的書中，文字清晰而精鍊，很多東西寫一半留一半，初看上去冰冷而晦澀，有點嚴肅，但是深入進去才知道，裡面浸透著作者滿滿的溫情與期盼，在嚴格的思考訓練的過程中，我們可以感受到作者那種特有的，以睿智為途徑表達給讀者們的慈愛。

曾經，有言論拿辛欽的《數學分析八講》與小平邦彥的《微積分入門》打比，辛欽的行文中，對數學知識的講述極盡詳實，對初學者很友好，確矣。這就好比，我們要過一條河，辛欽先對地質水文氣象做了大量的功課，鹽後在河上建立起了一座相當堅固的大橋，再把所有的資料都交給讀者。這條河哪裡水深多少，哪裡流速多少，最近這些年的水文情況如何，哪裡有旋渦，甚至哪裡有落水鬼，都寫得清清楚楚，他根據這些數據，建起了一座大橋，這座橋限速多少，承重多少，哪裡風速多少，也都告知得清清楚楚，剩下的只要你走過去了。但是小平邦彥的書，風格則完全不同，他只給出你幾樣最簡單的工具，還有一個資料庫，你若是想建橋，可以，裡面有圖紙；你若是想造船，也可以，裡面也有圖紙。並且，最重要的是，他會在資料庫中留給你一個保命的救生圈，找到這個救生圈，就至少不會溺死。剩下的，就靠你自己去摸索實踐了。

在實踐中學到的知識，那是很有收穫感的，並且，你會發現，他給你的那幾樣最基本的工具，那簡直太好用了。所以，我個人認為，如果有一處風景區，電視台花大價錢拍了一部記錄片，詳細的記錄了裡面的風景和特色，播放出來之後，給人們的收穫，其實是不如自己拿著一塊羅盤，一張地圖去實地勘測一遍來得充實的。而小平邦彥交給我們的，就是這塊羅盤和這張地圖。文字上的精鍊，與思想上的深厚與豐富，這樣看似矛盾的特性在小平邦彥的書中並行不悖的體現出來，其實並不矛盾。因為精鍊的是他的寫法，深厚的是他的學識，深遠的是他的眼光，充實的是讀者的頭腦，升華的是讀者的靈魂，提升的是讀者的數學素養。

也有人用菲赫金哥爾茨的《微積分教程》，還有柯朗的《微積分和數學分析引論》與小平邦彥的書相比，前兩部書，有很大的相似性，都是由大家所寫，而且都很注重數學在物理中的應用，菲赫金哥爾茨是實分析列寧格勒學派的創始人，而柯朗本身就是一位數學物理大家。小平邦彥的書中，偏向於純理論，沒有一句話講的是實際應用。作為站在人類智慧與文明的頂峰的那群人中的一個，小平邦彥應該深知，知識學明白了，能產生多大的戰鬥力，他已經無意教我們如何去運用知識了，他想教會我們的，應該是如何獲取知識，知識都能自己獲取了，應用這些知識的範圍，應該是天高海闊的。從我搜集到的信息來看，1935年小平邦彥到東京大學學習數學，38年開始又在東京大學學習了三年的物理，那他真不懂物理嗎？未必！

日本向來有大師級的數學家來寫中小學教材的傳統，小平邦彥自然也在其中。教材，就是要絕大多數學生都能看懂，而且能學到知識的課堂用書，所以，教材的口徑應該是最寬的，是可以讓最多的人受益的，這就需要一個自己經歷過從「不懂」，到「懂」的明白人來寫。從小平邦彥的故事從得知，這位可敬的數學家在中學的時候，學習范德瓦爾登的《代數學》，學不明白，就只能抄書，後來在日本戰敗時的一片焦土中出道，他青少年時受過的苦，還有對數學的努力執著，足以讓人感到心酸。他把他對數學精深的理解，寫成了能讓大多數人學懂的知識，凝鑄在了他的著作之中。

前一段時間，我和一位武漢大學學金融，卻愛好數學的小兄弟聊天，他在微信中說到，小平邦彥的這本書裡面，寶藏不計其數，他不敢想像裡面還有多少好東西，很多別的書要用大學，甚至靠近研究生的知識才能論證的知識，這本書用高一高二的知識就能解決，而且嚴謹而流暢，這本書的口徑寬度和思想深度驚人。

比如，隱函數，隱映射，證明好直接。史濟懷曾說，隱函數隱映射是初學微積分最難的，有些是用多復變知識給重新證一遍，史濟懷對科大的學生說：你們讀的懂就讀，讀不懂不做要求。但是這本書里的證明如此直接而正式而簡明，藉助多元積分閉區域的知識，這是人能想到的？多元泰勒還能這樣用，隱函數定理就像是熟透了自動掉下來的，把嚴格的理論，用這樣簡明而嚴謹的方法表達，我就算讀遍所有的書，都想不到這樣來處理。多元偏導存在且二階偏導連續推出交換次序二階偏導相等再推出Young定理，再往下加上限制 推出Schwarz定理，一以貫之。

能夠在一本高一學生就能看懂的書中，貫穿微積分，實分析，泛函分析，如此深刻的思想，地球上恐怕只有小平邦彥能做到。

這本書我也曾多次拿給初中畢業的學生，作為初升高的輔助教材來講解，對於書中那些相當精彩的處理方法，有一個學生一臉崇敬的問我，老師，小平邦彥他自己是怎麼想到的啊？這個問題其實我根本無法回答，我只能調出小平邦彥自己曾經說過的一段話：「對我來說,沒有比數學書更難念的了。數百頁的書從頭到尾念完至難。因為知道『數學』讀懂了,也就成為最簡單不過的事而已。所以只念定理,努力想了解它。證明就自己想。而在一般情形之下是想不透的,只好看書上的證明。但是讀一兩次也不覺得懂,便把證明寫在筆記上看看。這回注意到證明有不中意的地方,就想有沒有別的證明法?這樣子好不容易讀完一章時前面的部份已經忘了。沒法子,又從頭複習。這回倒在意起整本書章節的排列方式來。」我只能告訴我的學生，他是通過努力思考而獲得的，但是，事實真的是如此嗎？

我時常無端的猜想，小平邦彥應該來自於天頂星某個具有高度智慧的種群，甚至是超越我們這個宇宙時空之外的智慧種群，遙望到了我們這個世界學不好數學的人有多愚鈍，於是來到我們這個世界，將他所知道的教給我們。為了讓愚鈍的世人能理解他的知識，他在前期不得不封印了他的知識與智慧，把自己變得愚鈍，然後理解世人的愚鈍之後，再把他的知識以愚鈍的世人能理解的形式表述出來。

於是，我在上一篇文章中寫到，「······所以，你不要認為你基礎不好，也不要認為你數學思維能力不強，因為我們世人（一般的普通人）的數學基礎和能力的差別，在以數學之神的形式而存在的小平邦彥大師的眼裡，那就像我們看一隻螞蟻的體長是6.3毫米還是6.25毫米的差別一樣，這個差別其實並無實質上的意義，而小平邦彥大師由此就為我們提供了一個適應口徑最寬的學習數學的方法，那就是他在晚年，把他畢生所學傾注在一本高中生就可以看懂的解析教材上，我們只要按照正確的方法努力去讀，就能讀懂，而讀懂之後，就會知道怎麼去應用，別人能夠想到的，你也能想到，甚至很多別人想不到的，你都能想到。」

從這個角度上來說，他與基督耶穌一樣偉大，與特蕾莎奶奶同等聖潔。只不過，小平邦彥生性木訥，低調，謙虛，極不喜歡出風頭，他太偉大了，偉大到根本不願意去宣傳自己，或者應該說是不屑。他一生都在默默的為了數學知識和數學教學而燃燒自己，就這樣一位偉大的數學家，世人，尤其是數學圈外人知道他的卻是真不多。直到1997年，這位可敬的數學家離世時，依然保持著低調的風格。他的葬禮沒有宗教儀式， 靈柩上放著日本天皇送的花， 旁邊環繞著花簇。在他最喜愛的肖邦的樂曲中參加葬禮的數百人各自獻上了一朵白色康乃馨給逝者。他完成了自己的使命，回歸到天頂星去了，但是，他留下的精神財富，依然閃耀在人間，照亮著人類文明發展的道路。

在人類文明史中，有許多卓越的數學家，如牛頓，萊布尼茨，歐拉，高斯，龐加萊，柯爾莫哥洛夫······但是，他們大多高高在上，他們的理論對一般人來說，同樣也是高高在上，揉一揉已經仰望得發酸的脖子和已經被光芒晃得發花的眼睛，我們同樣也需要一位能直接來到我們身邊的數學家，把他的知識以我們能夠看懂的形式教會我們。童話中，在彩虹的盡頭，有一座精巧的城堡，城堡裡面住著一位善良而睿智的老魔法師，當人們歷盡千辛萬苦找到他的時候，就會慷慨的拿出他配製的魔葯給來訪者，吃了這種魔葯的人，就能獲得智慧。

但是我總覺得，這位慈祥的老魔法師長著和小平邦彥一樣的面容，卻又有著鄰居家老爺爺的和藹可親，他不忍心人們把精力耗費在找到他的路上，他來到人間，把他的智慧魔葯的做法詳盡的寫出來給大家看，具體的配方和工藝就在小平邦彥的書中。

種種偉大的貢獻，小平邦彥已經做到了，而我只是想說到，告訴別人有這樣的一本書。於是，我辛辛苦苦，嘔心瀝血的推廣小平邦彥的《微積分入門》，從2009年年初到2019年年初，已經整整十年了，這十年中，很多人聽了我的言論之後觀望，這些言論也被人當成我別有用心而刻意忽略，也遇到過淺嘗輒止的人，聽了我的推薦之後，試著讀了讀，但是放棄了深入鑽研的機會。這些我都不顧，終於，在上文中提到的那個武大的小兄弟不堪我的蠱惑，認真的去研讀了這本書，在驚嘆中給出了對這本書極高的評價，而且人民郵電出版社圖靈公司也再版了這本書的修訂版。編輯武曉宇多次和我交流，不恥下問，徵求我的意見；市場部的李潔女士向領導申請，為我頒發了圖靈公司第一例「優秀讀者」的榮譽證書，在此，我深表感謝，也誠惶誠恐，因為我自認為還是德不配位的。但是我會繼續把這本書品讀下去，也會繼續把這本書推廣下去。

越戰時期，代數幾何教皇格羅騰迪克在越南的森林裡為越南的數學工作者開講座，這不是作秀；日本二戰戰敗後，被遣返的僑民即使是在碼頭等待輪船時，依然架起黑板為孩子們上課，這也不是作秀。

開篇時提到的，長沙定王台湖南圖書城，在十幾年前，二樓幾百平方米的賣場裡面，有三分之一是高等教育的教材，目測足有上百個書櫃。到現在，只在三樓的一個犄角旮旯里賣高等教育的教材了，就一個書櫃，裡面教材不足百本，還有些無關痛癢的科普讀物；嶽麓山下大學城裡的新華書店，曾經有四層樓的賣場，後來變成一層樓，樓上變了旅店和網吧，再後來左邊兩個門面租給了考研機構做辦公室，賣場只有剩下的三個門面，最近聽說為了修地鐵，那棟房子都拆了。八九十年代，中小學的教室牆壁上時常貼著一些很有意義也很有藝術性的宣傳畫，我記得有一張是在晴朗的月夜下，學生捧著書，拿著筆，在凝望著夜空思考，背景是火箭直上九霄，衛星遨遊天宇，顯微鏡在探求細微的物質結構；還有一張是一位頭髮花白，帶著厚厚的眼鏡的老科學家，在耐心的指導拿著儀器做實驗的學生。那些孩子，在我幼時的理解中，他們都會是將來的科學家，建設國家的棟樑之才，推動人類文明進步的主力軍。那麼，他們會不會來？他們會來嗎？他們不會來嗎？我想，他們還是會來的，畢竟，小平邦彥已經在這個世界來過，並且留下了他的思想。

庭有枇杷樹，吾妻死之年所手植也，今已亭亭如蓋矣。

——《項脊軒志》 明·歸有光

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