一百年前，她成為德國歷史上第一位女性數學講師
學物理的人大概都知道著名的諾特定理，它解釋了對稱性和守恆定律之間的根本聯繫。這裡的諾特就是被愛因斯坦形容為「女性受高等教育以來最傑出的學者」的數學家埃米·諾特（Emmy Noether）。在25歲以最優等取得博士學位後，她一直無薪無職地在大學教書，直到37歲那年，她第一次在數學聖地哥廷根大學獲得了私講師資格。終於，在整整一百年前的六月，這位德國歷史上的第一位女性數學講師面對著希爾伯特、克萊因、柯朗等大人物講授了成為私講師後的第一堂課。諾特一生簡樸，她全然沉醉於數學世界的抽象概念中，或許對於她而言，這就是心中最完美的世界。
撰文 | 顏一清（輔仁大學數學系）
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楔 子
1964年在紐約舉行的萬國博覽會中有一室專門開闢成與數學有關的展覽。其中有IBM所提供的、很出色的約十三尺長壁畫。題名為《現代數學名人錄》，列出約從十世紀到當時的數學發展史。早些世紀的以藝術，特別是建築物來表達。從十六世紀以後就列出數學家們的肖像，並附上他們的簡歷與成就。有八十幅左右的人像畫集中在約十四平方英尺的面積裡面。其中只有一幅是女士，她便是埃米·諾特（Amalie Emmy Noether）。由照片看來她是一位充滿智能、有創意而和藹可親的人，不過一點也稱不上漂亮。圍繞著她的肖像有劉維爾（Joseph Liouville，1809-1882）、康托爾（Georg Cantor，1845-1918）、希爾伯特（David Hilbert，1862-1943）等重量級數學人物。[1]
從左到右為劉維爾、康托爾、希爾伯特與諾特。劉維爾的主要貢獻是對雙周期橢圓函數、微分方程邊值問題、數論中代數數的丟番圖逼近問題和超越數的研究。康托爾是現代集合論的創立者。希爾伯特是歷史上最具影響力的數學家之一，他提出了不變數理論、公理化幾何、希爾伯特空間等思想概念，著名的「希爾伯特的23個問題」對數學的發展起了積極的推動作用。諾特徹底改變了環、域和代數理論，她最著名的成就大概要屬物理學中解釋對稱性和守恆定律之間根本聯繫的諾特定理。
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家 世
埃米·諾特在1882年3月23日出生於德國埃朗根市的一個猶太家庭里。父親是Max Noether，母親是Ida Amalia Kaufmann。
Max Noether（1844.9.24- 1921.12.13）是埃朗根大學的教授，為當時的代數幾何學與代數函數論的權威。Max的祖先從事五金批發。父親Elias Samuel（1774?-1846）在1797年左右從德國黑森林的北方地區搬到猶太人較容易被接納的布魯薩爾。當時這裡是巴登大公的屬地。1809年，巴登大公詔令每一猶太家庭的家長須為他的家族取當地傳統的姓氏。因此Elias Samuel就由Netter（出自Nathan）改姓為Noether（官方紀錄為N?ther）。他那些未搬出的親戚們仍姓Netter。他的一子Hertz改名為Hermann Noether。
Hermann是他家庭中第一個受高等教育的人，他在曼海姆的 Klaus School學過神學，不過後來還是從事祖業。Hermann的太太Amalia Würzburger是曼海姆人。她的父親雖然是生意人，可對數學有興趣。Hermann夫婦生了三男二女。小兒子Max不想做生意。Max不幸地十四歲時得了小兒麻痹症，終其一生都跛腳。所以他大學以前的教育都是在家裡完成的。後來Max在海德堡大學學數學，得了無須論文的博士學位，他在那兒教過一陣後1875年到埃朗根大學教書。
Max與Ida Amalia除了Emmy外有三個兒子：Alfred（1883-1918）、Fritz（1884-1928）與Gustav Robert（1889-1928）。他們的生活安定，家庭氣氛祥和，並有知識階級的氣息。
諾特與她的兄弟Alfred、Fritz和Robert。| 圖片來源：Konrad Jacobs, Erlangen
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埃朗根時期
Emmy小時候功課並不怎麼出色。她有平凡的面孔，還帶一副近視眼鏡。不過老師和小朋友們都知道她聰明、友善、很討喜。
1889年至1897年，Emmy念埃朗根的女子高等學校。課程內容差不多是現今的中學程度，沒有拉丁文，而德文、法文與數學程度可能高一些。Emmy也免不了中等階級的習俗，學了鋼琴。可是她的程度只止於彈奏《快樂的農夫》（舒曼的作品，一首初級程度的演奏曲）的程度而已。她也做家事，但不會喜歡。課餘她喜愛念英文與法文。她還有一個嗜好：很愛跳舞。她常常巴望有機會參加教授們的家庭舞會。家長們也都囑咐兒子們要邀請Emmy跳舞，可是男生對她不感興趣。
1900年Emmy十八歲了。四月她參加巴伐利亞省的英文和法文的教師資格考試。考試成績分成十二等級，第一級最高。Emmy兩學科的平均分數考到1.2級，很不錯。這樣，她擁有英文和法文教師的資格了。但是家庭環境使然吧，Emmy想深造。依她的個性，她是溫順的，要讀大學在當時是一件違反習俗、非常叛逆的行為。不過時機幫上了忙，德國的大學之門逐漸開放給女生了。最先在1901年巴登省的弗萊堡與海德堡兩大學准許女子入學，直到1908年各大學才許可男女同校。埃朗根大學在1900年左右規定 「在授課教授同意之下女生才可以旁聽，不得參加考試」。[1]
1900年至1902年，Emmy在埃朗根大學旁聽之餘，也準備考紐倫堡有好名聲的皇家准古典教育學院的學位，以便取得進大學的資格[2]。1903年6月4日她考試通過。過後她在1903/04的冬季學期在哥廷根大學當旁聽生。教授有天文學家史瓦西（Karl Schwarzschild，1873-1916）、數學家閔可夫斯基（Hermann Minkowski，1864-1909）、布魯門撒爾（Otto Blumenthal，1876-1944）、克萊因（Felix Klein，1849-1925）與希爾伯特。一學期後她回埃朗根，這時候埃朗根大學已經准許女子入學了。
1904年10月24日，Emmy得到埃朗根大學的入學許可，登記號碼是468。她只選數學為學習科目。數學屬於哲學院第二部門。入學時，共有男生46名，她是唯一的女生。
比Emmy小一歲的大弟Alfred也進埃朗根大學的化學科。他除了1904/05冬季學期在弗萊堡外都待在埃朗根，並在1909年獲得博士學位。但是在1918年第一次大戰末年的物質缺乏與諸多不便中，他因體弱早逝了。Emmy的二弟Fritz在埃朗根與慕尼黑學數學與物理。他在Aurel Voss（1845-1931）指導之下拿到慕尼黑大學的博士學位。因此，在1900年代，諾特家有三個孩子從家裡趕路到埃朗根大學上課。Emmy與Fritz也上過他們父親的課。當時Max Noether與哥爾丹（Paul Gordan，1837-1912）教數學部門的主要課程。
在哥爾丹的影響之下Emmy做不變數理論的研究，寫了博士論文「On the construction of the system of forms for the ternary biquadratic forms」（英譯），發表在Journal für die reine und angewandte Mathematik（又稱Crelle』s Journal）134, 1908, pp23-90。1907年12月13日，Emmy以最優等通過博士學位的口試。
不變數理論的古典課題研究的是在線性群作用下保持不變的多項式函數。這張表格來自於諾特關於不變數理論的論文（Noether 1908）。其中收集了不含奇次冪的三項四次型（ternary biquadratic forms）的331個不變數中的202個。| 圖片來源：Wikipedia
1908年開始，Emmy在埃朗根大學無薪無職地工作。她一邊為自己做研究，一邊照顧老父。Max生病時她就替他上課。這時候她已然決定要終身獻身數學了。1908年她成為義大利巴勒莫數學學會會員，1909年她又成為德國數學學會（DMV）會員。DMV的年會可以使年輕的數學家們聚在一起交談，彼此溝通，也看得到那些大牌們在做些什麼。早些年Emmy是與會者中唯一的女性。Emmy很喜歡這種集會，她說這是在「談數學」。從1909年至1929年，她一共在 DMV中演講過九次，並在1928年、1932年的國際數學家會議中演講了兩次。
哥爾丹在1910年退休，繼任者是Erhard Schmidt（1876-1959），後來由Ernst Fischer（1875- 1954）繼任。Fischer的的確確是Emmy的好導師。Fischer引導 Emmy從哥爾丹的演算方式的研究轉變成為採用希爾伯特的抽象代數模式來研究不變數理論。Emmy與Fischer經常「談數學」。他們都住在埃朗根，在學校里也常有見面的機會，可是他們還是很勤快地寫明信片討論數學。通訊期間從1911年持續到1929年，尤其在Fischer被徵調當兵的1915年信寫得最勤快也最多。難能可貴的是Fischer把這些信珍藏到二次大戰後。
諾特有時會用明信片與Ernst Fischer討論抽象代數問題。圖中的明信片標註的日期是1915年4月10日。
往後Emmy走向抽象代數的研究，對以前寫博士論文那一段時期使用的不變數理論形式化的運算方式不復記憶。當有人提及她的博士論文時她會說「那只是一堆雜碎」。
Emmy在1913年間在維也納待過一陣，有時她會去拜訪數學家Franz Carl Joseph Mertens（1840-1927）。Mertens的孫子描述他當時對Emmy的印象，說:「她像從偏僻地區來的神父般穿及踝的黑長袍，套上難以名狀的外衣，在短髮（當時的女人稀有）上帶著一頂男用帽子，還斜背著皮包，就像帝政時代的鐵路督導員那般。看來她的年紀近三十歲。」[1]
1914年5月，Emmy完成論文「Fields and systems of rational functions」（英譯）。她承認Fischer與她的討論引導了她對抽象代數學的興趣，讓她決定她日後研究的方向與目標。這是她在Fischer影響之下寫成的第一篇論文。因深入研究希爾伯特的n變數不變數的問題，她在當時已經被認為是有關不變數理論的專家了。[6]
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哥廷根時期
1915年4月底，克萊因與希爾伯特邀請Emmy去哥廷根大學（公立大學）當私講師（Privat dozent，由學生付學費，不領學校薪水的講師職）的候補者。他們請Emmy去哥廷根除了因為她是同行Max Noether的女兒，想給她一個工作機會外，主要是要借重於她對不變數理論的知識。他們當時在研究廣義相對論，很用得著這方面的知識，而Emmy也真幫上了忙。
Emmy去哥廷根整兩星期後，她的母親Ida Amalia突然去世了，她早先只是在治療眼疾而已，這很出人意料之外。Ida Amalia生前操持家務非常節儉，有空她喜歡彈鋼琴自娛。Emmy與Fritz是她喜悅的源泉，但是Alfred與Gustav Robert體弱多病，常使她憂傷。1915年，即第一次世界大戰第二年，Emmy為了多少要照料家，就哥廷根與埃朗根兩地來回跑。
1915年11月，為要得私講師資格，Emmy在哥廷根數學學會演講「On transcendental integers」（英譯）。但是因哲學部與歷史部的教授們的反對而申請沒有成功。他們反對的理由是性別問題。他們說：「讓女性當私講師，往後她有資格當教授，這樣她就可以成為學校評議會會員。評議會會員怎麼可以有女性？」希爾伯特很氣忿地回答他們：「諸位，大學評議會並不是澡堂，為什麼女性就進不得？」希爾伯特等人向教育當局申訴過，但是沒有用，被駁回。希爾伯特無奈，從1916年冬季學期開始一直到1919年夏天，在他的名下開一些課，但是讓Emmy以助教的名義講解課程，不收費。[1]
超越數（transcendental number）是指不是任何一個有理係數代數方程之根的實數或複數，比如最著名的超越數是e和π。所有實的超越數都是無理數，但反過來並不成立，例如黃金分割比雖是一個無理數，卻不是一個超越數，因為它是多項式 x2?x? 1 = 0 的根。法國數學家劉維爾於1844年首先證明了超越數的存在性。| 圖片來源：Wikipedia
在第一次大戰世界期間（1914-1918），德國的海上運輸長期遭到英軍的封鎖，德國境內物質非常缺乏。1918年末海軍陸續有叛變，並繼續擴大。到了11月7日，飢餓的人民發動革命，指摘德皇威廉二世領導國家無方。戰事又節節敗退的情況之下，德皇終於11月9日遜位，由剛成立的臨時政府在11月11日11點與協約國簽定停戰協議，於是第一次世界大戰宣告結束。直至1919年8月11日，德國國會在魏瑪開會，德國才正式為魏瑪共和國。
大戰中參戰雙方死者逾九百萬人，傷者約兩千萬人，他們大都是年輕男子。他們的死傷改變了各國的社會結構。婦女們須得出現在許多行業中，這使婦女們獲得比戰前更多的平等與自由，她們的社會地位隨著也提高了。
社會形態的改變有利於Emmy申請私講師資格了。Emmy在1917/18年間，專註於微分不變數的研究。1918年，她把結果寫成「Invariant variational problems」（英譯），發表在G?ttinger Nachrichten, 1918, pp.235-257上。它便是 Emmy申請私講師資格的論文。1919年5月21日，哥廷根同仁通過Emmy的資格申請，5月28日有論文演講。於是6月4日她在柯朗（Richard Courant，1888-1972）、德拜（Peter Debye，1884-1966）、希爾伯特、克萊因、蘭道（Edmund Landau，1877-1938）、Prandtl（1875-1953）、Runge（1856-1927）與Voigt（1850-1919）等大人物面前做她申請私講師後的第一堂試課。
在Emmy名下的第一個課程是1919年9月22日至12月20日特別為退伍軍人開的《解析幾何學》。1919的冬季學期開始，Emmy有機會開她研究的專長科目了，如高等代數、有窮論、體論、數論、代數數論等。這些課程每星期都有四堂課。
學生們上Emmy的課所產生的反應走兩極端。有些學生後來成為有名的數學教授。其中有一個人說他覺得Emmy沒有充分準備課程內容。而且學生如果沒有好好預習過，很難跟上她天馬行空式的教法。有一回，上一點鐘要結束的課時他在筆記邊緣塗寫：「好極，已經到十二點五十分了！」可是有些Emmy最出色的學生卻說，上她的課是「很好的經驗」，受益良多。這是因為Emmy上課時常以思考與推論方式漸進，以期能達到某一結果。她未必全部說完，以便聽者有發揮的餘地。她不會有頭緒地把概論、定理等從頭到尾清清楚楚地說出來。所以她授課的方式未必能迎合眾人的胃口。
B.L. van der Waerden（1903-1996）在1923/24來哥廷根前已經是成形的數學家了。他來受教於Emmy，很快地吸收了Emmy的方法，加上他自己的觀念，使抽象代數學得以發揚光大。他寫的《近世代數》是膾炙人口、影響深遠的代數學書。它的內容多少採用了埃米爾·阿廷（Emil Artin，1898-1962）與Emmy的授課內容。Van der Waerden就形容過Emmy上課的一個情景：Emmy要證明Maschke（1853-1908）的一個定理。她想以公理與概念的方式漸進，應該寫很少，也用不著運算就可以導出結果來。她事先想過，沒有完全做出來，她以為在課堂上可以推演得出來。但是眼看下課前沒法子完成它，她生氣了，扔掉粉筆，用腳去踩碎它，還叫出：「討厭，我只能用我不喜歡的方式導出這個定理了！」就以傳統的方式無誤地證出Maschke定理來。[1]
埃米爾·阿廷（Emil Artin）的主要貢獻在代數數論領域，他對環、群和域等基本概念的整理亦有所建樹。
Emmy上課時常把手帕塞在她的胸口。要用時她會不經心地抽出手帕來，使用完了她又塞回原處。她的頭髮可能早先是夾得好好的，但是上課後一下子這裡一束、那裡一綹地垂掉下來。她又長得胖，穿好的上衣經過上課時手的比畫而變了樣，那一副狼狽相成為上她課的學生們的看頭。而上課時「正常班」的學生都佔據前座。坐後面的旁聽生半個小時後往往聽不下去了，便退席。這時候前座的人會回過頭來叫道：「敵人已被擊敗，退卻了！」
Emmy對不苟同她的想法的人態度相當不友善。她會用她的大嗓門粗魯地、還帶嘲弄的語氣把她的想法直接地說出來而得罪人。但是對需要她幫忙的人，她是慈愛而無私的。她會竭她所能去幫助人。她也時常與人分享她的創意。[1]
Emmy是一位忠實的朋友，兼而是一位嚴苛的批判者。因此她很適合當數學雜誌編輯。她的確也從事Mathematische Annalen的編輯工作多年，但是她這份工作也是不掛名的，這頗使她傷感。[3]
Emmy在1915年赴埃朗根奔母喪後又幾次回去奔喪：1918年是她大弟Alfred， 1921年是父親，而1928年是她的幼弟Gustav Robert。因而她養成一種習慣，把她的哀傷、心思都默默地壓在她的心底。可是一看到別人遇到同樣的遭遇，她會表達出十分的同情心來。每當非猶太朋友幫助她時，她也由衷地表示感激。幾次家人故去後，她的親人只剩下二弟Fritz。他在弗羅茨瓦夫當數學教授。 Emmy跟他的家庭很親近，也會跟他們一起渡假。Fritz生有兩男，Emmy尤其寵愛有數學天份的小侄兒Gottfried（1915-1991）。他後來成為數理統計學家，1939年移居美國。Fritz一家人在1934年因納粹的追逐移民到蘇俄後，Fritz在西伯利亞Tomsk的「數學力學研究所」當教授。
1922年，哥廷根大學的自然科學與數學部門向教育當局申請Emmy的升等。 文件中說「埃米·諾特無疑是一位很出色的數學家，不適合當私講師教大班學生的一般課程。她有能力影響一批優秀學生，其中有人甚至於有教授資格。」終於在當年4月6日，Emmy收到普魯士（地方）科學部長發給她「非文官副教授」（nichtbeamteter Ausserordenticher Professor）的證書，也就是說，她雖然升任副教授，但是像私講師一樣不支薪。
不過Emmy還是滿開心的。她寫信給1920年代開始跟她合作，並研究非可換代數的Helmut Hasse（1898-1979）：「這個冬天我終於可以講授有關超複數，這對於我和學生們都有趣多了。」[1]直到1923年柯朗（他除了數學外組織與管理能力也廣被稱許）當哥廷根大學的主任時替Emmy力爭，她才得到「委任教學」（Lehrauftrag）的名義，也才領到少許薪水，一個月在200至400馬克之間，而且這個「委任教學」每年還得複審。[4]
1930年外爾（Hermann Weyl，1885-1955）繼任希爾伯特的教授席。這在當時的德國是最崇高的地位。他認為Emmy在數學上各方面都比他強許多，他的職位卻比Emmy高高在上，這使他不安。因此他向教育當局爭取過她的名位，也爭取Emmy成為哥廷根大學科學會會員，但是都沒有成功。[5]
外爾（Hermann Weyl）以及部分以他的名字命名的物理和數學對象。| 圖片來源：Wikipedia
Emmy的生活一向很簡樸。她起先無薪，即使在1923年後從國家獲得的薪水也很少。她雖然稍有遺產，但是在她多病的幼弟生前，她幾乎都把錢用在他身上。1933年她被普魯士（地方）政府趕出職位時就靠這份遺產過日子。1934年她受聘美國的布林莫爾（Bryn Mawr）學院，她那些在普林斯頓的哥廷根老同事問她：「現在日子可以過得好些了吧！」她說：「哪裡，我只花一半，一半要留給侄兒呢。」
有一次下著雨，Emmy雖然撐著傘，但不怎麼管用，一個學生看不過去說「傘該修了」，她答：「是的，但是單知道沒有用，不下雨時我不會想到它，下雨時我又用得著它。」
Emmy經常在一間簡陋的餐廳里同一時間、同一座位上吃她同樣的簡單晚餐。 在禮拜天她也會在閣樓的房間里煮食，不過這時候差不多都有她的學生們在一起。在哥廷根，大家稱Emmy為「Der Noether」（Der，男性冠詞）表示尊敬，而她的學生們被稱為「Noether boys」，她跟學生們被合稱為「Noether family」。學生們往往從下午就跟她邊散步邊「談數學」，最後落腳在她的住處吃晚餐，再繼續談數學。
外爾說：「Emmy這個人就像剛烘培出爐的麵包，暖烘烘的。」[5]她照顧她的學生無微不至，就像母雞呵護小雞般。她的學生遇到攻擊，她是會很兇猛地反擊的。可是她受到委屈，她可以一笑置之。就如，有一次她被「請出」學校的公寓，因為有一批學生提出抗議說：「不願意跟親馬克思主義的猶太婆共屋頂」，而事實上她在1918年左右較親社會民主黨外對政治一向是不幹不預的。
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指導的學生們
在埃朗根時Emmy就指導過兩次博士論文。第一次是指導Hans Falckenberg（1885-1946）。他是Emmy父執輩的孩子，也是弟弟Fritz的朋友。他在1911年拿到學位。後來當了吉森（Giessen）大學的數學教授。
Emmy在埃朗根與哥廷根來回跑的1915年間，蘭道介紹給她 Dedekind（1831-1916）提出的問題：「任何置換群是否可為某一方程的伽羅瓦群？」她開始想這個問題。剛好那時候Fritz Seidelmann在埃朗根一所學校當講師。早先他在慕尼黑大學跟Friedrich Hartogs（1874-1943）學過。當時他做出：「給定一群，可求得一四次方程」的特殊情形。他問Max Noether是否可以用它寫成博士論文，Max Noether認為他的題目與Emmy研究的課題相近，就將他介紹給Emmy。Emmy建議Seidelmann用參數表示法試一試。結果他成功地做出三次和四次方程的一般情形。寫成的博士論文是：「The set of cubic and biquadratic equations with affect over an arbitrary field」（英譯）。1916年付印，他還寫著：「獻給埃米·諾特博士」。他以最優成績通過口試，Emmy跟他一樣，好高興！Emmy也完成了一篇「Equations with preassigned group」（英譯）,Mathematische Annalen, vol.78(1917/18)。它是這類問題在當時的最佳文獻。
在哥廷根大學Emmy指導博士論文的第一人是Grete Hermann（1901-1984），她在1925年2月25得到學位。過後Grete一直很感戴Emmy的指導。Emmy指導的其他哥廷根大學的博士學位的學生都是男生。跟Grete Hermann差不多時候有Rudolf H?fzer（1903 -1926）與Heinrich Grell（1903-1974）。Rudolf H?lzer完成論文但未得學位前因肺病在23歲病亡。Grell在1926年得學位，後來當洪堡大學教授。Emmy對Grell的評價很高。Grell對Emmy也很感恩。因他，Emmy的「Ideal differentiation and the difference」（英譯）,Journal für die reine und angewandte Mathematik188, 1950, pp.1-21才得以付梓。這是 Emmy遺留下、生前未及出版的著述。
Grete Hermann因為關於量子力學基礎的哲學工作而著名，1935年，她針對馮·諾伊曼提出的量子力學的隱變數理論是不可能的發表評論，但這個評論被長期忽視，湮沒無聞數十載。
Emmy的另一個學生Werner Weber（1906-1975）在1929年得博士學位。他在 《Dedekind 全集》的編纂及van der Waeden的《近世代數》第一版上幫了些忙。
Jakob Levitzki（1904-1956）在烏克蘭出生，之後全家移民到巴勒斯坦。他從特拉維夫來哥廷根念書，經濟情況很差。Emmy儘力替他申請助教獎學金。後來他拿Sterling獎學金在耶魯大學學習。1931年起在希伯來大學教書。在美國與巴勒斯坦他的表現俱佳。
1930年經Emmy指導拿到學位的有Max Deuring（1907-1984）。Emmy對他的期許很高。他寫的《非可換代數》很符合Emmy的意思。後來他在馬爾堡與漢堡教書。1950年後在哥廷根教書當到永久教授。台灣清華大學的徐道寧教授是Deuring的學生。（博士學位口試：1961年12月20日）。
1931年由Emmy指導而獲得博士學位的有Hans Fitting（1906-1 938）。他後來在柯尼斯堡大學當講師，但因骨癌在1938年32歲去世。至今在代數構造中留有 Fitting』s lemma、Fitting』s radical這些名詞。1933年Emmy指導的學生還有 Ernst Witt（1911-1991）。他因1933年6月的考試與入營卡在一起，Emmy又已被停職，由G. Herglotz（1881-1953）當審稿者。[1]
中國學生曾炯之（1898-1940）的論文題目是「Algebras over function fields」（英譯）。他由Emmy指導論文，但是他的論文口試在1933年12月6日Emmy赴美之後。曾烔之後來回中國大陸，1935至1937年間在浙江大學當教授，1937年後在天津北海大學教書，中日戰爭時他隨校輾轉遷移到四川，在 1940年病逝[6]。他在代數學上留有Tsen』s Theorem。
Emmy在哥廷根最後指導的學生是Ottosschiling（1911-1993）。他同時也研究Hasse的專長。Emmy赴美後一年（1934），他在Hasse所在的馬爾堡大學得到博士學位，一年後他也移居美國。他最出色的著作是「The Theory of Valuations」（1950）。[1]
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埃米·諾特與學者們
哥廷根大學在十九世紀有高斯、黎曼，二十世紀有克萊因與希爾伯特等數學大師，蔚然成為「數學界的麥加」；許多國家的數學家都想赴哥廷根大學「朝聖」一番。第一次大戰後哥廷根的數學陣容有希爾伯特、諾特、蘭道、C.Caratheodory（1873-1950）、柯朗（接克萊因的教授席）、Herglotz、 外爾等人。來哥廷根浸洷在諾特圈的法國數學家有A. Chatelet（1883-1960）、C. Chevalley（1909-1984）、A. Weil（1906-1998）、Jacques Herbrand（1908-1931）。後者很優秀，但因登法屬阿爾卑斯山失事而早亡。朋友們為紀念他出了一本刊物，其中有Emmy生前最後一篇文章「Splitting crossed products and their maximal orders」（英譯）,Actualités Scientifiques Industrielles, Paris, 148（1934）。Emmy悲嘆：「我不能忘懷Herbrand的早逝。」
日本學人從東大來哥廷根跟Emmy學習的有高木貞治（1875-1960）的高足正田建次郎（1902-1977）與末綱恕一（1898-1970）。在Emmy的影響之下，正田建次郎在1932年寫出《抽象代數學》。[6]末綱恕一在1950年出版《解析的整數論》等，這些書廣被使用，成為日本代數學家走向國際舞台的誘因之一二。又，正田從1935年至1961年擔任大阪大學校長。他是Osaka Journel of Mathematics與日本數學學會的成立的一位關鍵性人物。
美國學者中有Solomon Lefschetz（1884-1972）、Oswald Veblen（1880-1973）、Saunders Mac Lane等來哥廷根。Lefschetz的想法與Emmy相近，Veblen對以後德國數學家移居美國幫了大忙。[1]Mac Lane聽過Emmy的課。他與G. Birkholf（1911-1996）合著的「A survey of Modern Algebra」出過好幾版，是一本著名的代數書。
蘇俄數學家亞歷山德羅夫（P.S. Alexandrov，1896- 1982）是莫斯科大學教授。他英、德語都很流暢，從1923年起他經常來德國，尤其幾次到哥廷根大學當客座。他跟Emmy不但是好朋友，他還很尊敬她。Heinz Hopf（1894-1971）與亞歷山德羅夫的交誼很深，他們常彼此溝通想法。他們在拓撲學的代數化上的確受過Emmy的影響。又亞歷山德羅夫在當時赤化的蘇俄可以自由出入蘇俄國境，對東西歐文化，尤其是數學的交流與推展功不可沒。
亞歷山德羅夫是前蘇聯著名數學家，對創立和發展集合論和拓撲理論作出了重大貢獻。
Emmy跟蘇俄數學家，如數學家兼北極探險家Otto Juljewitsch Schmidt（1891- 1956）、W.W. Stepanov（1889-1950）、N.G. Tschebotar?v（1894-1947）等人也經常有聯繫。
1928年冬天至1929年夏，Emmy應亞歷山德羅夫的邀請去莫斯科大學當客座。她享受亞歷山德羅夫與他的朋友們的友誼。回國後她還受到哥廷根同仁的羨慕，因為由於她的影響，I.A. Arnold（1900-1984）、L.S. Pontrjagin（1908-1988，1935當莫斯科大學教授）分別用德文發表了他們心得的文章。[1]
Emmy向來不跟人爭奪著作優先發表權。她甚至由她的構思而誘導出學生的結論成為學生獨有的作品。像在1914年，Kurt Hentzelt（?-1914）在埃朗根完成論文，但是論文還沒有發表，他就被調去當兵，那年十月傳出他出任務失蹤的消息。在1921年的DMV年會中，Emmy簡述Hentzelt論文的內容，並替他登載在Mathematishe Annalen上，題名為「On the theory of polynomial ideals」（英譯）。1923年冬到1924年夏，Emmy根據 Hentzelt的概念得到很好的結果，便在課堂上講起。1924年秋天van der Waerden來哥廷根，他也從Hentzelt的論文中得到啟示，導至Emmy同樣的結果。後來他由Emmy的學生H. Grell口中才知道有這一回事。Emmy沒跟他爭優先權。van der Waerden便把結果發表在Mathematishe Annalenvol. 96（1927）上，是為「Theory of zeros of polynomial ideals」（英譯）。在代數幾何學上它是一篇有份量的論文。Emmy只是在給 Hasse的信中慨嘆過：「我的方法像蔓藤般，到處爬行。」[1]
7
哥廷根時期的黃昏
1929年洛克菲勒基金會捐款在哥廷根大學蓋成新大樓，裡面有一些小辦公室是給講師和助教的。Emmy分得了特別的一間，蠻有校方酬庸她多年來優異的教導的意思。
哥廷根大學數學系大樓。| 圖片來源：Daniel Schwen
1930-32年間，哥廷根大學出版《Dedekind全集》。Dedekind留下五十來本備忘錄。要整理這些著實不容易。編纂者是Robert Fricke（1861-1930）、?ystein Ore（1899-1968）與諾特。Fricke只做了少許，其他都由Ore與 Emmy所完成。[1]由此Emmy對Dedekind的著作更加了解，對他的人品也就更加祟敬，她說：「Dedekind都沒有犯過錯誤。」[6]
1932年，Emmy與阿廷因他們在數學上的貢獻同時被頒授Alfred-Ackermann-Teubner紀念獎。同年，哥廷根大學的代數學家們慶賀Emmy的五十大壽。這一年九月在蘇黎世有國際數學家會議。它像一個大家族的會合，與會者有420人。9月7日，Emmy演講「Hypercomplex systems in their relations to commutative algebra and number theory」（英譯）。開完會後不久，哥廷根的好日子便過去了，麻煩事開始發生。
早在1929年10月29日，紐約證券市場大暴跌引發世界性大蕭條。第一次世界大戰後德國的繁榮仰賴美國的信用貸款與活躍的國際貿易。這兩項財源涸渴後德國人民窮困不堪，對魏瑪政府的溫和派作風也就失去了信心。於是希特勒（1889-1945）領導的國家社會黨（簡稱納粹黨）及共黨的勢力趁機而盛。到1932年，德國境內失業人口高達六百萬人以上，人民對政府的失望更甚。同年11月，納粹黨在德國國會選舉中大舉得勝，獲可觀席位。1933年1月30日，當時的魏瑪政府總統興登堡（1847-1934，第一次世界大戰時德國名將）無奈，任命希特勒為總理，組成聯合內閣。同年2月27日，希特勒假借國會大廈被共黨縱火，搜捕共黨，除去異己，攫取獨裁權。4月1日，納粹黨公然採取迫害猶太人政策：抵制猶太人經營的生意；在公職人員方面，凡是猶太人及有猶太血統（追溯到祖父或祖母是猶太人）的人都在被迫退職之列。[2]4月2日，教育局發令禁止諾特在哥廷根大學教書。理由是她是「危險人物」， 說她曾經借房間給左翼學生開會過。遭遇到同樣禁令者有柯朗、玻恩（Max Born，1882-1970，1954年諾具爾物理學獎得主）與詹姆斯·弗蘭克（James Franck，1882-1964，1925年諾具爾物理學獎及第一次大戰鐵十字架勳章得主）。Otto Neugebauer（1899-1990）、蘭道與Paul Bernays（1888-1945）先被停止一切教學與行政工作。他們都是猶太人。外爾繼任柯朗為數學部門主任。
8
赴布林莫爾女子學院
1933年間世界性不景氣還在持續中。在歐美各國一職難求。不過外爾積極為Emmy安排在美國的出路。據亞歷山德羅夫說，他當時也替Emmy奔走莫斯科大學的差使，但是進行得很緩慢，Emmy等不住，終於接受外爾給她找到的美國布林莫爾（女子）學院客座教授一年的職位。[4]薪水由洛克菲勒基金會支付。1933年10月底Emmy整裝赴美。
在美國賓州東南部的布林莫爾學院1933年秋季開學典禮時，Park校長告訴師生將有一位最出色的德國女學者埃米·諾特蒞校教書。她的名字對學數學的人來說如雷貫耳，大家都很振奮。學校當局為Emmy要來教書還募款設立 「埃米·諾特獎學金」。當時的數學系系主任是Anna Pell Wheeler（1883-1966）。她在1906/07年間在哥廷根待過，1910年得芝加哥大學博士。Wheeler太太的安排是，讓拿埃米·諾特獎學金的Marie Weiss（已得斯坦福博士， 1903-1949）與在布林莫爾獎學金之下攻讀博士學位的Ruth Stauffer（1910-？）跟隨Emmy讀書。她們師生之間可能需要一段緩衝時期，等到Emmy準備妥當方始。起初學生沒有碰過抽象代數。Emmy讓她們從van der Waerden的《近世代數》第一冊學起，還念E. Hecke的「Theory of Algebraic Numbers」。學生們對德文名稱的英譯感到困惑。Emmy教她們以德文專有名詞來了解。這樣，她們德、英文並用，結果還蠻好。Emmy上課就像開討論會，好像她也是學生之一，大家一起討論、解答。兩位女生覺得很受用。[2]
1934年夏天，Emmy回德國看弟弟Fritz一家人與老朋友。那裡的政治氣候越來越險惡，有些朋友甚至於迴避Emmy。Fritz是猶太人，被迫從弗羅茨瓦夫大學退休，他倒是拿到了退休金。為了兩個兒子的前途，Fritz打算移民到蘇俄西伯利亞。[1]
Emmy在美國第二年的差使還沒有著落。不過朋友們應該會幫忙。看來她再回德國的機會很渺茫。她便清理自己在德國的財物，夏天過後又回美國，並參加美國數學學會。[6]為了要獲得學人的支持留住Emmy，布林莫爾的Jacob Billikopf透過數學家Arnold Dresden請Solomon Lefschetz、Norbert Wiener（1849-1964）與George D. Birkholf（1884-1944）表示對Emmy的意見。他們都齊口稱讚Emmy是至今最優秀的女數學家，理當給她留任的機會。不過他們也有共識，Emmy不適合教大學部課程。
至於經費方面，有Emmy的朋友典當物品獲得1700美元，他願意捐出這筆錢來。普林斯頓高等研究院願意負擔1500美元做為Emmy每星期去普林斯頓授課的報酬，而布林莫爾學院付給Emmy的年薪是3000美元，因此在洛克菲勒基金會答應補助2800美元的情況下，Emmy在布林莫爾學院從1935年至1937年的薪水便有眉目了。[6]
在布林莫爾的第二年，Emmy多出兩名學生。一名是Grace Shover（1906-1998），Grace跟Mac Duffee學過抽象代數學，這回她拿到1934/35年埃米·諾特獎學金來做博士後研究。另一名是Olga Taussky（1906-1995）。Olga是Emmy在哥廷根的舊識，維也納大學博士。她本來早一年就有布林莫爾外國人獎學金，但布林莫爾學院因財務困難，延後一年。剛好Emmy又在布林莫爾，Olga便拖延一年，她稍後才獲得的劍橋大學格頓學院的三年獎學金，先來布林莫爾。[6]
Olga早年是奧匈帝國子民。第一次大戰後她的國家獨立，她便成為捷克人了。[7]她在1930年的DMV與Emmy相識。那時候她已是漸露頭角的數學家了，專長是類域論（Class field theory）。剛好哥廷根大學打算在1932年出版希爾伯特的數論第一冊來慶賀他的七十大壽，急需類域論方面的年輕專家來整理希爾伯特的資料。柯朗便在1931年至1932年6月間請Olga來當編纂者之一。在這期間，Emmy與Olga常有接觸的機會。那時候Emmy老嫌Olga的德語帶奧地利腔。不過這回她們在異鄉相逢，Olga的德語Emmy聽來都覺得親切了。[6]
Olga Taussky因她在代數數論、積分矩陣等領域的研究以及整理希爾伯特著作的工作而著名。
Emmy與她的四名研究生一起討論功課，一起玩，彷彿她又組成了一個諾特家庭。有時候她們會邊談邊穿過田野，越過鐵軌。Emmy體態臃腫，行動可還蠻靈活哩。最後她們會聚集在某個人的住處或是Wheeler太太的客廳。Wheeler太太跟她們也都很合得來。[2]
1934年2月起，Emmy每星期二一早便搭火車去普林斯頓教書。Olga來後間或陪Emmy一起去。有時候四個女生搭Wheeler太太的便車去聽講。據Olga說，Emmy星期一給她們上什麼課，星期二就去普林斯頓講這些，等於她都預演過了。普林斯頓的聽眾差不多是研究員以上，他們習慣於實際演算，Emmy的抽象討論法對他們還是新穎的。教完課後Emmy經常和外爾（1933年來普林斯頓）與R. Brauer（1934年來普林斯頓）相聚。[6]
Emmy對Olga是滿任性的，她會對Olga使性子，還會批評Olga這個那個，再責備Olga在乎她那些話。Olga這個人也比較敏感，她總覺得Emmy在美國這一陣與在哥廷根時不一樣，好像有什麼心事積壓在她心裡。
原來Emmy身體有毛病，她想拖到夏天回德國去治療。她跟布林莫爾的醫生商量的結果是，醫生勸她趁早開刀治療才好。[6]47年後，Grace Shover回憶起1935年3月31日至4月14日的事：那時候，學校正放春假，宿舍關閉，大家各自散了。Grace住靠近學校的朋友家。3月31日，Emmy找Grace陪她去太平洋城看在那裡的Olga，三個人談得很開心。過後Grace有德國來的朋友，Grace在4月7日（禮拜天）傍晚便帶她去見Emmy。朋友與Emmy用德語談故國事。但是在4月8日，Wheeler太太告訴女學生們，Emmy當天進布林莫爾的醫院要開刀切除子宮瘤。[2]Emmy離家赴醫院前被要求寫出一份名單，捐贈她的所有物以備萬一。Olga與Grace也都在名單之內。[6]4月9日，四名女生們去醫院看Emmy，並送她「Town and Country」的複印本。10日Emmy開刀，聽說過程很順利，Emmy還高興只取出病灶（一個大卵巢瘤）， 不必割除其他部位。13日女生們想去探病房，但是還謝絕訪客。14日是星期天，大家都在宿舍里，想著Emmy的病大概快好了。突然間有Ruth的電話：Wheeler太太來電話告訴Ruth，Emmy的病況發生變化，她因栓塞（embolism）剛剛斷氣。這真是晴天霹靂，女孩子們聽後當夜無法合眼。[2]
4月7日，Emmy還發信給Hasse，長篇討論Ruth的論文。但是Hasse又收到Fritz Noether 4月15日由柏林寄的信，告訴他姐姐埃米·諾特在4月14日過世了。[1]
1930年代的諾特。| 圖片來源：Konrad Jacobs, Erlangen
9
終 局
1935年4月15日的紐約時報簡略報導Emmy去世的消息。當天的New York Herold Tribune（《紐約先驅論壇報》）刊載得多一些。[1]
4月18日，埃米·諾特的遺體在火化前，布林莫爾學院Park校長的客廳里舉行了一場貴格會的告別儀式。在柔和哀傷的音樂中，Emmy的德國和美國的少數知己，如外爾、Brauer、Wheeler太太和Olga等以各自的語言向她告別。骨灰埋在M. Carey Thomas圖書館的迴廊磚道底下，與首任校長M. Carey Thomas的骨灰為鄰。[6]
4月19日，S. Lefschetz告訴在哥倫比亞大學開會的美國數學學會會員埃米·諾特去世的消息，大家起立默禱一分鐘。4月26日，埃米·諾特逝世紀念禮拜在布林莫爾的Goodhert禮堂舉行。許多人來參加，由外爾用英語很感性地說及埃米·諾特的生平與著述。[6]他說Emmy是很有創意且影響眾人的代數學家。她並不是上蒼的巧手用粘土塑造成的人，而是一個石塊由他吹進創造的生命力而成的人。她心地善良，不知惡為何物。[5]他的演講詞附上 Emmy的照片在第二次大戰後分贈給聯繫到的Emmy的親友們。[1]
愛因斯坦（1879-1955）在5月1日投稿給《紐約時報》編輯，題名為《故埃米·諾特》，內容是：「人類生而為食賣力，有一些人得天獨厚，可免去這一份勞力，他們便去追逐人世間的享受。在他們的下意識里認為這便是人生中最值得追求的目標。幸而有少數人從他們生命的早期就認定人類最完美的經驗不是來自外界，而是由個人內心的感覺、思想與行為啟發出來。這些人便是真正的藝術家、做研究的人與思想家等。這些人的一生不管是否多不起眼，他們所得到的成果是這一代傳給下一代最珍貴的貢獻。
幾天前埃米·諾特教授去世了，享年53歲。她是代數界的奇葩，女性受高等教育以來最傑出的學者。她在代數領域中發現的概念式方法證實可使現代代數學發展起來。她在哥廷根大學教學多年，雖經希爾伯特等人的極力爭取，於公無法取得她該有的名位。但是她還是無怨無悔地教導，影響周遭的學生與學者。可是，她無私的奉獻所換得的報酬卻是因猶太人而被停止教學，讓她失去維持簡單的生活與做研究的機會。幸好經有識人士的安排，她得以在美國布林莫爾學院與普林斯頓執教。由於同事們的友愛及學生們的愛戴，使她的晚年過得快樂、充實。」[8]
Mathematische Annalen雜誌社在6月21日收到van der Waerden的《埃米·諾特事略》，便登載在該雜誌111卷（1935）pp. 469-476上。van der Waerden在文章中給Emmy在學術上的成就定位。[3]1935年9月5日，莫斯科數學學會在莫斯科開「埃米·諾特追悼會」。在Tomsk大學的Fritz Noether也參加。與會者還有來莫斯科參加第一屆國際拓撲學會的學者們。主席亞歷山德羅夫告訴大家埃米·諾特在4月14日去世。眾人起立默禱後，亞歷山德羅夫生動地描述他所認識的Emmy。[4]
9月25日，DMV的年會中秘書告訴大家埃米·諾特是近年內去世的第十四位數學家。會員們全部起立悼念。從此埃米·諾特便從DMV除名了。
Emmy所指導論文的最後一名學生Ruth Stauffer後來轉由Brauer指導，在 1936年拿到博士學位。她離開數學界，在賓州州政府做研究員，但還是稱讚Emmy的教學法對她處理數據有幫助。[2]
Emmy在布林莫爾的其他學生如Marie Weiss在杜蘭大學Newcomb學院教書，她寫了廣被使用的「Higher Algebra for the Undergraduate」（1949）。在序文中她強調van der Werden等人給她的影響。第二版還沒問世她就去世了。[6]
Grace Shover在美國大學（American Uiniversity）教書。1936年她去奧斯陸參加國際數學家會議時柯朗特地給她介紹信，她便取道哥廷根會見希爾伯特夫婦與Hasse。為的是這些Emmy的故舊很想知道Emmy在美國最後一年來的情況。在大會中Grace也會見了Fritz Noether。[2]Olga Taussky在1938年9月與John Todd在英國結婚。夫婦從1957年開始在美國加州理工學院執教一直到退休。[8]Olga於1995年去世。她生前在代數學上的表現很出色。
1945年第二次世界大戰結束。一切逐漸回復正常，學術交流更是沒有國界。抽象代數學以哥廷根精神（其中包括阿廷與諾特等）繼續發展開來。德國學術界開始為當年被放逐的學人（其中數學家最多）做一些補償工作。為諾特做的有：1957年埃朗根大學慶祝埃米·諾特得博士學位五十周年紀念。1960年埃朗根市更以一條新住宅區的街名命名為Noether Strasse，來紀念諾特父女。1982年是諾特誕生一百周年。2月27日，埃朗根數學研究所舉行諾特紀念碑揭幕典禮。埃朗根市還建立一所男女合校，強調數學、科學、現代語言學的「埃米·諾特高中（Gymnasium）」。
在美國，1982年3月17日至 19日，布林莫爾學院在女數學家學會贊助之下舉辦了「埃米·諾特百年誕辰紀念會」。有九場演講，還有Emmy當年在布林莫爾的學生與Gottgried Noether講述他們所認識的埃米·諾特。這些都付印成冊為「Emmy Noether in Bryn Mawr」,Springer Verlag, New York, 1983。會後Grace Shover Quinn把她掛看的首飾，Emmy的遺物，取下轉送給Gottfried的獨生女Monica，作為姑婆Emmy的紀念品。[2]這些，如果Emmy地下有知，一定覺得很窩心的吧。
據van der Waerden在1924年後的了解，Emmy看一個定理或課題須得把它抽象化，在她的心目中變成透明的架構她才能夠把握它。她只能以概念而非公式來思考，所以也想出概念化的形式來，它可適用於一般化的數學理論。而她所採用的工具便是代數與算學。[1]
埃米·諾特早年（1907-1919）的作品第一篇是在哥爾丹完全以運算方式的指導之下完成的博士論文。不久她受Fischer的影響，被希爾伯特的思考方式所吸引，完成一些研究。如有關微分不變數的論文。它在廣義相對論上是很好用的文獻。在這期間她最重要的工作是：「給定一伽羅瓦群，求出方程式」。
1919年第一次世界大戰後，Emmy開始自己摸索研究的方向。在1920年，她與W. Schmeider完成論文「Modulu in nichtkommutativen Bereichen, ins besondere aus Differential-und Differenizenausdrücken」 Math Zs 8(1920)pp.1-3。這是她往後一連串一般理想理論（ideal theory）的先聲。
1927年後，Emmy研究的方向轉向不可交換系統的理論上。她在還有充沛創意中去世，發表的論文共有44篇。[6]
參考文獻
1. A. Auguste Dick, Emmy Noether, Birk-haüser,Boston,1981.
2. B. Emmy Noether in Bryn Mawr, Springer Verlag, New York, 1983.
3. C. B. L.vander Waerden, Obituaries of Emmy Noether, Mathermatische Annalen 111,1935,469-476.
4. D. P.S. Alexandrov, In memory of Emmy Noether, Memorial adress delivered before the Mathematical Society of Moscow, Moscow, Sptember 5,1935.
5. E. Hermann Weyl, Emmy Noether, Scripta Mat hematica III, 3, 1935, 201- 220.
6. F. Emmy Noether, A Tribute to Her Life and Work, edited by J.W.Brewerand
7. M.K.Smith,Marcel Dckkerlnc.1981,NewYorkandBasel.
8. G. Albers Alexanderson, Mathematical People (Profiles and Interviews), Birkhaüser, Boston1985.
9. H. Albert Einstein, The Late Emmy Noether, The New York Times. May 4,1935,12.
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