數學基本思想與教學

本書對數學及數學教學進行了新的反思，深入淺出。作者嘗試從數學的角度討論了推理的模式，對比亞里士多德的演繹推理句式，提出使用歸納推理的方式進行推理的邏輯性與合理性。圍繞義務教育階段數學課程的改革，作者解讀了義務教育中數學課程的標準，認為課程大綱是工業化時代的產物，以知識為本，而現代社會更強調的是發展人為本。因此，作者在本書中列出了自己對於數學課程修訂的諸多建議，如重視學生的思維訓練等。此外，作者以訪談錄的形式闡釋了自己對於中小學生數學課程的設計及數學教學方法的理念，對數學教學有極大的啟發性意義。

作者簡介

東北師範大學資深教授,博士研究生導師,國內著名數理統計學家和教育家,義務教育數學課程標準修訂組組長,普通高中數學課程標準修訂組組長,教育部中小學教材審查委員,曾任國務院學位委員會學科評議組成員、教育部科學技術委員會數理字部委員,中國概率統計學會副理事長東北師範大學校長。

一、什麼是數學基本思想？

在我國數學教育，特別是基礎教育階段的數學教育中，數學基本思想一詞已經被廣泛使用。《義務教育數學課程標準(2011年版) 》(簡稱《標準(2011年版)》)明確指出：通過義務教育階段的數學學習，使學生能獲得適應社會生活和進一步發展所必需的數學的基礎知識、基本技能、基本思想和基本活動經驗。

在數學教學中，通常說的等量替換、數形結合，遞歸法、換元法等，可以稱為數學思想方法，但不是數學基本思想。因為在述說這些概念的時候，必然要依附於某些具體的數學內容，因此這些概念在本質上是個案的而不是一般的; 此外，這些概念也不是最基本的，比如關於等量替換，人們可以進一步追問:為什麼可以在計算的過程中進行等量替換呢?這就意味著，作為一種方法，等量替換可以用其他的更為基本的原理推演出來。為此，需要建立判斷數學基本思想的原則。

我們建立二個原則：

第一個原則，數學產生和發展必須依賴的那些思想。

第二個原則，學習過數學的人應當具有的基本思維特徵。

根據這兩個原則，我們把數學基本思想歸結為三個核心要素:抽象、推理、模型。這三者對於數學的作用以及相互之間的關係大體是這樣的：

通過抽象，人們把現實世界中與數學有關的東西抽象到數學內部，形成數學的研究對象,思維特徵是抽象能力強；通過推理，人們從數學的研究對象出發，在一些假設條件下，有邏輯地得到研究對象的性質以及描述研究對象之間關係的命題和計算結果，促進了數學內部的發展，思維特徵是邏輯推理能力強;通過模型，人們用數學所創造的語言、符號和方法，描述現實世界中的故事，構建了數學與現實世界的橋樑，思維特徵是表述事物規律的能力強。

當然，針對具體的數學內容，不可能把三者截然分開，特別是不能把抽象與推理、抽象與模型截然分開。在推理的過程中，往往需要從已有的數學知識出發，抽象出那些並不是直接來源於現實世界的概念和運演算法則，比如，實數與高維空間的概念、矩陣與四元數的運演算法則等，在這個意義上，數學並不僅僅研究那些直接來源於現實世界的東西;在構建模型的過程中，往往需要在錯綜複雜的現實背景中抽象出最為本質的關係，並且用數學的語言予以表達，比如，用s=1/2gt2這樣的算式表達物體自由降落的規律。反之，抽象的過程往往需要藉助邏輯推理，比如，在一類事物中發現共性、分辨差異，抽象出數學的概念;通過推理判斷概念之間的關係，判斷什麼是命題的獨立性、什麼是命題的相容性，最終抽象出公理體系；在眾多個案的運算過程中發現規律，通過推理驗證什麼是最本質的規律，最終用抽象的符號表達一般性的運演算法則。因此，在數學研究和學習的過程中，抽象、推理、模型這三者之間常常是你中有我、我中有你。

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抽象

抽象是從許多事物中含棄個別的、非本質屬性， 得到共同的、本質屬性的思維過程，是形成概念的必要手段。最初的抽象是基於直觀的，正如康德所說:

人類的一切知識都是從直觀開始，從那裡進到概念，而以理念結束。

希爾伯特非常敬佩前輩康德。在出版紀念高斯的文集時，希爾伯特把1898- 1899年給學生授課時的講稿編寫成講義《幾何基礎》，把康德的這句話作為卷首題詞。

對於數學，抽象主要包括兩方面的內容:數量與數量關係，圖形與圖形關係。這就意味著，數學的抽象不僅僅要抽象出數學所要研究的對象，還要抽象出這些研究對象之間的關係。與研究對象的存在性相比，研究對象之間的關係更為本質。正如亞里士多德在《形而上學》中聽說:

個體不能同時在多處存在，共相卻可以同時存在於眾多，所以也不難明白，離開了特殊普遍將不復存在。

例如，數學家用抽象的方法對事物進行研究，去掉感性的東西諸如輕重、軟硬、冷熱，剩下的只有數量和關係，而各種規定都是針對數量和關係的規定。有時研究位置之間的關係，有時研究可通約性，還研究各種比例，等等。......數學家把共同原理用於個別情況，……等量減等量餘量相等，這便是一條對所有量都適用的共同原理。對於數學研究而言，線、角或者其他的量(的定義)，不是作為存在而是作為關係。

數學與數量關係的抽象

人們把現實生活中的數量抽象為數,形成自然數，並且用十個符號和數位進行表示，得到了自然數集。在現實生活中，數量關係的核心是多與少，人們又把這種關係抽象到數學內部，這就是數的大與小。後來，人們又把大小關係推演為更一般的序關係。

由大小關係的度量產生了自然數的加法，由加法的逆運算產生了減法，由加法的簡便運算產生了乘法，由乘法的逆運算產生了除法。因此，數的運算本質是四則運算，這些運算都是基於加法的。通過運算的實踐以及對運算性質的研究，抽象出運演算法則。為了保證運算結果的封閉性，就實現了數集的擴張。在本質上，數集的擴張是因為逆運算:為了減法運算的封閉，自然數集擴張為整數集;為了除法運算的封閉，整數集擴張為有理數集。

數學還有第五種運算，這就是極限運算，涉及數以及數的運算的第二次抽象。雖然極限的思想古已有之，但極限運算的確立，卻是源於牛頓、萊布尼茨於1684年左右創立的微積分，因為微積分的運算基礎就是極限。為了合理地解釋極限，特別是為了合理地解釋函數的連續性，1821年到1860年這一段時間，柯西、魏爾斯特拉斯等數學家創造出「ε- δ語言」的描述方法。由此也開始構建了現代數學的特徵:研究對象符號化、證明過程形式化和邏輯推理公理化。

為了很好地描述極限運算，需要解決實數的運算和連續;為了很好地定義實數，需要解決無理數的定義與運算;為了清晰定義無理數，需要重新認識有理數。這樣，小數形式的有理數就出現了，這完全背離了用分數形式表達有理數的初衷。這個初衷就是:有理數是可以用整數表示的數。這個初衷所表述的現實背景是:部分與整體的關係，或者，線段長度之間的比例關係。

1872年，基於小數形式的有理數，康托用基本序列的方法，通過有理數列的極限定義了實數，解決了實數的運算問題;戴德金用分割的方法，通過對有理數的分割定義了實數，解決了實數的連續性問題。1889年，皮亞諾構建算術公理體系，重新定義了自然數。1908年，策梅洛給出了集合論公理體系，這便是人們通常所說的ZF集合論公理體系。藉助這一系列的工作，人們終於合理地解釋了數和數的運算，合理地解釋了微積分，構建了現代數學中關於數及其運算的理論基礎。

由此可見，雖然人們在很早以前就抽象出了數以及四則運算，抽象出了數與數之間的關係，甚至建立了基於極限運算的微積分，但直到20世紀初，人們才合理地解釋了什麼是數，以及各種關於數的運算及其法則。

圖形與圖形關係的抽象

無獨有偶，圖形與圖形關係的抽象也經歷了類似的過程。現實世界中的圖形都是三維的，幾何學研究的對象，諸如點、線、面等都是抽象的產物，這些研究對象集中地表述在歐幾里得《原本》 這本書中。 歐幾里得用揭示內涵的方法給出點、 線、面的定義，比如，點是沒有部分的那種東西。但是，凡是具體的陳述就必然會出現悖論:按照這樣的定義，應當如何解釋兩條直線相交必然交於一點呢?兩條直線怎麼能交到沒有部分的那種東西上呢?此外，空氣是沒有部分的，空氣是不是點呢?即便如此，歐幾里得幾何仍然是數學抽象的典範，支撐了數學兩千多年的發展，並且成為近代物理學發展的基礎，主要表現在伽利略和牛頓的工作中。

隨著數學研究的深人，特別是非歐幾何以及實:數理論的出現，人們需要更加嚴格地市視傳統的幾何學。1898 ，看爾伯特在《幾何基礎》這本書中，重新給出了點、線、面的定義:用大寫字母A表示點，用小寫字母a表示直線，用希臘字母義α表示平面，這完全是符號化的定義,沒有任何涉及內涵的話語。那麼，完全沒有內涵的定義也能成為數學的研究對象嗎?事實上，希爾伯特更為重要的工作在於他給出的五組公理，這五組公理限定了點、線、面之間的關係，給出了幾何研究的出發點，構建了幾何公理體系。希爾伯特幾何公理體系的建立，完成了幾何學的第二次抽象。在式上，幾何學的研究已經脫離了現實，正如希爾伯特所說的那樣：

歐幾里得關於點、線、面的定義在數學上是不重要的，它們之所以成為討論的中心，僅僅是因為公理述說了它們之間的關係。換句話說，無論把它們稱為點、線、面，還是把它們稱為桌子、椅子、啤酒瓶，最終推理得到的結論都是一樣的。

小結

通過上面的討論可以看到，抽象是數學得以產生和發展的思維基礎，並且，與數學的發展同步，數學的抽象也經歷了兩個階段。

第一階段的抽象是基於現實的，人們通過對現實世界中的數量與數量關係、圖形與圖形關係的抽象，得到了數學的基本概念，這些基本概念包括數學研究對象的定義、刻畫研究對象關係的術語和計算方法。這種基於現實的抽象，是從感性具體上升到理性具體的思維過程。隨著數學研究的深人，還必須進行第二階段的抽象，這個階段的抽象是基於邏輯的。人們通過第二階段的抽象，合理解釋了那些通過第一次排象已經得到了的數學概念及概念之間的關係。第二次抽象的特點是符號化、形式化和公理化，這是從理性具體上升到理性一般的思維過程。

但是，我們必須看到，雖然第二次抽象使得數學更加嚴謹，但第一次抽象卻是更為本質的，因為第一次抽象創造出了新的概念、運演算法則和基本原理，而第二次抽象只是更加嚴謹地解釋這些創造。事實上，如果沒有第一次抽象作為鋪墊，我們將無法理解第二次抽象的真實含義，就像沒有歐幾里得幾何作為鋪墊，我們將無法理解希爾伯特所創造的幾何公理體系到底說了些什麼。

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推理

按照人們的通常理解，主要有三種思維形式:形象思維、邏輯思維和辯證思維。數學主要依賴的是邏輯思維，具體體現就是邏輯推理。人們通過邏輯推理，理解數學研究對象之間的因果關係，並且用抽象的術語和符號描述這種關係，形成數學的命題和運算結果，促進了數學內部的發展。

隨著數學研究的不斷深人，根據研究問題的不同，數學逐漸形成各個分支，甚至形成各種流派。即便如此，因為數學研究問題的出發點是一致的， 邏輯推理規則也是一致的， 因此，至少現在的研究結果表明，數學在整體上具有一致性。也就是說，雖然數學各個分支所研究的問題似乎風馬牛不相及，但數學各個分支得到的結果卻是相互協調的。為此，人們不能不為數學的這種整體一 致性感到驚嘆:數學似乎蘊含著某種類似真理那樣的東西。

推理是對命題的判斷，是從一個命題判斷到另個命題判斷的思維過程。這裡所說的命題，是可供判斷的陳述句，如果也用陳述句表述計算結果，那麼，數學的所有結論都是命題。進一步，所謂有邏輯的推理，是指所要判斷的命題之間具有某種傳遞性，更形象地說，就是有一條主線能把這些命題串聯起來。據此，「凡人都有死，蘇格拉底是人，所以蘇格拉底有死」，這樣的推斷是有邏輯的;「蘇格拉底是人蘇格拉底有死，柏拉圖是人柏拉圖有死，所以凡人都有死」，這樣的推理也是有邏輯的;但是，「蘋果是酸的，酸的是一種味道，所以蘋果是一種味道」，這樣的推理是沒有邏輯的。基於上面的述說，本質上只有兩種形式的邏輯推理，一種是歸納推理，一種是演繹推理。

歸納推理

歸納推理是命題的適用範圍由小到大的推理，是一種從特殊到一般的推理，比如上述第二個推理。通過歸納推理得到的結論是或然成立的。

歸納推理包括不完全歸納法、類比法、簡單枚舉法、數據分析等。人們藉助歸納推理，從經驗過的東西出發推斷未曾經驗過的東西，因此，除去通過計算得到的結果之外，數學的結論都是通過歸納推理得到的。也就是說，數學的結果是「看」出來的，而不是「證」出來的，雖然看出的數學結果不一定正確，但指引了數學研究的方向。

演繹推理

演繹推理是命題的適用範圍由大到小的推理，是一種從一般到特殊的推理， 比如上述第一個推理。 通過演繹推理得到的結論是必然成立的。

演繹推理包括三段論、反證法、數學歸納法、演算法邏輯等。人們藉助演繹推理，按照假設前提和規定的法則驗證那些通過歸納推理得到的結論，這便是數學的「證明」。通過證明能夠驗證結論的正確性，但不能使命題的內涵得到擴張。也就是說，演繹推理能保證論述的結論與論述的前提一樣可靠，但不能增添新的東西。

小結

數學之所以具有類似真理那樣的合理性，或者說，數學之所以具有嚴謹性，正是因為數學的結論從產生到驗證的整個過程，都嚴格地遵循了上述兩種形式的邏輯推理。但是，在我們現行的數學教學中，過分強調了演繹推理而忽略了歸納推理，過分強調了命題的證明而忽略了命題的提出以及對命題的直觀理解。我們不能不思考這樣的問題，無論是大學的數學教育，還是中小學的數學教育，是不是都應當創造出一些問題的情境，讓學生自己發現些對於他們而言是新的數學結論呢？

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模型

數學模型與人們通常所說的數學應用是有所區別的:數學應用涉及的範圍相當寬泛，可以泛指應用數學的方法解決實際問題的所有事情;數學模型更側重用數學創造出來的概念、原理和方法，描述現實世界中的那些規律性的東西。通俗地說，數學模型是用數學的語言講述現實世界中與數量、圖形有關的故事。數學模型使數學走出了自我封閉的世界，構建了數學與現實世界的橋樑。關於這一點，伽利略的經驗之談是最好的詮釋:

哲學被寫在展現於我們眼前的偉大之書上，這裡我指的是宇宙。但是如果我們不首先學會用來書寫它的語言和符號，我們就無法理解它。這本書是以數學語言寫的，它的符號就是三角形、圓和其他幾何圖形，沒有這些符號的幫助，我們簡直無法理解它的片言隻語;沒有這些符號，我們只能在黑暗的迷宮中徒勞地摸索。

因此，數學模型的出發點往往不是數學，而是將要講述的現實世界中的那些故事;數學模型的研究手法也不是單向的，需要從數學和現實這兩個出發點開始，這就像建築橋樑一樣， 在建築之前必須清楚要把橋樑建築在哪裡，要在此岸和彼岸同時設計橋墩的具體位置。構建數學模型的大體流程是:從兩個出發點開始，規劃研究路徑、確立描述用語、驗證研究結果、解釋結果含義，從而得到與現實世界相容的、可以用來描述現實世界的數學表達。

在現實世界中，放之四海而皆準的東西是不存在的，因此，一個數學模型必然有其適用範圍，這個適用範圍通常表現於模型的假設前提、模型的初始值以及對模型中參數的限制。在這個意義上，所有數學的形式，諸如函數、方程等，本身都不是數學模型，而是可以用來構建模型的數學語言。

因為數學模型具有數學和現實這兩個出發點，因此，數學模型就不完全屬於數學。事實上，大多數應用性很強的數學模型的命名，都依賴於所描述的學科背景。比如，生物學中的種群增長模型、基因複製模型等;醫藥學中的專家診斷模型、疾病靶向模型等;氣象學中的大氣環流模型、中長期預報模型等;地質學中的板塊構造模型、地下水模型等;經濟學中的股票行生模型、組合投資模型等;管理學中投人產出快人力資源模型等;社會學中人口發展模型、信息傳播模型等。在物理子和化學中，各類數學模型更是不勝枚舉。

小結

數學模型描述的是現實世界的故事，因此，數學模型不僅研究的出發點不是數學本身，就連價值取向也不是數學本身，而是描述現現實世界的作用。針對每一個具體的學科， 強調的是描述那個學科規律性問題的作用，比如，那些獲得諾貝爾經濟學獎的數學模型，人們關注的並不是模型的數學價值，而關注的是模型是否能夠很好地描述經濟學中的某些規律。

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總結

人們普遍認為，數學具有三個顯著特徵:一般性、嚴謹性和應用的廣泛性。事實上，這三個顯著特徵的形成，依賴於數學的基本思想。

抽象出來的東西必然要脫離具體的表象，因此數學是一般的，特別是經過了第二次抽象，數學的表達實現了符號化，走向了一般化的極致;數學的推理是有邏輯的，通過歸納推理預測結論、通過演繹推理驗證結論，因此數學是嚴謹的，特別是近代數學的證明過程實現了公理體系下的形式化，使得數學的嚴謹走向極致;模型思想的本質是站在現實的立場上，思考現實世界中規律性的問題，用數學的語言講述現實世界的故事，用現實的效果評價模型的功效，這樣的應用是與現實世界融合的，因此，數學的應用是廣泛的。

毋庸置疑，數學的嚴謹性是極為重要的，嚴謹性也是人們對數學的一種普遍認識。 在現今的數學教育中，人們認真地遵循著這個原則。可是，數學為什麼需要嚴謹性呢?嚴謹性對數學發展的作用是什麼呢?關於這個問題，阿蒂亞有一段精彩的描述:

現在你可能會問:什麼是嚴格性?一些人把「嚴格」定義"rigormortis" (僵化)， 相信伴隨純粹數學而來的，是對那些知道如何得到正確答案的人的活動的抑制。我想，我們必須再次記住數學是人類的一種活動。我們的目標不僅是要發現些什麼，而且要把信息傳下去。……嚴格的數學論證的作用正在於使得本來是主觀的、極度依賴個人直覺的事物，變得具有客觀性並能夠加以傳遞。我完全不想拒絕直覺帶來的好處，只是強調為了能向他人傳播，所獲得的發現最終應以如下方式表述:清晰明確，毫不含糊，能被並無開創者那種洞察力的人所理解。......一旦你進入研究的下一階段，對已得到的結構開始提出更複雜、更精細的問題時，對最初的基礎性工作的深入理解就會變得越來越重要。所以，正是你所從事的研究本身，需要嚴格的論證，如果缺乏牢固的基礎，你修建的整座建築將岌岌可危。

正如前面討論的那樣，數學結論的發現，依賴的並不是一般性，也不是嚴謹性，而依賴的是主觀的個人直覺。只是為了便於他人的理解、便於交流、便於研究的深人，數學的嚴謹性才變得異常重要。因此，在數學教育的過程中，應當注重嚴謹性。但是，我們也應當看到，因為嚴謹性的功能不在於發現知識，而在於解釋知識，因此嚴謹性僅僅是數學思維的一個特徵，而不是數學思維的本質。那麼，在數學教育中，比嚴謹性更為重要的是什麼呢?

二、在數學教育中體現數學基本思想

任何一件事情，一旦走到了極致就會出現異化，這便是孔子所說的「過猶不及」。數學的嚴謹性也是如此。在數學教育的過程中，如果過分強調數學的嚴謹性，數學的概念就會被表示成為一堆符號，數學的推理就會被表現為一種形式，正如羅素在《西方哲學史》中所說的那樣：

我應當同意柏拉圖的說法，純粹數學並不是從知覺得來的。純粹數學包含都是類似「人是人」這樣的同義反覆，只不過是更為複雜罷了。要知道， 判斷一個數學命題是否正確，我們並不需要研究世界，而只需要研究符號的意義;而符號，當我們省略了定義之後，只不過是「或者」「不是」「一切」和「某些」之類的話語，並不指向現實世界中的任何事物。

羅素是哲學家，是數學邏輯主義學派的代表。在羅米的眼中，數學的命題或者數學的結論，就是用一些表示關係的邏輯術語把表示概念的名詞連接在起。如果不顧及概念的實際含義，那麼，數學最終就如羅素評述的那樣:

數學的真理，正如柏拉圖所說，與知覺無關，這是一種非常奇特的真理，僅僅涉及符號。

羅素把數學的邏輯推到了極致，因此，不能也不應當用羅素的觀點實施數學教育。雖然在現代數學中，結論的最終表述僅僅涉及符號和邏輯術語，平淡乏味，但在事實上，大多數數學結論的內涵是豐富多彩的，結論的形成過程是生機勃勃的。比如，在數量與數量關係的研究中，最具創造力的數學工具微積分的產生與發展;在圖形與圖形關係的研究中，最具想像力的數學表達黎曼幾何的產生與發展。所以，在數學教育的過程中，不能過分沉迷於符號和邏輯術語，過分拘泥於數學的嚴謹性。完全基於符號化、形式化和公理化的數學教學，必然會掩蓋數學命題的本質，淡化數學思維的活力，進而忘卻了人的原本直覺。一個好的數學教育，不能讓學生僅僅在形式上記住數學概念、在邏輯上理解數學道理、在技巧上會解數學習題。關於這一點，柯朗在《什麼是數學》的序言中有過明確評述:

今天，數學教育的傳統地位陷入了嚴重的危機之中，而且遺感的是，數學工作者要對此負一定的責任。數學教學有時竟變成空洞的解題訓練。這種訓練雖然可以提高形式推導的能力，但不能導致真正的理解與深入的獨立的思考。在這裡，柯朗強調了真正的理解與深人的獨立思考。事實上，過分沉迷於符號和邏輯術語，不僅妨礙了真正的理解與深人的獨立思考，也不可能獲取真正的知識，正如愛因斯坦所說:

純粹的邏輯思維不能給我們任何關於經驗世界的知識;一切關於實在的知識，都是從經驗開始，又終結於經驗。用純粹邏輯方法得到的所有命題，對於實在來說是完全空洞的。由於伽利略看到了這一點，尤其是由於他向科學界諄諄不倦地教導這一點，他才成為近代物理學之父，事實上，也成為整個近代科學之父。

那麼，什麼樣的數學教育才有利於真正理解、有利於獨立思考、有利於獲取真正的知識呢?這就是突出數學基本思想的數學教育，其理由至少體現在數學內部和數學外部兩個方面。

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體現在數學教育內部

數學既然是一種同經驗無關的人類思維的產物，它怎麼能夠這樣美妙地適合實在客體呢?那麼，是不是不要經驗而只靠思維，人類的理性就能夠推測到實在事物的性質呢?

照我的見解，問題的答案扼要說來是:只要數學的命題是涉及實在的，它們就是不可靠的:只要它們是可靠的，它們就不涉及實在。我覺得，只有通過那個在數學中叫作「公理學」的趨向，這種情況的完全明晰性才成為公共財產。公理學所取得的進步，在於把邏輯形式同它的客觀的、或者直覺的內容截然劃分開來;依照公理，只有邏輯形式才構成數學的題材，而不涉及直覺的、或者別的與邏輯形式有關的內容。

另一方面也是確定無疑的，一般來說，數學，特別是幾何學，它之所以存在，是由於需要了解實在客體行為的某些方面。......而僅有公理學的幾何概念體系，顯然不能對實在客體的行為作出任何斷言。為了能夠作出這種斷言，幾何學必須去掉單純的邏輯形式的特徵，應當把經驗的實在客體同公理學的幾何概念的空架子對應起來。

由此可見，雖然為了數學的嚴謹性，現代數學逐漸走向了符號化、形式化和公理化，但數學的教學過程卻應當反其道而行之:雖然概念的表達是符號的，但對概念的認識應當是有具體背景的;雖然證明的過程是形式的，但對證明的理解應當是直觀的;雖然邏輯的基礎是基於公理的，但思維的過程應當是歸納的。為此，在數學教育的過程中，把握數學基本思想是極為重要的，因為無論是情境的創設，還是問題的提出、思維的引導，都應當源於數學的本質，這個本質就是數學基本思想。

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體現在數學教育外部

基礎教育階段的數學教育必須重視這樣-一個基本事實，就是學生中的大多數，將來所從事的工作很可能不需要研究數學，因此，這些學生從事工作後，會把辛辛苦苦記住的那些數學概念、證明方法以及解題技能逐漸忘掉。這個現實，給基礎教育階段的數學教育提出了一個非常本質的問題:是否應當在知識和技能的基礎上，還能讓學生感悟一些東西、 積累一些經驗，讓學生終生受益呢?正是為了這個目的，我在《義務教育數學課程標準(2011 年版)解讀》的緒論中寫道:

與教學大綱相比，課程標準更加重視學生能力的培養和素養的提高。《標準(2011 年版)》的培養目標在原有「雙基」的基礎上，進一步明確提出了「基本思想」和「基本活動經驗」的要求，這樣就把「雙基」擴展為「四基」。希望學生在義務教育階段的數學學習中，除了獲得必要的數學知識和技能之外，還能感悟數學的基本思想，積累數學思維活動和實踐活動的經驗。

思想的感悟和經驗的積累是一種隱性的東西，但恰恰就是這種隱性的東西在很大程度上影響人的思想方法，因此，對學生，特別是對那些未來不從事數學工作的學生的重要性是不言而喻的，這是學生數學素養的集中體現，也是「育人為本」教育理念在數學學科的具體體現。

顯然，思想的感悟和經驗的積累僅僅依賴教師的講授是不行的，更主要的是依賴學生親自參與其中的數學活動，依賴學生的獨立思考，這是一種過程的教育。

依據上面的說法，對於數學教育，「過程教育」所說的「過程」不是數學知識產生的過程，也不是數學家所描述的數學思維過程，而見學生自己理解數學的思維過程。一個人會想問題，不是學習的結果，而是經驗的積累，是學生在獨立思考的過程中逐漸形成的思維習慣。因此在基礎教育階段，一個好的數學教育，應當更多地傾向於培養學生數學思維的習慣，像我們在前面談到過的那樣:會在錯綜複雜的事物中把握本質，進而抽象能力強;會在雜亂無章的事物中理清頭緒，進而推理能力強;會在千頭萬緒的事物中發現規律，進而建模能力強。這些，恰恰是數學基本思想的核心。

傳播數學，普及大眾

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