小人物解決四大數學問題：記傳奇華人數學家李天岩

撰文 | 丁玖（南密西西比大學數學系教授）

責編 | 黃俊如

這個月是華人數學家李天岩的74周歲華誕，也是他自密歇根州立大學以 「全校級傑出教授」(University Distinguished Professor) 身份正式退休後所度的第一個生日。2005年，為了慶祝他的60周歲生日，他的母校台灣新竹的清華大學舉辦了 「數值分析與動力系統國際研討會」。那年也是愛因斯坦 「奇蹟年」 的100年紀念。研討會上，李天岩的博士論文導師、馬里蘭大學的 「傑出全校級數學與物理研究教授」 (Distinguished University Research Professor of Mathematics and Physics) 約克 (James Yorke) 的開場白引人入勝：「一百年前，愛因斯坦發表了劃時代的四篇論文。而三十年前，李天岩完成了三個傑出的工作；它們分別是：混沌概念、烏拉姆猜想、同倫演算法。」

李天岩教授。 圖片來源：University of Silesia

約克如此絕妙的比較，正是對他的傑出弟子三十歲前三大學術成就的巧妙概括。其實，那天凌晨剛從美國飛到台北的約克，疲倦得一時想不出弟子第四篇重要論文的名字，好與愛因斯坦的那四篇一一對應，只好以三篇 「湊數」。事後他馬上把李天岩拉到一邊詢問，方知那篇大作是關於抽象空間的柯西問題。李天岩1975年給出的巴拿赫空間微分方程初值問題解之存在的條件迄今無人能夠改進。

李天岩祖籍湖南，1945年6月出生於福建省沙縣。父親李鼎勛早年留學日本，在東京帝國大學醫學院獲得醫學博士，1934年回國任教湖南湘雅醫學院，1939年起任福建省省立醫院院長。李天岩三歲時隨父母及全家定居台灣，在那裡接受教育直至大學畢業。1969年，他赴美國馬里蘭大學數學系攻讀，1974年獲博士學位，其論文指導老師就是約克。

李天岩1976年起在密歇根州立大學數學系任教，1983年晉陞為正教授，直至去年退休。1998年起，他被賦予 「全校級傑出教授」 頭銜。1995年他榮獲美國著名的古根海姆(Guggenheim) 獎，2012年被台灣新竹清華大學頒發傑出校友獎。

李天岩在應用數學與計算數學幾個領域中作出了開創性的工作，成就非凡。他與約克在數學中第一次引人了「混沌」的概念；他對 「烏拉姆 (Stanislaw Ulam) 猜想」 的證明是動力系統不變測度計算理論與演算法研究之奠基性工作；他與凱洛格 (R. B. Kellogg) 及約克關於計算布勞威爾(L. E. Brouwer) 不動點的思想和數值方法，開闢了現代同倫延拓演算法研究的新天地；他和他的合作者及學生們關於代數特徵值問題以及一般多變數多項式系統的同倫方法之廣泛和深入研究，幾十年來為他贏得此領域世界領袖人物之一的稱號。

《周期三則意味著混沌》

美國普林斯頓高等研究院的戴森 (Freeman Dyson) 教授曾在他的著名文章《鳥與蛙》(Birds and Frogs) 中寫道：「在混沌領域裡，我僅知道一條有嚴格證明的定理，是由李天岩和約克在發表於1975年、名為《周期三則意味著混沌》的一篇短文中證明的。李-約克論文是數學文獻中不朽的珍品之一。」 這是一位傑出的數學物理學家對一篇僅僅8頁長數學論文的極高評價。

在自然科學領域，混沌現象的發現與相對論、量子力學一起被許多科學家譽為二十世紀物理學的三大發現。約克對「混沌」概念有過形象的說明：「生命中充滿著小改變導致大變化的情形。例如說車禍，假如人們早個或晚個十秒鐘出門，或許就可避免一場車禍。所以小小的改變可以導致很大的變化。」 這也是中國成語 「差之毫厘謬以千里」 之奧秘所在。

現今世界上稍微對動力系統有一點了解的人，幾乎無人不知李天岩和約克的上述論文，它首創了 「混沌」 的數學定義，開拓了整個數學界、科學界對混沌動力系統理論和應用研究的新紀元。

1975年12月《美國數學月刊》封面，第三篇為李天岩和約克合作的《周期三則意味著混沌》。

1973年3月的一天下午，不知何故心情有點不爽的李天岩來到約克教授的辦公室時，約克不理會他的「不爽」，馬上對他說，「I have a good idea for you!」 這個想法已在約克頭腦中直觀地凸現，但他未能予以證明。那時李天岩正在做微分方程方面的研究，以為他所謂的 「good idea」 是關於那方面的 「高深想法」，就半開玩笑地打趣道：「Is your idea good enough for the Monthly?」 「Monthly」 指的就是《美國數學月刊》( American Mathematical Monthly )這個一般學生都能看懂的淺近雜誌。然而，當李天岩得知這個 「idea」 之後，馬上感慨地說，「It would be a perfect work for the Monthly!」——因為它所牽涉的語言非常基本。

兩周後，運用自己得心應手的微積分技巧——巧妙不斷地運用微分學中關於連續函數的「介值定理」，李天岩完全證明了這個後來出了名的李-約克定理：

若實數軸一區間到其自身的連續函數f有一個周期為三的點，即存在三個互不相等的數a、b、c，使得函數 f在 a的值為 b，在b的值為c，在c的值為a，則對任意正整數n，函數f有一周期為n的點，即從該點起函數f迭代n次後又第一次返回到該點。更進一步，對「不可數」個的初始點，函數從這些點出發的「迭代點數列」之最終走向將是雜亂無章的，無規律可循。

帽子函數的周期三軌道

當文章寫好後，儘管李天岩心裡想到的是投給令人尊敬的高等研究雜誌，比如說今日中國數學界最推崇的 「四大期刊」——美國的《數學年刊》、《美國數學會雜誌》、瑞典的《數學學報》及德國的《數學發明》，卻按照約克的堅持，把文章寄給了全世界讀者人數最多的數學期刊——《美國數學月刊》。但不久文章被退回，理由是該文研究性過強，不太適合期刊所重點面向的大學生讀者群。但編輯同意，若作者能改寫文章到一般學生都能看懂的地步，可以重新投稿。但是當時李天岩忙於博士論文研究，沒功夫改它，這篇文章就這樣被束之高閣將近一年。

1974年5月，馬里蘭大學數學系請來了普林斯頓大學生物學教授羅伯特·梅 (Robert M. May)演講一周。在最後一天的演講中，梅教授講了邏輯斯蒂模型rx(1-x)的迭代：當參數r從小到大變化時其迭代點序列之性態將變得愈來愈複雜。他十分困惑於對這一現象的解釋，想著也許只是計算上的誤差所造成的吧。約克聽完梅的演講後，在送他上飛機時，把李天岩桌上躺了將近一年的那篇關於李-約克定理的文章給他看。梅看了文章的結果之後，極為吃驚，並認定此定理大大解釋了他的疑問。約克從機場回來後立即找到李天岩說，「我們應該馬上改寫這篇文章。」 文章在兩個星期內改寫完畢，三個月後被《美國數學月刊》接受，並刊登在1975年12月份的那一期上。

1985年夏，李天岩第一次來祖國大陸學術訪問，南至中山大學、北至吉林大學，東到杭州、西臨西安，中達北京中科院理論物理研究所，馬不停蹄地講解 「混沌」 與 「同倫」。我那時剛獲碩士學位不久，留校教書，由系領導特批，飛往他講學第一站廣州，首次聆聽他極富魅力的講座。在中國的演講中，李-約克論文的題目 「Period Three Implies Chaos」 被他形象地翻譯成 「周期三則亂七八糟」。這篇令他一舉成名、篇幅不長的論文，第一次在數學上嚴格地引入了 「混沌」 的概念。儘管早在1964年，蘇聯數學家沙可夫斯基（A. N. Sharkovsky）證明了較李-約克定理第一部分更為一般的結果，但只有李-約克定理之第二部分才深刻地揭示了混沌現象的本質特徵：混沌動力系統關於初始條件的敏感性以及由此產生的解的最終性態的不可預測性。

根據統計，該文可能是數學界及物理學界被引述次數最多的當代重要論文之一，已被引用了超過4500次。《周期三則意味著混沌》這篇備受戴森教授青睞的數學短文，是從「混沌之祖」龐加萊開始的「百年混沌思想進化史」中的幾大里程碑工作之一。對這一歷史想進一步了解的讀者，可讀美國著名科普作家 James Gleick 的英文名著Chaos: A New Science或中文拙作《智者的困惑：混沌分形漫談》。

烏拉姆猜想

概率的問題到處可見。波蘭科學院院士洛速達（Andrzej Lasota）這樣講概率：「當你準備離開一間屋子時，出門的時間有可能前後相差一分鐘。隨著時間的推移，又有不同的概率及可能發生的事要去考慮：比如，有百分之十的可能，你會發生車禍，而被送往醫院；或許，有百分之十的機會，你會遇見從未謀面的漂亮女子，而深深為之傾倒，一切皆是偶然。所以事情會演變得愈來愈複雜，所有的事都牽涉到概率。」故有人曾經略微誇張地宣稱：數學是概率的一部分。

遍歷理論是研究確定性動力系統諸多概率統計性質的一門數學分支，是集測度論、泛函分析、拓撲學、近世代數等於一身的綜合性學科，在物理和工程中應用廣泛，如統計物理、電子線路、藥物設計和無線通訊。遍歷理論的一個重要論題是關於非線性映射的絕對連續不變測度的存在及計算問題。這一問題又歸結為相應的 Frobenius-Perron 運算元的不變密度函數的存在性與計算問題。對於混沌動力系統，這樣的不變測度給出了迭代點的混沌軌道在其相空間中的統計分布。

1960年，被譽為美國 「氫彈之父」 的傑出波蘭裔數學家烏拉姆在其名著《數學問題集》(A Collection of Mathematical Problems) 中對於計算將單位區間[0, 1]映到自身的非線性映射S所對應的 Frobenius-Perron 運算元的不變密度函數提出了一種數值方法。他將區間[0, 1]劃分為n個子區間，然後他定義了一個n行n列的矩陣。這個矩陣的每個元素都是位於0與1之間的數。事實上，該矩陣位於第i行第j列相交處的那個數就是第i個子區間中被S映到第j個子區間中的那些點的比例。計算這個非負矩陣的關於特徵值1的一個非負左特徵向量並將其規範化，就可得到對應於 [0, 1] 區間如上劃分的一個逐片常數密度函數。此密度函數可看成 Frobenius-Perron 運算元的近似不變密度函數。對於這一基於概率想法的數值方法的收斂性，烏拉姆提出了計算遍歷理論中著名的猜想：當子區間總數n趨向於無窮大時，這些近似不變密度函數將收斂於 Frobenius-Perron 運算元的一個不變密度函數。

1973年，洛速達與約克在現已成為研究 Frobenius-Perron 運算元不變密度函數存在性問題的一篇經典論文中，解決了烏拉姆在其《數學問題集》中提出的一個問題：若S為一個足夠 「簡單」 的映射 (例如逐片線性映射或多項式映射)，其導數絕對值不小於1，將一區間映到自身，則對應的 Frobenius-Perron 運算元是否存在不變密度函數？事實上，他們證明了如下的「存在性定理」：若區間映射S為一逐片二次連續可微映射，且其導數絕對值在該區間上都不小於一大於1的常數，則對應的 Frobenius-Perron 運算元存在不變密度函數。這個定理證明的關鍵是用到約克發現的關於有界變差函數與其在某一子區間上的限制之變差之間關係的一個不等式。

當李天岩讀到上述的洛速達-約克定理的證明時，就想構造計算 Frobenius-Perron 運算元不變密度函數的數值方法，卻全然不知烏拉姆十餘年前提出的上述方法。首先他定義了對應於區間 [0, 1] 劃分為n個子區間的有窮維離散運算元。它將每一個可積函數映成在每一子區間上取值為該函數在這一子區間上的平均值的一個逐片常數函數。若將這一運算元與 Frobenius-Perron運算元複合起來，則該複合運算元限制在逐片常數函數全體所組成的子空間上的一個矩陣表示恰為烏拉姆方法中定義的那個非負矩陣。運用下一節所述的布勞威爾不動點定理，李天岩直接證明對每一個自然數n，複合運算元有一不變密度函數。藉助於洛速達-約克不等式與赫利引理，他證明了這個逐片常數逼近法對於洛速達-約克區間映射族的收斂性。

恰在李天岩將這一開創性工作整理成文之際，他才知道他所構造的方法就是 「烏拉姆方法」，他所證明的一切就是對 「烏拉姆猜想」 的一個解答！自然，文章的題目也相應修改，「烏拉姆猜想」 的說法第一次出現在數學文獻當中。多年後李天岩對我坦言：「如果我早知這是與馮·諾依曼 (John von Neumann) 齊名的大人物烏拉姆提出的問題，大概嚇得不敢去碰。」可是，正如本文後面所轉述的，「一個問題，大人物解決不了，並不表示小人物也解決不了。」

李天岩這篇發表於1976年美國《逼近論雜誌》( Journal of Approximation Theory )，題為 「Frobenius-Perron運算元的有限逼近——烏拉姆猜想的一個解答」 的論文讓1960年誕生的烏拉姆方法「聲名鵲起」。四十多年來，不變測度的計算已成為遍歷理論和非線性分析中的一個活躍分支。在幾乎所有關於應用烏拉姆方法及其推廣計算不變測度的文獻中，這篇論文成了必不可少的被引用經典之一。

現代同倫延拓法

學過代數拓撲或非線性泛函分析的人都知道有名的布勞威爾不動點定理：n維閉球到此自身的光滑映射必有不動點。此定理的一個漂亮證明是用反證法。若無不動點，則可定義一新的光滑映射，它把閉球上任一點映到由該點在前一映射下的像到該點的線段延長到與球面之交點。易知球面上每一點在這新映射下保持不變。這樣我們得到一個由閉球到其邊界上且在邊界上為恆同映射的光滑映射。而微分拓撲學告訴我們，這是不可能的，因為球面上幾乎處處的任一點在該映射下的逆像所構成的光滑曲線無處可跑。

1973年，李天岩在旁聽美國馬里蘭大學數學教授凱洛格的研究生課程 「非線性方程組數值解」 時，聽到布勞威爾不動點定理的如上證明，它屬於美國微分拓撲學家赫希 (Morris W. Hirsch)發表於1963年的一篇文章。這時，一個奇妙的想法在他腦海中湧現：既然在赫希的證明中若假設閉球映射無不動點時，則對如上定義的 「射線球面交點映射」，球面上隨機所取的一點在該映射下的逆像這條光滑曲線無處可跑，則它必然跑到原先映射的不動點集合中去。更精確地說，若令F為n維閉球到此自身的光滑映射的所有不動點組成的非空集合，則利用如上反證法的思想，我們就有將F在閉球中的補集映到球面如上定義的光滑映射。由微分拓撲的沙德(Arthur Sard) 引理可知，幾乎所有的球面上的點都是該映射的 「正則值」，因而這些點在映射下的逆像為起始於該點的一條光滑曲線。這條曲線的另一端不能再回到球面上，也不能在映射的定義域中停止，故必定趨向於原先映射的不動點集合F。如果能數值跟隨這條曲線，就能計算出閉球映射的一個不動點。在凱洛格和約克兩位教授的鼓勵下，李天岩開始了這一卓越思想的數值實現。

在接下來的兩個月時間內，他幾乎每天都與學校計算中心那台只能用卡片輸入的計算機打交道，但總是無功而返，計算機吐出的厚厚一疊紙預示著程序的失敗。但李天岩契而不舍地修改程序。改錯、輸入、再改錯、再輸入，從一個實際計算的門外漢逐步登堂入室。直到有一天，他驚喜地發現計算機僅僅輸出一張列印紙，上面正是成功計算出的布勞威爾不動點！他成功了！一個全新的布勞威爾不動點演算法誕生了。

有趣的是，凱洛格-李-約克關於布勞威爾不動點的計算，並非是歷史上的首次嘗試。儘管他們當時不知道，早在1967年，美國耶魯大學經濟學教授斯卡夫 (H. Scarf) 在研究數量經濟學時，將求解一個經濟模型的均衡點問題歸結為求解定義在n維標準單純形上的一個連續映射f的不動點問題。根據布勞威爾不動點定理，這樣的不動點存在。斯卡夫採用了所謂的單純三角剖分方法，運用組合數學中的斯泊納 (E. Sperner) 引理，跟隨一條折線來近似f的不動點，從而設計了一種單純剖分不動點演算法。在七十年代，此演算法被推廣成求解非線性方程組的單純不動點演算法，成了熱極一時的研究領域。

1974年，將在美國克萊姆森大學舉行的第一屆國際不動點演算法大會組委會獲悉凱洛格-李-約克的新方法時，提供了兩張飛機票讓他們赴會報告這一結果。正如斯卡夫在其會議論文集《不動點演算法及其應用》序言中所述：「對我們眾多與會者而言，克萊姆森會議之令人驚奇之處在於凱洛格-李-約克關於計算連續映射不動點的文章。他們提出了第一個基於微分拓撲思想——而不是我們習以為常的組合技巧——的計算方法。」

雖然單純不動點演算法的研究目前已經冷卻，以凱洛格-李-約克方法為 「初始點」 的現代同倫延拓法研究依然方興未艾，在不同的領域生根發芽。李天岩與凱洛格及約克一道是目前世界上被公認為非線性方程現代同倫法數值計算的創始人，並且對此重要的領域作出了巨大的貢獻。

「同倫」 的思想在現代數學中到處有用。自七十年代提出計算布勞威爾不動點基於純粹數學分支微分拓撲理論的現代同倫方法後至今，李天岩一直在求解一般多變數多項式系統同倫演算法這一疆場遼闊的領域辛勤地耕耘著。

求解多變數多項式方程組是經常出現在應用科學中的問題，譬如說電路分配問題、機械手問題等等。同時這種問題也出現在混沌理論的研究中，如 「混沌之父」 洛倫茨 (Edward Lorenz)研究的具有混沌現象的四維常微分方程組的定常狀態事實上是其右端多項式方程組的解。它的重要性從李天岩在一次學術演講中所說的一句話可見：「多項式方程組求解不光現在要用，兩百年以後還是要用！」幾十年來，李天岩和他的弟子及合作者們在這一領域已取得一系列令人矚目的成果，他2003年應邀在《數值分析手冊》第十一卷上發表了長篇綜述性論文《求解多項式方程組的同倫延拓法》。在多項式方程組數值解領域，李天岩無愧於其領軍人之一之稱號。

逆境拼搏

我們熟悉的大部分學術界華人明星，多數人事業與身體 「相得益彰」，如精神煥發的楊振寧和健壯如牛的丘成桐。但是，李天岩卻是大大的例外，這就是他「傳奇」的一部分——他四十五年來在學術界的卓越貢獻，是在與身體上幾乎無時無刻不受到的病痛作頑強搏鬥中取得的。

李天岩在台灣清華大學讀本科時，綽號是「棍子」，除了學業成績名列前茅外，在體育運動上也是一流的，曾任校籃球隊隊長和校足球隊隊員。但當他1969年赴美國馬里蘭大學攻讀博士學位的第二年開始，就感到腎臟逐漸不好，但他依然異常用功，至1974年完成了八篇學術論文並取得博士學位。畢業後僅僅六個星期，發現血壓竟高達220/160毫柱。他於1976年5月4日起開始了長達五年半辛苦的洗腎過程，每周三次，每次五個小時，還不包括醫院往返時間。當時他的研究工作大半是在病榻上完成的。

1980年1月29日，李天岩首次接受換腎手術，然而因排斥效應，不久以失敗告終。1981年7月15日他成功地接受了妹妹的一個腎臟移植，在這之後的三年內，他的身體逐漸適應，康復不少。然而好景不長，1984年2月21日，他又遭遇中風，右半身全部麻痹，並於4月26日做了腦血管動脈瘤的大手術。在之後的七、八年，他的身體還算平靜，雖無大手術，但局部麻醉的小手術卻仍然不斷。然而，李天岩趁此機會抓緊時機，在此數年內發展了同倫延拓求解矩陣特徵值問題和多項式方程組的重要理論及方法，並培養了一批從中國大陸直接招來的博士研究生，我是其中之一。除此之外，在此期間他除了幾乎每年回台灣給予重要的系列演講，更於1985年6月至7月首度訪問了祖國大陸十餘所大學與中科院研究所，給出了若干關於混沌動力系統、同倫演算法等專題演講，並開始挑選接受大陸研究生，對於將數學根植於國內及提攜後進不遺餘力。

那些年，李天岩所遭受的病魔打擊和他取得的學術成就都是令人吃驚的新聞，幾乎是難以置信的「相反相成」。他曾經告訴我，這段時間他的大部分論文 「是在病榻上完成的」。

1993年1月，李天岩在密歇根州立大學教書時，身體突然感到不適而昏倒送醫，經醫生診斷為腦動脈血管阻塞。其後，他以極其堅韌的毅力與無比的信念戰勝了疾病。然而，從1992年起他就開始感到腿痛，看遍了無數的中醫西醫，都沒有辦法找出病因。後來才知道是背脊椎骨關節炎所引起，最後終於在1995年5月30日動了一次大手術將發炎的部位割掉。在之後的五、六年間，他的身體狀況基本平靜。然而2000年5月，他又做了一次背脊椎骨的手術。3年後，他再次病倒，醫生運用剛剛問世不久的最新醫療技術為他的心臟動脈血管安裝了八個支架。後來有許多年他一直勤於運動保養身體，每天要游泳一千公尺或步行二英里，身體狀況比以前明顯好轉許多。但由於他全身是病，遍體是傷，一不小心，傷病便會「捲土重來」。例子之一是2010年6月他在杭州開會期間，晚間在西湖邊意外跌倒，血流滿柱，在急診室縫了八針。幾天後，他雖然繃帶在身，卻仍然依約去了東北大學講學。

在過去的幾十年中，李天岩長期遭受疾病的巨大痛苦，全身麻醉的大手術已有十幾次，局部麻醉手術則不計其數，全身都是開刀的傷痕。然而他是一個在逆境中求突破，「與病斗其樂無窮」 的人，憑藉著一股堅強的毅力及終極的信念去克服一切困難，在最艱難的環境下作出了第一流的研究工作。他常對他的研究生們說，若他們在學習、研究中遇到困難，只要想到他是怎樣克服病痛的巨大困難，一切困難就容易迎刃而解了。正是因為這種超人的精神，儘管一直病痛纏身，李天岩仍然成為密歇根州立大學僅有的三位有國家科學基金會幾十年無間斷資助的學者之一。

治學之道

李天岩幾十年如一日的治學嚴謹態度也充滿魅力，對年輕人不無鞭策力量。他常認為，他的成功之道除了有像約克教授這樣的好導師引導，其不二法門無它，就是堅持。他常常對學生說，自己並不聰明，而是否聰明過人也其實並不重要，能將問題弄個水落石出才重要。他常強調，自己對問題的看法只不過是比別人多堅持了一分鐘，而那寶貴的一分鐘可能就是造就成功之路的一分鐘。一個問題，大人物解決不了，並不表示小人物也解決不了，大人物思考問題的路徑也不等於解決問題的路徑。「 憑著一股牛勁，凡事堅持到底，絕不輕言放棄」，是他叮嚀學生們的名言。

他也常說，讀書做學問一定要作徹底的理解，尤其是做數學，一知半解地記憶表面上的邏輯過程是沒有用的。他曾舉例說，一個矩陣的行秩為什麼會等於列秩呢？其實學過線性代數的大二學生都會證明。然而它實際上所代表的幾何意義是什麼？物理上的涵義又是什麼？從不同的角度來看這個問題時，你將會得到意想不到的結果。

李天岩對應用數學家和計算數學家的培養有獨特的見解。一方面他極端看重在純粹數學上下苦功，在理論分析上打下堅實的基礎。記得當年我到達密歇根州立大學第一天就聽本系的中國同學說，要成為李教授博士研究生的一個必要條件（而非充分條件）是修過或考過盧丁(W. Rudin) 的《實複分析》。另一方面，他又特彆強調學生們養成上機計算的好習慣，堅決反對 「紙上談兵」 的計算數學學習法。縱觀科學發展史，許多激動人心的偉大發現起源於計算上的 「好奇心」。十九世紀初，「數學王子」 高斯曾花費大量的時間從事數值方面的計算，如數論中的素數之分布，「最小二乘法」 的基本思路也追溯到他。上個世紀烏拉姆的 「蒙特卡洛法」、洛倫茨的 「蝴蝶效應」、梅的 「人口動力學」、李天岩的 「同倫延拓」，也無一不是 「計算好奇心」 催生的產兒。難怪約克在2005年參加完他弟子六十歲生日慶祝活動後被台灣數學界採訪時語重心長地說：「研究就是去發現叫人讚歎的想法，而動手計算則可能導致偉大發現。」

李天岩對中國教育中普遍存在的填鴨式教學深有體會，並深惡痛絕。在發表於台灣《數學傳播》雜誌上的一篇題為 「回首來時路」 的文章中，他以頗具幽默的口吻回憶起當年大學同窗們如何像少年維特煩惱於戀愛那樣對《數學分析》中 「ε-δ」 語言的煩惱——甚至有人差點留下「不想活下去」的遺書，藉以抨擊 「教科書越難越好」 的教學理念。

從左至右：約克，李天岩，本文作者丁玖。攝於2015李天岩教授70周歲時。

我曾聽他清華學弟提到他當年成績 「全班第三」，但是他「回想起來，當時實在是『一竅不通』。」到美國求學以後他才知道，數學上的邏輯推理和對數學結構性的認知有相當大的差距。他認為抽象數學的出發點多半起始於為解決實際問題所建立的數學模型，然後將解決問題的方式抽象成一般理論，以解決更普遍的同類問題。學習「高檔次」的數學理論，絕對必須從低檔次數學的理解出發，對原始概念的歷史發展和來龍去脈要有基本的認識，否則就會如墜迷霧，不知所云，只好背定義、背定理、背邏輯，應付考試。

李天岩堅決反對學生死記硬背，不求真懂。參加過他為自己學生設計的數學討論班的歷屆研究生都不會忘記他對每一個報告者的基本要求：不要光講「ε-δ」語言，那僅僅是邏輯——要講思想，要講 「basic idea」。在討論班，他要求學生在演示證明一個一般定理時，要先將具體的或特殊的情形解釋清楚，堅決反對一開始就在抽象的概念里捉迷藏。幾乎所有學生都因講得不得要領而被他「掛黑板」，但「平時多流汗，戰時少流血」的學生們後來大都成了會講課的大學教授。

李天岩堅信，若是真正了解一門學科，就會講得連高中生也能聽得懂。他用這樣的準則來訓練他的學生，也是這樣身體力行。他在世界各地應邀所做的數學演講總是從最初等的概念入手，用最直觀的觀察引導，聽眾無不被他深入淺出的生動報告所折服。1986年，當剛到美國攻讀博士學位的我在他辦公室里準備給他報告一篇著名教授的論文時，他的第一句話便是「你要把我當成笨蛋，我什麼也不知道。」當時我十分納悶，自己慕名而來求學的堂堂大教授，居然「什麼也不知道」。正因為面對的是一個「什麼也不知道」的數學家，他的弟子們學會了什麼是研究數學，什麼是講數學。

正因為李天岩獨特的研究方法和講課藝術，他是密歇根州立大學的傑出教授獎和傑出教學獎的獲得者，影響了他一批又一批的學生在研究與教學上齊頭並進。他的治學之道對一個科學工作者的成長具有典型的啟發性。

2019年6月15日星期六

完稿於美國哈蒂斯堡

喜歡這篇文章嗎？立刻分享出去讓更多人知道吧！