數學之美（12）——從洛書（三階幻方）到拉丁幻方（數獨）
洛書，古稱龜書，是陰陽五行術數之源。在古代傳說中有神龜出於洛水，其甲殼上有此圖象，結構是戴九履一，左三右七，二四為肩，六八為足，以五居中，五方白圈皆陽數，四隅黑點為陰數。
這不僅在金庸小說中也有描述，也包含了易經八卦（乾坤艮巽兌澤離震）。
洛書
洛書與後天八卦
洛書與佛教
如果將洛書中的數字按16同宗，27同道，38為朋，49為友連起來，得到佛教的卍，看下圖
佛教的卍
從數學角度來講，「洛書」是世界上最古老的一個三階幻方，它有3行3列，三橫行的三個數之和，三豎列的三個數之和，兩對角線的三個數之和都等於15．
幻方就是把一些有規律的數填在縱橫格數都相等的正方形圖內，使每一行、每一列和每一條對角線上各個數之和都相等．
羅伯法
用羅伯法構造幻方（多階） :
1 居上行正中央——數字 1 放在首行最中間的格子中
依次斜填切莫忘——向右上角斜行，依次填入數字
上出框界往下寫——如果右上方向出了上邊界，就以出框後的虛擬方格位置為基準，將數字豎直降落至底行對應的格子中
右出框時左邊放——同上，向右出了邊界，就以出框後的虛擬方格位置為基準，將數字平移至最左列對應的格子中
重複便在下格填——如果數字{n} 右上的格子已被其它數字佔領，就將{n+1} 填寫在{n}下面的格子中
右上重複一個樣——如果朝右上角出界，和"重複"的情況做同樣處理.
羅伯法三階幻方
羅伯法五階幻方
提出問題：羅伯法中的右上角能不能換成左上角呢？大家不妨一試。
有人已經發現了，這些幻方的階數都是奇數，即三、五、七等等，那麼偶數階幻方可以嗎？
第一類：雙偶階幻方，階數為4,8,12，……4m這樣的幻方
定義下互補：如果兩個數字的和，等於幻方最大數和最小數的和，即 m×m+1，稱為互補。
先填四階幻方
步驟：4×4+1=17，所以和為17的兩數互補
將數按從左到右，從上到下排列出來
第一步
然後將對角線上數字連起來，並交換位置
第二步：作互補變換
得到的就是四階幻方，當然保持對角線上數字不動，交換其它互補位置的數字一樣可以。
對角線不動，換別的數
對於n=4m階幻方，我們先把數字按順序填寫。寫好後，按4×4把它劃分成m×m個方陣。因為n是4的倍數，一定能用4×4的小方陣分割。然後把每個小方陣的對角線，象製作4階幻方的方法一樣，對角線上的數字換成互補的數字，就構成幻方。
第二類：單偶階幻方
像6,10,14,18…… 4m+2類型的幻方
這種幻方是最複雜的幻方，也有規律可循的
以n=10為例。這時，m=2
(1) 把方陣分為A，B，C，D四個象限，這樣每一個象限肯定是奇數階。用樓梯法，依次在A象限，D象限，B象限，C象限按奇數階幻方的填法填數。
第一步：分區域
第二步：按ADBC五階方法填數
(2) 在A象限的中間行、中間格開始，按自左向右的方向，標出m（10階的m=2）格，即中間格及其右邊那一格。A象限的其它行則標出最左邊的m格（即每行的前2格）。將這些格，和C象限相對位置上的數，互換位置。
(3) 在B象限任一行的中間格，自右向左，標出m-1（2-1=1）列。(註：6階幻方由於k-1=0，所以不用再作B、D象限的數據交換)，將B象限標出的這些數，和D象限相對位置上的數進行交換，就形成幻方。
標紅交換數字
交換位置即可
這樣幻方就得到了，看似複雜，掌握方法後就很簡單了~~
數獨
18世紀的歐洲，據說普魯士的腓特列大帝曾組成一支儀仗隊。儀仗隊共有36名軍官，來自6支部隊，每支部隊中，上校、中校、少校、上尉、中尉、少尉各一名。他希望這36名軍官排成6×6的方陣，方陣的每一行，每一列的6名軍官來自不同的部隊並且軍銜各不相同。後來，他去求教瑞士著名的大數學家歐拉。歐拉發現這是一個不可能完成的任務。
後來就演變為了數獨，這是一種源自於瑞士、發展於美國、日本，風靡於全球的邏輯遊戲，玩家需要根據9X9的方格中已知的數字，推理出剩餘空格的數字，並滿足每一行、每一列、每一個宮內的數字均包含1-9，九個數字且不重複。
數獨規則簡潔、玩法簡單，需要考驗玩家邏輯與推理能力。
常見的數獨有對角線數獨，殺手數獨等等。北京四中曾經一位高中生對數獨進行分難度，而被北京大學數學系提前錄取。
簡單數獨遊戲
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