文藝地解讀貝葉斯定理

科技 07-02

「

了解點條件概率和先驗概率的知識，別被小概率事情綁架了。

」

小李年方二八，身強力壯。參加單位組織的體檢時，被檢出 HIV 呈陽性。這驚雷轟得小李不省人事：自己明明生活檢點，從沒做過可能感染 HIV 的不良行為，這鬧的是哪出啊！

假設整個人群感染 HIV 的概率是0.08%。這家醫院使用的檢測方法對已經確診攜帶 HIV 病毒的病人檢測出陽性的概率是99%(true positive rate)，對沒有攜帶 HIV 病毒的人檢測呈陰性的概率是99%(true negative rate)。聰明如你，幫小李算算他確實攜帶 HIV 病毒的概率是多少？

不著急，再想 5 分鐘 ......

答案是 7.34%。

一個簡單而自然的演算法是假設總共有10000人，由於 HIV 發病率是0.08%，所以總共有8個人攜帶 HIV 病毒。由於沒有攜帶 HIV 病毒的人檢測呈陰性的概率是99%，所以這家醫院使用的檢測方法有1%的概率會導致沒有攜帶 HIV 病毒的人被檢測呈陽性，即10000人中總共會有(10000 - 8) x 1% = 99.92人實際上沒有攜帶 HIV 病毒，但檢測出了陽性。針對己確診患病的8人中，會有8 x 99% = 7.92人檢測呈陽性。所以，小李攜帶 HIV 病毒的概率是7.92 / (99.92 7.92) = 7.34%。嗯，雖如晴天驚雷，但其實概率也沒那麼高嘛，特別是小李生活檢點，不吸毒的前提下，誤診的概率極大。

wikipedia上有個專門的條目討論這種忽視基礎概率問題的頁面。

貝葉斯定理

貝葉斯定理是關於條件概率的定理，其公式如下：

P(A|B) = P(A) P(B|A) / P(B)

解釋一下公式：

P(A), P(B) 表示事件 A 和事件 B 的獨立發生概率

P(A|B) 是個條件概率，表示當事件 B 發生的情況下，事件 A 發生的概率

P(B|A) 也是個條件概率，表示當事件 A 發生的情況下，事件 B 發生的概率

我們用貝葉斯定理再算一下小李的患病概率，假設 A 表示攜帶 HIV 病毒事件，B表示檢測結果呈陽性事件，那麼我們要求解的就是在檢測結果呈陽性的情況下的真實患病概率，即P(A|B)。P(A)表示患病概率，在我們的例子里是0.08%。P(B|A)表示如果一個人己確診患病，檢測呈陽性的概率是多少，從例子里知道P(B|A) = 99%。P(B)表示隨機一個人被檢測呈陽性的概率是多少，這包括兩部分的數據，一部分是患病且被檢測呈陽性的概率，它的數值是0.08% x 99%，另一部分沒患病但被檢測呈陽性的概率，它的數值是(1 - 0.08%) x (1 - 99%)。根據貝葉斯定理：

P(A|B) = P(A) P(B|A) / P(B) = 0.08% x 99% / ((0.08% x 99%) (1 - 0.08%) x (1 - 99%)) = 7.34%

看來和我們的土辦法算出來的數值是相同的。

解讀貝葉斯定理

就象解讀這個千瘡百孔的世界一樣，很多人選擇把眼睛閉起來，選擇對它視而不見。而一些人選擇熱愛這個千瘡百孔的世界，努力前行，讓這個世界變得美好一點點。

文藝地解讀貝葉斯定理是可能的。P(A)是基礎概率，每個人剛來到這個世界上時，對這個世界的美好感受都有一個初始值，隨著他的不斷成長，碰到了事件B，而B剛好是這個世界美好的一面，比如一個學渣被女神鼓勵，然後奮發圖強，變成學霸，那麼事件B的發生無疑會增加這個人對這個世界的美好程度的感知，所以P(A|B)增加了。身體髮膚，受之父母。有些人的顏值就是比較高，高顏值的你如果是學渣的話，被女神鼓勵的概率應該也是會比較高的，不知不覺，你的先天優勢讓P(B|A)更高。

這是對貝葉斯定理最文藝的解讀，沒有之一。

然並卵。除了看完感覺有道理之外，你還是不理解貝葉斯定理定理的本質。一個事物的本質往往是樸素的，樸素到沒有女神，顏值也處在正態分布的正中間。