拉馬努金機：用演算法發現新數學

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細數人類史上最偉大的那些思想，斯里尼瓦瑟·拉馬努金（Srinivasa Ramanujan）絕對能算得上是其中一個。很多人或許從《知無涯者》這部傳記電影中獲悉了他短暫而傳奇的一生。

1887年，拉馬努金出生在一個距離馬德拉斯（現在的金奈）約400公里的小村莊里，很早的時候，他就對數學產生了濃厚的興趣。他不喜歡大多數數學家所喜歡的那種形式證明，出身貧寒而靠著自學成才的他總能提出打破傳統的數學思想。

1914年，在劍橋大學數學家哈代（G.H.Hardy）的邀請之下，拉馬努金於啟航前往英國，開始了數學史上最迷人的一段合作，兩個惺惺相惜的偉大頭腦衍生出了一系列數論領域的重要成果。拉馬努金提出過許多猜想，其中很多都被證實是正確的。除了那些實實在在的數學定理之外，他的思想也給許多後世的科學家帶去了啟示。

2.

在拉馬努金提出的定理中，經常涉及到連分數的概念，它會將一個數表示成為無限的嵌套分數和。以色列理工學院的數學家Gal Raayoni和他的同事受到拉馬努金的啟發，利用這種思路發明了一種新穎、系統的方法，並將它取名為拉馬努金機。這是一種計算機程序，它可以利用演算法推導出基本常數的新的數學公式，並揭示其基本結構。

與物理和所有其他科學中的測量不同，數學常數可以用一個恰當的公式計算到任意精度（即小數點後任意位），從而提供的是一個絕對的基本真理。從這個意義上說，數學常數包含的是無限數量的數據（例如無理數中的無限數列序列）。e和π就是兩個幾乎無處不在的基本數學常數，從抽象的數學到幾何物理，從生物到化學，到處都有他們的身影。

然而，幾個世紀以來，與基本常數有關的新的數學公式很少出現，只有非常偶爾才有零星的發現。但是利用新的演算法，拉馬努金機已經找到了幾十個表示π、e，以及黎曼ζ函數值的連分數。其中有的是之前就被數學家找到的，還有一些則是全新的。

3.

在這項研究中，Raayoni等人提出了兩種演算法，它們被證明在發現新結果方面非常有效：一種是密碼學裡的中途相遇（MITM）演算法的變體，還有一種是針對連分數遞歸結構的梯度下降（GD）演算法。這兩種演算法都是基於數值匹配，因此可以在不需要證明，也不需要具備任何數學結構的先驗知識就能找到新的猜想公式。

MITM需要生成許多的數學表達式，為有限次數的迭代計算它們的值，然後消除那些給出不準確結果的表達式。例如，e的值是以2.718開頭的小數，當試圖近似e時，任何可能產生過高或過低的值的猜想都將被排除。再計算出那些似乎可行的猜想，進行更多的迭代，以確定哪些猜測可能正確的。

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○ 新的演算法產生了許多猜想，圖中所示的兩個新的猜想。| 圖片來源：[3]

這樣的方法對沒有數學結構的基本常數格外有吸引力，因為它推翻了在形式證明中時序邏輯的傳統方法。研究人員提出了一種新的概念方法：這是一種利用數值數據揭示新的內部結構和猜想的計算機演算法，就像擁有了過去只有偉大的數學家才具有的數學直覺，為新的數學研究提供了線索。

華威大學的數學家Saul Schleimer認為，拉馬努金機就像是一個泛化的試錯過程，它可以在不知道這些猜想為什麼正確的情況下產生這些猜想，而且它也像拉馬努金一樣很喜歡連分數。不過，Schleimer表示，他認為拉馬努金機是比不上拉馬努金的，因為拉馬努金的連分數更加微妙，在某種意義上說更加成熟。所以他認為雖然這是一項很好的實驗數學，但還不能被當做是一種新的思維方式。

研究小組希望人們可以為新的猜想提交證明，他們將拉馬努金機的軟體分享在網站上供人下載使用。他們決定，一旦有誰發現了某個猜測，就會用發現者的名字為該猜想命名。

參考鏈接：

[1] https://arxiv.org/abs/1907.00205

[2] https://www.newscientist.com/article/2209213-computer-attempts-to-replicate-the-dream-like-maths-of-ramanujan/

[3] http://www.ramanujanmachine.com/

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