在數學奧林匹克的125年里，這25個逆天解法稱霸江湖！

科技 07-16

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來源：數學競賽的那些事兒

作者：小數君

ID：shuxuejingsai001

整理編輯：張佳

【新智元導讀】"做到無招勝有招，才能成為真正的高手"，而在數學競賽於江湖成立的125年里，有這樣一群高手，他們以各種獨特，具有創造性的解法在數學江湖中留下赫赫威名，解法之逆天連眾多的數學宗師都為之驚嘆和折服。更多AI話題歡迎來新智元和群查看。

1894年，位於歐洲中部的匈牙利數學物理協會通過了一個影響數學界近125年的決議，他們決定每年的10月在全國舉辦一項名為中學數學競賽的賽事，這個賽事為匈牙利造就了一大批與國土面積及人口數量極不成比例的數學大師，像被譽為匈牙利現代數學之父的費葉，航天動力學的奠基人馮·卡曼，組合學家寇尼希，哈爾測度與哈爾積分的提出者哈爾，對泛函分析有著重大貢獻的黎茨，

在匈牙利數學競賽所造就的大師們登上世界舞台之後，全世界無數國家都紛紛投去了驚奇和艷羨的目光，然後俄羅斯、保加利亞、波蘭、中國、印度、德國、英國、澳大利亞、美國等國家先後開始舉辦這一數學賽事，1934年，俄羅斯的前身蘇聯在列寧格勒大學舉辦了中學數學奧林匹克競賽，首次將數學考試與公元前776年的古希臘奧林匹克體育競賽聯繫了起來，接著一項名為國際數學奧林匹克（簡稱IMO）的賽事緩緩地在數學江湖中拉開了宏偉的故事序幕，在2018年於羅馬尼亞舉辦第59屆比賽已經有整整116個門派（國家）參與到其中，

金庸先生所著的《笑傲江湖》第十章中風清揚對令狐沖說過這樣一句話："做到無招勝有招，才能成為真正的高手"，而在數學競賽於江湖成立的125年里，有這樣一群高手，他們以各種獨特，具有創造性的解法在數學江湖中留下赫赫威名，解法之逆天連眾多的數學宗師都為之驚嘆和折服.

國際數學奧林匹克至今已經舉辦了整整59屆，

比賽在每年的7月份兩個上午舉行，每次4.5小時，各解答3道題，每道題7分，設有金銀銅獎，三個獎項的獲得者總人數不超過參賽人數的一半，比例一般為1:2:3，在59屆的歷史長河中，雖然少但每屆都有一些數學天賦十分驚艷的選手以滿分的成績坐上"武林盟主"的無上寶座，

但是這個無上寶座並不是選手最渴望的獎項，有一個十分特殊的獎項，它比滿分更難獲得，從2005年至今整整14年，無一人獲得此獎項，它名為特別獎，假如某個選手對某道試題所作的解答非常漂亮，有獨到之處，與事先擬定的標準解答更加簡潔的話，不論這名選手總分是多少，他就可以獲得特別獎，

如果說獲得滿分難如登天的話，那麼獲得特別獎就是難如逆天，

在1977年於南斯拉夫舉辦的第19屆比賽里，來自英國的John Rickard選手不僅僅以40分最高分的成績獲得金牌，並且他對越南所提供的第二題以用兩個互素的正整數p和q來代替題中的7與11，得出了最大項數為p q-2，因為這一精彩無比的解法，使得他當之無愧獲得了那年的特別獎.

1983年，在法國舉辦的第24屆比賽里，

總計有32個國家，179名數學高手參與其中，但是這些高手都活在了一名叫Bernhard Leeb德國選手所製造的恐懼之中，他不僅以滿分的成績坐上了"武林盟主"的寶座，而且對美國所提供的第六題的"逆天"解法使得他還獲得了特別獎，

他僅僅使用了一個等式就解決了當年比賽最難的第六題，他假定a是最大的邊，這時（2）式右邊的兩項都是非負的，因而（2）式左邊也是非負的，即（1）式成立，不僅如此，從（2）式還容易看出當且僅當a=b=c，即這三角形為正三角形時（1）中等號成立，

解法之簡單，讓被譽為解題大師的單墫教授在《數學競賽史話》一書中都為之驚嘆，而國內也曾有一些雜誌刊登過（1）的簡便證明，但很遺憾是錯誤的，而這也間接證明了獲得特別獎的有多麼困難，

而滿分外加特別獎也讓他成為了那年當之無愧的大魔王選手.

1986年，

在波蘭舉辦的第27屆國際數學奧林匹克上，我們首次派出了滿員的六人隊伍，來自天津南開中學的李平立、河南省實驗中學的方為民、上海大同中學的張浩、西安八十五中學的荊秦、湖北黃岡中學的林強、還有來自江蘇泰縣姜堰中學的沈建，這一年我們的表現讓所有國家都為之震驚，因為在一年之前我們的總分排名倒數第六，而在這一年裡我們取得了總分第四的奇蹟般成績，

但是這一亮眼的成績卻被來自美國的Joseph Keane選手搶了風頭，他差點成功複製了三年前Bernhard Leeb選手的"逆天之路"，他與滿分僅有一分之差，而他對那屆比賽中最難的第三題獨特解法也讓其獲得了全場唯一的特別獎，其無比驚艷的表現也蓋過我們以及三位滿分選手的風頭.

在國際數學奧林匹克的歷史長河中，

負責命題的主試委員會從來沒有辦成這樣一件事：編出一道題目，使得每名選手都束手無策，但是相反，有這樣一道題目曾讓整整49個國家領隊組成的主試委員會一籌莫展，後來不得已，只能將題目送到四位頂尖的數論專家手上，但是這四名已然成為了數學家的絕世高手在花了一整天的時間仍無法解出，

1988年，於澳大利亞舉辦的第29屆比賽上，由德國所提供的第六道數論題成為了當時歷屆比賽中得分率最低的一道題，難到什麼程度？49個國家，268名來自各國的最頂尖參賽選手的平均分僅僅只有0.6分，當年剛滿12歲的數學天才陶哲軒也參加了比賽，但同樣也敗在了這道題的手上，

全場僅有12個人答對，來自四川彭縣中學的何宏宇和上海復旦附中的陳晞在此名單中，而來自保加利亞的Emanouil Atanassov選手不僅僅解出了這道題，並且解法之簡單堪稱逆天！

1989年，

在德國舉辦的第30屆比賽上，我們距離第一次參賽僅僅只過去了四年，但是已經沒有任何一個國家敢小瞧我們這支年輕的隊伍，由馬希文和單墫教授組成的領隊，和來自重慶永川中學的羅華章、新疆石河子五中的蔣步星、東北師範大學附中的俞揚、江西景德鎮景光中學的霍曉明、四川成都九中的唐若曦、人大附中的顏華菲為中國拿下了首個團隊總分第一，

而來自新疆石河子五中的蔣步星對第六道題所給出的不必計算「對應」的精彩解法，雖然沒能獲得特別獎，但是也讓在場所有人為之喝彩.

2005年，

那一年被人稱為"數學競賽中的奇蹟年"，在墨西哥舉辦的第46屆國際數學奧林匹克上，有一個無比精彩的解法橫空出世，據說當時在場的人在看到這一解法時，無一例外的都被震驚的說不出話來，有人曾這樣評價它："數學競賽有史以來最精彩的解法"，

那一年由韓國所提供的第三題，因為難度極高，讓來自91個國家、513名選手的平均分僅僅只有0.91分，但還是有16名選手以滿分的成績傲視群雄，其中包括來自天津耀華中學的任慶春、上海華東師大二附中的刁晗生、江西師範大學附中的羅曄、上海復旦附中的邵烜程，

但是所有選手的亮眼表現都被來自一個人口僅有355萬，過去五年團隊總分平均排名僅僅為第32名的摩爾多瓦無情鎮壓，來自這一國家的Iurie Boreico選手僅僅只用了兩行就解決了最難的第三道題，因為簡單到一塌糊塗，暴力到肆意橫行，因此他在間隔十年之後，獲得了主試委員會再次頒出的特別獎，

不僅如此，他還是16名滿分選手的其中之一，

比起1983年來自德國Bernhard Leeb選手的滿分加特別獎的逆天之路，他的戰績顯得更加可怕，因為在2006年，他再次參賽並且再一次獲得了滿分，而他也成為了國際數學奧林匹克唯一一個兩屆滿分外加特別獎的選手.

除了國際數學奧林匹克這一賽場，

在國內舉辦的數學競賽中，也曾經出現過讓眾多數學宗師都為之讚歎的解法，1985年，為了促使我國的中學生數學競賽活動更上一層樓，在那年中國數學會成立五十周年紀念活動期間，由中國數學會與南開大學、北京大學、復旦大學、中國科技大學四所大學的數學系協商，決定聯合舉辦全國中學生數學冬令營，冬令營的營員是來自全國各省市、自治區的中學生，他們是全國高中數學聯合競賽的優勝者，在為期約一周的冬令營期間，除了數學講座，參觀遊覽等活動外，最重要的事情就算分兩天舉行的數學競賽，和IMO相似，在每天4.5小時的時間裡，參賽選手要解答三道難度極高的數學競賽題，

在1986年，第一屆冬令營於天津舉行，

在那屆比賽中有兩名選手的解法讓當年的命題組成員張築生、常庚哲、裘宗滬等人都為止驚嘆，來自上海中學女學生邱隆東對Langford問題特例的第五題所給出的奇偶分析新解法以及來自揚州市姜堰中學沈建在只用到很少一點複數知識，乾淨利落地把第三道題給解決掉，不僅如此，他還推廣了結果，證明了比原命題更強的結論.

1987年，

在北京舉辦的第二屆冬令營上，來自上海向明中學的選手潘子剛對有著伯恩多項式背景的第二題第二問所給出的構造性證明，表現出對"對稱性"的敏銳直覺與深刻洞察讓他獲得了冬令營的第一個特別獎！

而在第三屆冬令營上，

來自湖北潛江縣向陽中學的羅小奎選手對第四道第二問極其簡潔漂亮的"靈感"解法讓他獲得了那屆比賽的特別獎，這一解法的精妙之處在於受n-1的啟示，把a12 a22 a32這三項之和轉化為兩項a12 a22 a32/2之和，從而把題設不等式左邊括弧內的n項變為n-1項之和，這一精彩解法也讓李成章、張築生等數學宗師組成的命題組拍手叫絕！

1980年，

在大連召開了第一屆全國數學普及工作會議，會議決定把全國數學競賽作為中國數學會及各省、市、自治區數學會的一項經常性工作，並正式定名為"全國各省、市、自治區高中聯合數學競賽"，並確定每年的10月份於中國數學會的支持下，由一個省作為東道主舉辦其比賽，

1990年，第十屆聯賽由吉林省作為東道主，那屆比賽有一道題目的標準答案曾使得一些閱卷教師都感到費解，而來自陝西省西安市85中學的田魯在解答中卻整體而本質地把握題意，先證第二問，後得第一問，整個解答過程十分淺顯和簡明，堪稱一絕！

同年，

來自華東師大二附中的樓捷同學對於二試的第3題的解法也妙不可言，遠比標準答案簡明，漂亮，充分顯示了參賽選手所具有的迅速推理和轉變思考方向的數學能力.

在第21屆全蘇數學競賽上，

來自北京四中的袁峰同學以不可思議的聯想，用一簡潔、直觀的證法直接透過了代數現象抓住了幾何實質，而這一解法也曾讓羅增儒、朱華偉等在數學競賽領域的宗師人物都為之叫好.

1990年，

整個北京都在為了迎接9月份的亞運會如火如荼地準備著，並沒有多少人知道在這一年，亞洲第一次承辦的國際數學奧林匹克也將在這個城市拉開帷幕，整個中國數學界都在為這一賽事奔波著，無數名震江湖的數學宗師都參與其中，在那一年裡，我們打破了以往參與訓練和命題工作人員最多的記錄，

在那年的冬令營上，有一道題目是由來自上海教育出版社葉中豪先生所發現的一個箏形蝴蝶定理，在那年比賽中，很少有選手能解出此題，命題組利用圖形的對稱性用解析法給出了證明，但是計算量十分巨大，當時，命題組成員的單墫、杜錫錄兩位教授都希望能有一個簡單的方法證明這個定理，

後來，當時為中國科學院研究員的張景中先生利用三角知識給出了下方的證法1，又避開三角函數與正弦定理，利用面積關係給出了證法2，並由此引出了十個全新的命題.

而在1990年的集訓隊中，

當時正讀初三，也是後來第35屆國際數學奧林匹克金牌得主的姚建綱選手對南斯拉夫給我們所提供的一道預選題給出了十分出人意料的證明，其漂亮程度讓當時集訓隊命題組的所有成員都為之叫好.

在1992年的集訓隊訓練期間，

有一名選手巧妙利用了垂心的性質，以十分簡潔的解法證明了下方的題目，而原命題者所給出的三角證法非常複雜，也由此可見，這一解法的精彩程度.

同年，

在俄羅斯舉辦的第33屆國際數學奧林匹克上，由義大利所提供第五題是那屆比賽中得分率最低的題目，那道題目的幾何直觀非常清楚，但是由原供題國所給出的證明思路卻不夠清晰，方法不夠自然，其證明幾乎完全脫離了幾何直觀，特別是引入了相當抽象的集合T和映射f，結論好像是藉助於抽象的手段變戲法變出來的，

而曾帶領中國拿下五次IMO團隊總分第一的張築生教授給出了一個十分漂亮的證明.

在1993年中國國家隊選拔賽上，

來自河南師大的夏興國教授曾提供了一道題目，在當年參賽的二十餘名數學高手中，僅有後來獲得了第34屆國際數學奧林匹克金牌的劉煬選手答對，他所採用的構造方法雖然十分常見，但其技巧卻是十分高超和新穎的，

特別是論證k 1色圖時，對一些點的顏色的改變，其技巧更是耐人尋味.

在1980年，

於芬蘭、英國、匈牙利、瑞典舉辦的四國數學競賽上，也有一道題目所提供的解答十分繁瑣，前後整整用了四次歸納法，在譯成中文之後，將近有4000多字，當時中國科技大學的白志東先生對此題採用一個十分大膽的處理方法，

加強命題，出奇制勝地給出了十分絕妙簡潔的證明！

在國際數學奧林匹克賽場上，

當然也有原供題國提供的解答是十分精彩漂亮的，在保加利亞所舉辦的第17屆比賽上，由蘇聯所提供的第五題的原解法就十分簡潔優雅，其利用到了著名的九餘法.

曾創造了中國數學奧林歷史上，

第一個在國家集訓隊的所有考試中均獲得滿分的選手，在第49屆、50屆兩次國際數學奧林匹克上也均獲得滿分，並且在2013年又獲丘成桐大學生數學競賽個人全能金獎，並獲得了五個單項獎中的四個金獎，一個銀獎，被數學江湖人稱"教主"的韋東奕在2008於上海的國家隊培訓期間，對上海大學冷崗松教授從美國數學月刊找的一道訓練題給出的證明也十分直白和精彩，

大多數選手所提供的都是圖論證法，而韋教主僅用了一下極端分析，就將這道題目給解出，解法自然而優雅，直到今日，冷崗松教授還經常會向競賽剛入門的學生講解這一方法，並戲稱這是"韋方法".

曾是2006年中國數學國家隊隊員，

在第31屆國際數學奧林匹克獲得滿分，後來在北京大學畢業之後，去到龍泉寺出家的柳智宇其數學才華也曾給冷崗松教授留下了深刻的印象，他和人討論幾何題從不畫圖也不看圖，但是口中卻能準確無誤說出諸多點線位置，從不忘記和混亂，他的幾何和組合十分突出，因此造就了一個少見的組合幾何高手，在集訓隊選拔時幾個組合幾何難題能解出者寥寥無幾，而他所提供的解法卻令人拍案叫絕，在當年的IMO上，第六道題便是一個組合幾何難題，全世界僅有3人做對，而他就是其中之一，並且協調組專家們都一致認為他的解法比標準答案還要漂亮精彩，

在那年3月於瀋陽東北育才中學舉行的第4次小考中，由林常教授所提供的一道題頗有難度，得滿分的選手不多，而柳智宇對於這一問題給出了一個十分精妙的解法，它不僅簡單，而且很好地揭示了問題的本質：對於a×b棋盤，其中gcd（a，b）=1，如果將對角線ab等分，則紅線段長度比藍線段長度恰好多一個等分單位.

同樣是兩屆IMO滿分，被許多人稱為"解題無敵"的羅煒，對於在杭州學軍中學舉辦的第33屆中國數學奧林匹克第五題的解法也是十分的有趣和精妙.

在羅增儒教授所著的《中學數學競賽的內容與方法》中，他介紹了這樣一道題目，此題連小學生都能聽明白，但是其所體現的解題藝術卻是十分的高超，體現了一種無與倫比的美：大學的思想小學的知識.

曾經也是IMO滿分的汪建華曾談到他上小學時的一件事，

當他剛掌握"韓信點兵"的時候，遇到這樣一道題：一個數，除以3餘2，除以5餘4，除以7餘6，此數最小為幾？開始的時候，他套用了口訣，很快地得到了答案，但後來他又想了想，並且想到了一個更好的解法，那就是將此數加上1之後，可被3、5、7整除，於是此數為3×5×7-1=104，而這個題的解法曾使得當時上小學的他大受鼓舞，讓他開始遇到每一個數學問題時就投入到獨立思考的過程中，也大大增強了他學習數學的興趣，

而一道國際水平的競賽題，如果它的解法不能體現數學的美，缺乏簡潔、奇異與獨創，那麼是很難獲得主試委員會的認可的，但需要強調的是，競賽的技巧並不是低層次一招一式或妙手偶得的雕蟲小技，

它既是使用數學技巧的技巧，又是創造了數學技巧的技巧，

更加準確確切地說，這是一種數學創造力，一種思維層次，一種獨立於史詩、音樂、繪畫之外的數學美，而在數學奧林匹克江湖125年里，曾經流傳著25個"逆天"解法的精彩故事，並讓無數人扣扣相傳，津津樂道.

文獻來源：

單墫《數學競賽史話》

羅增儒《中學數學競賽的內容與方法》

朱華偉《奧林匹克數學教程》

馮躍峰《奧林匹克數學教育的理論和實踐》

冷崗松《韋東奕的妙解》與《柳智宇的兩個妙解》

本文經授權轉載自「數學競賽的那些事兒」