1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ... 一個級數問題的幾何求解
級數是高等數學中的一個非常重要的概念。在數學中，一個有窮或無窮序列的和，稱為級數。
有窮級數，非常簡單，因為是有窮的，用小學學習的加法運算，就可以求出。比如6, 60, 600，這個序列的級數是666。
比較難的是無窮級數，最典型的級數是等差級數（又叫算術級數）和等比級數（又叫幾何級數）。
比如：1，2，3，4，5，... 是一個等差級數。
比如：1，2，4，8，16，... 是一個等比級數。其中，公比為2。
比如：1/2，1/4，1/8，1/16，1/32，... 也是一個等比級數。其中，公比為 1/2。
對於無窮級數，有一個很重要的概念，就是級數的斂散性。也就是一個無窮級數是發散的，還是收斂的。
所謂的收斂，就是存在一個「界」，這無窮項的和，肯定超不過這個「界」；如果不存在這個「界」，就稱這個級數是發散的。
比如，1，2，3，4，5，... 是一個發散級數；
比如：1，2，4，8，16，... 是一個發散級數；
但是，1/2，1/4，1/8，1/16，1/32，... 是一個收斂級數。這個級數的「界」是1。也就是這串數字按照這樣的趨勢繼續下去，無窮項的和，一定是小於1的。無論如何，都超不過1這個「界」。
通過定義，大家也能想到了，由於我們是在考慮無窮項的和的問題，所以嚴格地使用數學語言，我們要想證明這個「界」，需要使用「極限」的概念。
實際上，極限是大家在本科學習高等數學所接觸的第一個概念，是微分，積分，這一套數學工具的根基，是初等數學和高等數學的重要分水嶺。
不過，在這篇文章中，我將使用幾何的方式，證明1/2，1/4，1/8，1/16，1/32，... 這個序列的和，一定不會超過1這個「界」：）
其實非常簡單。首先，我們把每一個數字想成是一個矩形的面積。那麼我們可以先畫一個邊長為1的正方形。它的面積就是1。
下面，我們將看到，這個面積為1的正方形，可以盛放面積為1/2，1/4，1/8，1/16，1/32，...的矩形，無數多個！：）
首先，我們放一個面積為1/2的矩形，非常簡單，將這個正方形一分為2，一半的面積就是1/2。
然後，我們再放一個面積為1/4的矩形，將剩下的1/2再一分為2，其中一半的面積，就是1/2的1/2，即1/4。
相信聰明的同學們都已經會了。我們再放一個面積為1/8的矩形，只需要將剩下1/4面積再一分為2，其中的一半面積，就是1/4的1/2，即1/8。
這個過程可以一直下去。我們再放一個1/16的矩形：
再放一個1/32的矩形......
可以看出來，1/2，1/4，1/8，1/16，1/32，... 這個數列的每一個數所表示的矩陣，可以無窮無盡地放到這個大小為1的正方形中。
所以，1/2，1/4，1/8，1/16，1/32，... 這個級數是收斂的，結果為1：）
