數學史上的三次危機！

數學危機是指數學中出現的悖論，實質上是數學體系的不完善所導致的。

數學危機對整個數學界的發展起到了巨大的推動作用的，促進了數學基礎理論的研究，推動了數理邏輯的發展，可以說每次危機的產生都為數學帶來新的內容，新的進展，甚至引起革命性的變革。

第一次數學危機

畢達哥拉斯學派的希帕索斯發現了無理數，直接對一切數均可表示成整數或整數之比的思想觀念造成了衝擊，在長達 2000 年的時間裡，數學家都刻意迴避無理數存在的事實。

無理數即非有理數之實數，不能寫作兩整數之比。若將它寫成小數形式，小數點之後的數字有無限多個並且不會循環。常見的無理數有大部分的平方根、π和e（其中後兩者同時為超越數）等。

第二次數學危機

牛頓在創造微積分的時候，對於導數的定義並不太嚴密，比如說 x2 的導數,先將 x 取一個不為0的增量 Δx ,由 (x Δx)^2 - x^2 ，得到 2xΔx (Δx) ^2，後再被 Δx 除，得到 2x Δx ，最後突然令 Δx = 0 ，求得導數為 2x 。我們知道這個結果是正確的，但是推導過程確實存在著明顯的偷換假設的錯誤：在論證的前一部分假設Δx是不為0的，而在論證的後一部分又被取為0。那麼到底是不是0呢？

除此之外，牛頓微積分把「無窮小量看作不為零的有限量而從等式兩端消去，而有時卻又令無窮小量為零而忽略不計」的漏洞引發了一個這樣的問題：就無窮小量在當時實際應用而言,它必須既是0，又不是0。但從形式邏輯而言，這無疑是一個矛盾。牛頓後來也未能自圓其說。

導數是微積分中的重要基礎概念。當自變數的增量趨於零時，因變數的增量與自變數的增量之商的極限。一個函數存在導數時，稱這個函數可導或者可微分。可導的函數一定連續。不連續的函數一定不可導。

第三次數學危機

1903 年羅素髮現了集合論存在的問題，他和哥廷根學派的領袖希爾伯特圍繞數學的哲學基礎問題引發了一場「數學是什麼」的論戰。

羅素認為「數學即邏輯」，而希爾伯特則提出了形式主義的主張，主張數學思維的對象就是數學符號本身。兩個人涉及的論戰就包含了集合論。

羅素從集合元素的三大特性中發現了康托爾集合論中的一個BUG。集合S是由一切不屬於自身的集合所組成。然後羅素問：S是否屬於S呢？根據排中律，一個元素或者屬於某個集合，或者不屬於某個集合。因此，對於一個給定集合，問是否屬於它自己是有意義的。但對這個看似合理的問題的回答卻會陷入兩難境地。如果s屬於S，根據S的定義，s就不屬於S；反之，如果s不屬於S，同樣根據定義，s就屬於S。無論如何都是矛盾的。

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