我們處在數學的黃金年代嗎？

來源 | 新原理研究所（ID：newprincipia）

如果我們以1519年為分界線，回望在它之前和之後的500年間數學的進展，你會發現在1519年之前是幾乎風平浪靜的500年，鮮有新的數學出現。在那段時間，數學似乎在全世界都陷入了一種停滯狀態，只有印度在代數和三角學領域獲得了一些重大進步。

相比之下，1519年之後的這個500年里，數學呈現出了爆炸式的增長，而且這種速度在21世紀似乎在顯著加快。可以說，過去的500年是現代數學的500年。那麼在這500年的數學歷史中，都發生了什麼？這是我們今天的主題。我們將沿著四個關鍵的數學思想去回顧這500年。（當然，不止四個， 還有許多偉大的數學思想在本文中並沒有被提及）

1.三次方程

如果說有哪個事件能夠劃分經典數學與現代數學，那就是對三次方程的求解了。這一事件意味著，數學家們的探索領域終於超越了古希臘人所做的一切。從那時起，代數為數學掀開了新的篇章，並在20世紀90年代到達了頂峰。

二次方程

從遙遠的古代開始，人們就知道二次方程的存在。二次方程的解對面積計算等問題非常重要。巴比倫人最先找到了它的解，而解的最終形式是由印度人發現的。

二次方程的一般解

三次方程對體積的計算非常重要。同樣，聰慧而樂于思考的巴比倫人也試圖想要得出它的解。但是，求解三次方程是一項艱難得多的挑戰。

三次方程

巴比倫人沒能得到一個最終的一般解，而是創造了一個可以推導出近似解的列表。雖然也有像Omar Khayyam（1048-1131）這樣的數學家曾求得過幾何解，但無論是希臘人還是後來的數學家，都無法推導出這個方程的代數解。

就這樣，求解三次方程的難題就一直存在，無人能解。

直到1520年代，事情開始慢慢發生改變。那時，一位名為希皮奧內·德爾·費羅（Scipione del Ferro，1465-1526）的義大利數學家找到了一般解法，首次解開了缺少二次項的三次方程。

希皮奧內·德爾·費羅解開的三次方程

之後，費羅把解法傳授給了他的學生Fior。而幾乎就在同一時間，另一位義大利數學家塔塔里亞（Tartaglia）也用一種一般解法找到了缺乏一次項的三次方程的解。

塔塔利亞解開的三次方程

有趣的是，這則三次方程的求解故事開始朝著一個非常戲劇化的方向展開：一開始，塔塔里亞將他的公式藏在了一篇詩歌當中，他還與Fior進行了一次問題求解競賽，並且獲得了最終的勝利。接著，在一個名叫卡達諾（Cardano）的學者的勸誘下，塔塔里亞將結果告訴了他。卡達諾向塔塔里亞發誓，一定會保守秘密，不將結果泄露出去。然而事實卻是，卡達諾先是從Fior那習得了他的結果，然後揭露了塔塔里亞的解法，在代數著作《大衍術》（Ars Magna）中，發表了這一結果。這讓塔塔里亞惱怒不已，至死都沒有原諒卡達諾。

雖然求解的故事頗具戲劇性，但最終我們還是成功地得到了這一偉大的結果。時至今日，三次方程的解仍然很重要。例如，在計算機圖形學中，許多曲線和形狀都需要用三次方程來近似。是這些解讓我們可以計算出曲線何時會相交。

三次方程的解帶來了許多重要的數學進展。例如更高階的多項式方程是否可解就是其中的一個顯著問題。很快，人們就解出了四次方程，但又再次卡在了五次方程的問題上。直到19世紀，挪威數學家阿貝爾（Abel，1802-1829）最先找到了解。

五次方程

之後，伽羅瓦（Galois，就是那個21歲時死於決鬥的天才數學家）證明了有些五次多項式是不能用阿貝爾的方法求解的。伽羅瓦的證明中包含了對滿足不同根的對稱性的尋找，他將這一思想發展到研究一組運算所需滿足的一般對稱性。現在，這門學科被稱為群論，對我們理解許多科學領域中的對稱性至關重要。

群倫與對稱

求解三次方程還帶來了另一個重要結果，那就是它讓人們意識到了理解複數的重要性。我們可以通過研究求解不同的數學問題來追溯數字的歷史。

求解類似x 2=3這樣的方程，我們只需要自然數1,2,3……求解3x=2這樣的方程，我們就需要包含分數在內的有理數了。古希臘的數學家在研究二次方程時就意識到，求解這類方程需要「開平方」，因此還需要發明新的數字。

這時，數學的歷史開始發生有趣的轉變。那時，人們知道√2的存在是有其幾何合理性的，比如它是單位正方形對角線的長度，但是他們很難將這些數字放入有理數系統中的「間隙」中。直到19世紀，數列的「極限」概念有了堅實的基礎，才讓數學家們完全樂於使用實數。

不過，實數並無法滿足所有的三次方程求解，比如當遇到x2 = -3這樣的情況時，就還需要新的數字，讓i2 = -1。這便是我們熟悉的虛數概念。如果定義a、b為實數，那麼a bi就是一個複數。

還記得上文說到的卡達諾嗎？其實早在16世紀後期，他就與工程師邦貝利（Bombelli）一起用塔塔里亞的方法求解了三次方程和二次方程的複數解。

到了19世紀，高斯在《代數基本定理》中指出，所有多項式方程都可解，它們的解都可以表示為複數。這意味著，人們可以不必為了求解多項式方程而尋找新的數字了。

然而，這並不意味著數學家應該停止發明新的數字系統。例 如，漢密爾頓（Hamilton）在19世紀發展的四元數就是複數的一種擴展，現在主要用於計算機圖形學。

與複數有關的最重要早期發現或許是由歐拉（Euler）作出的，他證明了複數與三角函數密切相關。這種關聯讓數學變得格外神秘和迷人，它似乎預示著數學蘊含著無限的能量。他先是引入了所謂的歐拉數，也就是自然常數e，並將它定義為：

歐拉數（自然常數）

接著，歐拉便用一個恆等式，將e、i和三角函數聯繫到了一起。

歐拉將自然常數、虛數和三角函數結合到了一起。

研究三次方程的意義還不僅於此。研究三次方程和其他多項式方程的解的曲面，直接導致了代數幾何這一數學領域的誕生。對數學感興趣的人應該都知道，代數幾何不僅是一門重要的學科，而且它在計算機繪圖、圖像處理和圖像識別等領域都發揮著重要的作用，所有的這些技術都與計算機輔助設計、機器學習和人工智慧有關。

除了這些應用價值之外，代數幾何還有一個不得不提的重大意義：在求解費馬大定理的過程中，代數幾何扮演者至關重要的角色。這個著名的問題是在1637年由費馬（Fermat, 1601-1665）提出的。費馬大定理說的是，當n＞2時，這個方程沒有正整數解。

費馬大定理中所涉及到的方程

費馬自己證明了n=4的情況，並希望能獲得一個一般情況的證明。後來，歐拉證明了n=3的情況。數百年來，在求解費馬大定理的前進道路上誕生了許多偉大的數學。

1995年，數學家安德魯·懷爾斯（Andrew Wiles）提出了最終的解決方案，為這個研究了400多年的數學問題畫上了完美的句號。

2. 微積分

在這500年不僅見證了代數的革命，也見證了我們對這個世界的運作機制的理解革命。為了解決那些物理問題，直接導致了微積分的發明。而微積分帶來的不僅是令人難以置信的數學進展，還有數不勝數的廣泛應用。可以說，沒有微積分，或許就沒有現代世界的一切科學與技術。

這場革命始於兩個事件。

第一個事件是在物理學家研究物體的運動時掀起的運動學革命。

1543年，哥白尼（Copernicus）發表著作《天體運行論》，在這本書中，他顛覆性地提出當時已知的6顆行星是繞著太陽公轉的。當然，作為一個早期的日心說理論，它並不完美。

哥白尼的模型在1610年左右得到了「拯救」，那時，開普勒（Kepler）發表了著名的三大運動定律。開普勒不僅是一位天文學家，還是一位傑出的數學家，根據他的運動定律，我們得知了：

所有行星都在以橢圓軌道繞著太陽運動，太陽在橢圓的其中一個焦點上；

在相同的時間內，行星所掃過的面積相等；

行星的運動周期的平方正比於橢圓長半軸的立方。

開普勒運動定律

開普勒定律與觀測結果完全吻合，其預測也與伽利略（Galileo）用望遠鏡所觀測到的一致，可以說，是開普勒定律讓日心說得到了廣泛的接受。

第二個事件是力學定律的發現。

伽利略是力學的先驅，他是第一個意識到物體在地球引力作用下會按照拋物線的路徑移動，而且他還意識到所有慣性系都是等價的。1643年，在伽利略去的一年後，牛頓（Newton）出生了。

在牛頓的巨著《原理》中，他闡明了力學三大定律，將力的作用與物體的運動聯繫了起來。在書中，牛頓還提出了萬有引力定律，即在兩個相距為r，質量分別為M和m的物體之間，其引力作用為

牛頓的萬有引力定律

牛頓的力學原理讓他可以成功推導出開普勒的運動定律，為開普勒定律奠定了堅實的理論基礎。按照希臘留下的傳統，牛頓用幾何學語言在《原理》中提出並證明了這些結果。然而最開始，他是用微積分的方法推導出來的。

微積分是一門研究事物如何變化的學科，它有兩個重要的概念，一個是導數，一個是積分。求導可以讓你知道一條曲線的斜率，而積分能讓你求得曲線下的面積。

微積分：微分（左）與積分（右）

不過，微積分並不是牛頓一個人創造的，它的許多基本概念都是基於像沃利斯（Wallis）、笛卡爾（Descartes）、費馬、開普勒等數學家的想法。此外，幾乎在與牛頓相同的時候，萊布尼茨（Leibnitz）也提出微積分的關鍵思想。

萊布尼茨用代數形式表述了這一想法，並引入了用於計算的現代符號，與牛頓的幾何符號相比，萊布尼茨讓微積分的使用變得容易了很多，導致微積分在歐洲大陸的迅速發展，當然也它導致了英國數學家和歐洲數學家之間的分裂。

在接下來微積分的發展中，歐拉成為了一個主要的領軍人物。他不僅創造了微積分理論中的許多基本結果，而且還為它們找到了重要的應用。牛頓和萊布尼茨是通過觀察當單個變數在變化時函數發生的變化而推導出了微積分。而歐拉將其擴展到觀察一個函數在所有變數函數發生變化時，函數會如何變化，這一概念叫做變分法。

1788年，法國數學家拉格朗日（Lagrange）將歐拉的想法進一步拓展，並最終成為了現代物理學和工程學的核心。利用變分法，拉格朗日將得到了微分方程系統，這類系統的解描述了系統的運動。最初，拉格朗日想用它們來研究力學問題，但同樣的方法也在描述基本粒子（包括希格斯玻色子）的標準模型中運用。

另一個因這種方法受益的領域是流體力學，這也是由歐拉提出的。在現代日常生活中，我們每天都要用到歐拉方程來預測未來的天氣和氣候。

儘管牛頓、萊布尼茨和歐拉都很喜歡使用微積分，而且它幾乎有無窮的應用，但人們對它的基本定義仍有一些擔憂。直到19世紀，在柯西（Cauchy）對極限與無窮大等問題打下堅實的基礎之後，這些問題才真正得到解決。這遠不止解決了微積分的一些技術性上的難題，還導致了數學中的分析領域的發展。

複分析就是其中一個重要的例子，它是對復變數函數性質的系統研究。這門學科在數論、流體力學、傅里葉分析、信號處理、數值分析、圖形學以及數學、物理和工程的任何需要用到積分的領域中都有重要應用。

牛頓在17世紀發明了微分方程，到了18世紀，拉普拉斯（Laplace）進一步地推動了它的發展，之後，人們便認為微分方程是描述現實世界運行方式的最佳方式了。以二階微分方程為例，這是些看起來簡單，卻難以精確求解的微分方程。儘管無法做到精確求解，但我們可以通過兩種方法來得到解析表達式。

首先就是用幾何方法求解，這種技術是在19世紀末由法國數學家龐加萊（Poincare）首創的，它非常強大，導致了求解微分方程的動力系統理論的產生，其中的一個重要結果就是現代混沌理論。

微分方程的幾何理論，直接導致了混沌理論的出現。

第二種方法是要依靠強大的計算機演算法來求出近似解，這種方法能讓你控制想到達到的精度水平，具有很強的洞察力和預測能力。

3.線性代數

如果有人問這500年來哪個數學領域是最有用的，那麼答案或許是線性代數，它是許多工程學、物理學、甚至商業等領域的數學基石。沒有線性代數，我們就無法飛行，也無法預測經濟、天氣，甚至無法經營工廠、在線購物等。線性代數計算是全世界各地的計算機每天都要進行的大部分計算，它是互聯網背後的動力。只可惜，它在數學領域的魅力並不那麼為公眾所知。

早在16世紀，線性代數就涉及到求解具有多個變數的方程問題。前文提到的三次方程和和二次方程都只涉及到一個變數x，如果我們有兩個變數x和y那又會怎麼樣？舉個例子，爸爸比兒子大32歲，現在他們總共86歲，求他們現在各自多少歲。

這是一個我們可以輕易揭開的小學應用題，最直接的方法是設兩個未知數：爸爸x歲，兒子y歲，從方程組x - y = 32和x y = 86中算得答案。

雖然上面的方法可以輕鬆地解決這個問題，但它很難將其推廣應用於解決包含更多未知數的問題。要做到這一點，我們就需要矩陣和線性代數了。這些問題背後的數學原理是於19世紀由凱利（Cayley）發展的，當時他在考慮如何讓一組數字線性映射到另一組數字。我們再以上面的年齡問題為例，假入我們設x - y=a, x y = b，那麼這就等於完成了從 (x,y) 到 (a,b) 的映射。凱利用矩陣方程的形式來表示這種映射。

用矩陣來表述方程求解問題

這裡的A是一個2x2的矩陣，這種形式的矩陣方程在幾何中表示平面的變換。3x3的矩陣則可以代表了在空間中的變換，這正是計算機圖形學中用來執行動畫的矩陣方程。4x4的矩陣則可以表示時空的變換，這便是狹義相對論的數學基礎。

通過矩陣求逆，我們可以得到問題的解：

通過矩陣求逆來求解

A?1是矩陣A的逆矩陣。同樣的方法甚至可以用於解決含有數十億個未知數的問題。這一過程也成為了現代科學與技術得以出現和發展的一個重大前提。時至今日，科學家與數學家仍在努力發展用於求解矩陣求逆的演算法，以更高效地解決我們社會所面臨的諸多日常問題。

4. 演算法

數學在計算機演算法中的應用或許能讓我們在現實世界中最直接地感受到數學的強大。演算法描述的是一個為給定問題給出解決方案的過程。

事實上，最早的演算法是用來求解我們在一開始提到的多項式方程的。比如我們想求解二次方程x2 = 2的解，但不知道√2的值，所以就需要開發一個演算法來找到它。這種演算法是由巴比倫人發明的，他們認為比x更能更好地近似√2的表達式是

比如你可以以x=1開始，將數字代入之後所得到的數字再次代入這個式子中，不斷迭代，這樣就能得到一系列值：

牛頓推廣了這一概念，因此當我們需要找到方程f(x) = 0，那麼可以嘗試近似：

當不斷重複這個過程，xn的值就會越來越接近真正的解。

大量在數學上的研究產生了許多強大的可用於解決其他問題的演算法。但是如果沒有巴貝奇（Babbage）、拉夫萊斯（Lovelace）、圖靈（Turing）、馮·諾依曼（von Neumann）這些數學家大力推動了計算機的發展，或許我們不會感受到這些演算法的價值。例如用計算機來求解微分方程就是演算法在發揮作用的一個例子。

事實上，整個現代電子工業，尤其與信號、音樂和視頻相關的部分，都嚴重依賴於快速傅里葉變換（FFT）演算法。FFT允許一個信號能分解成構成了它的諧波，它具有無窮多的應用。可以說，這是一個由數學導致了整個行業的產生的經典例子。

演算法的另一個重要領域是要讓對未來的預測與當前和過去的觀測一致。我們的手機、GPS導航設備、飛機和火車控制系統等許多系統都嚴重依賴於這種演算法。在這些應用中，使用了大量貝葉斯定理的卡爾曼濾波器是其中的關鍵，當有新的數據傳入時，它能系統地根據新的數據更新對系統狀態的估計。如果沒有卡爾曼濾波，我們就不可能到達月球，也無法操控任何現代控制系統。

我們正在見證數學領域變得越來越活躍，它似乎蘊含了巨大的能量，這股能量導致一些重大難題得到了解決，比如費馬大定理和龐加萊猜想，同時也提出的許多新的和具有挑戰性的問題。另外，數學和計算機的融合讓數學家可以處理更加複雜的問題，並且在研究極度困難的問題時也能具有實驗性和創造性。除此之外，數學的應用幾乎在呈指數級增長。

曾經，人們還是傾向於認為數學領域只是非常純粹和理論的，現在我們卻發現了它無窮的應用潛力。在未來的幾年裡，這張應用列表中的內容會以更快的速度增長，我們似乎已經可以預見一個令人激動的數學未來。

所以我們現在正處在數學的黃金時代嗎？我想是的。

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