概率的意義：隨機世界與大數法則

摘要:今日統計學家，當然已完全弄懂信賴區問的意義。對不同的參數，不同的分布，可有不同的信賴區間;即使同一參數且同一分布，也可以不同的方法，得到不同的信賴區間。有時因條件不足，或計算複雜等原因，只好退而求其次 ...

導語

1987年，是印度傳奇數學家拉曼努揚(SrinivasaRamanujan，1887-1920)的百年誕辰。為了紀念他，有一系列的活動。當代著名統計學者， 出生於印度的勞氏(C. Radhakrishna Rao，1920)，也應邀做了三場演講。之後，印度統計學研究所(IndianStatistical Institute)基於勞氏的演講稿，於1989年，為他出版了統計與真理一書。此書於1997年發行第二版。

在第一版的序文中，勞氏提到：

學生時代，我主修數學一種從給定前提下演繹結果的邏輯。後來我念統計學一種從經驗中學習的理性方法，及從給定的結果驗證前提的邏輯。我已認識到數學及統計，在人類為提昇自然知識，及有效管理日常事務所做的一切努力中，佔有重要性。

我相信：

在最終的分析中，所有知識皆為歷史。

在抽象的意義下，所有科學皆為數學。

在理性的世界裡，所有判斷皆為統計。

這一段話，大致說明數學及統計的重要性，及其各自的內涵。

翻開統計史，信賴區間，是另一著名統計學者，出生於波蘭，1938年才移民至美國的奈曼(JerzyNeyman，1894-1981)，於1934年演講中首度提出。他的演講結束後，大會主席包雷(Arthur Lyon Bowley， 1869-1957)於致詞中提到，「我不很確定此信心不是一信心戲法」。要知奈曼信賴區間的概念剛提出時，大部分的統計學者，包括被視為是現代統計學之創始者，英國的費雪(Sir Ronald Aylmer Fisher， 1890-1962，常以R.A.Fisher稱之)均難以接受。在所謂95%信賴區間中，那95%究竟是指什麼？是概率嗎？如果是，那又是什麼的概率？雖奈曼取巧地以信賴區間，來稱呼此一他創造出來的東西，而避用概率一詞。但包雷及其同行，當然一眼便看穿這個手法。這段過程，可參考Salsburg(2001)Chapter12(但該書中的A.L.Bowley應該是G.M.Bowley)，及Sawilowsky(2003)一文。

歲月匆匆，七十多年過去了，今日統計學家，當然已完全弄懂信賴區問的意義。對不同的參數，不同的分布，可有不同的信賴區間;即使同一參數且同一分布，也可以不同的方法，得到不同的信賴區間。有時因條件不足，或計算複雜等原因，只好退而求其次，得到近似的信賴區間。當然這時需要一些條件，及利用一些定理。信賴區間亦可比較優劣。要知統計里有各種推論方法，但因處理的是隨機現象，少有「倚天既出，誰與爭鋒」的方法。而評比時，也要訂出評比準則。否則就像有個停止不動的鐘，及一每日慢1分鐘的鐘，如何判定何者較准？前者可是每日皆有完全準確的時刻，後者卻是每1440天(一天有1440分)，才有一完全準確的時刻。不講清楚如何評比，將會各說各話。

追根究底，還是不少學習者，未能正確了解概率的涵意。

概率的意義

一骰子有6個面，一擲之下，會得到偶數之概率為何？骰子看起來沒有異樣，就假設每個面出現的概率皆相同，即均為1/6。而偶數面有2，4，及6等3個。因此所求之概率為3/6。這就是所謂古典的概率，基本假設是「相同的可能性」。先求出觀測的現象共有幾種可能，再求出其中有幾件是我們有興趣的。將後者除以前者，即為所要的概率。雖說是「古典」，這種概率的意義，至今仍處處可見。採用的範圍包含諸如抽籤、玩撲克牌，及玩樂透彩等。又如某項工作徵才，報名的有82人，錄取5人。若沒有什麼特別的資訊，便只能假設每人被錄取的概率皆相同，即皆為5/82。

2009年7月底8月初，世界高爾夫球王老虎伍茲(TigerWoods)，參加在美國密西根州舉行的別克公開賽(Buick Open)。第1輪打完，落後領先者多達8桿，排名並列95。引發他可能難逃職業生涯，首次連續2場比賽(前一場是英國公開賽(The Open Championship，在英國之外常稱為BritishOpen))，提前被淘汰的話題。不過老虎畢竟不能小覷，打完前3輪後，伍茲躍居首位。

這時大家看法丕變，一致認為這座冠軍盃，幾乎可說是他的囊中物了。因過去的紀錄顯示，伍茲如能帶著54洞領先進入決賽圈，戰績是35勝1敗。你要不要猜後來他贏了沒有？運動比賽，往往有過去資料可參考，此時相同的可能性便不宜用了。36次中成功35次，「相對頻率」為35/36(約0.972)。這種以相對頻率來解釋概率，是常有的作法。適用能重複觀測的現象。會不會有爆出冷門的時候？當然有。只是對一特定事件，用過去多次同樣情況下，該事件發生的相對頻率，來估計下一次事件發生的概率，乃是在沒有更多資訊下，常被認為一屬於客觀的辦法。

某君看上一女孩，驚為天人，覺得這是他今生的新娘。評估後信心滿滿，自認追上的機會有8成。旁人卻都不看好，問他8成這一數字，是如何冒出來的？該君舉證歷歷，一個又一個的跡象，顯示那女孩對他很有好感。這個0.8的概率，就是所謂主觀概率。主觀概率當然也可基於過認識概率35去一些客觀的事實。只是即使面對同樣的資料，不同的人，可能有不同的判定，因而給出不同的主觀概率(看過他其實沒那麼喜歡你(He』s Just Not That Into You)嗎？片中那個叫Gigi的女孩，便常誤解男生所透露的訊息)。有些現象就是不能重複觀測。如核能電廠的意外，及彗星撞地球等。以追女孩為例，大約少有女孩，會讓你做實驗，反覆地追，然後數一數其中成功幾次，來定下她會被你追上的概率。對這類無法重複觀測的現象，在談概率時，主觀概率就常派上用場。每天早上出門，我們不是慣於抬頭看天，判斷一下今天下雨的概率有幾成？只是往往父母認為的概率會大些，該帶傘，而小孩所認為的下雨概率會小些。

雖說「主觀」，但仍要合理。例如，考試有及格與不及格。若認為會及格的概率為0.9，這沒問題，人總要有點自信，但若又同時擔心有0.8的概率會不及格，那就不行了。各種可能性發生概率相加要為1。即使是主觀，可以獨排眾議，仍須自圓其說。不能說，既然是主觀，便可以任意自定各事件之概率。因此不論是那一種對概率的解釋，都自然地，或說必須要滿足一些共同的規則。這點大家應能理解。

上述三種是常見對概率的解釋，大抵也就是人們評估事件發生可能性之大小的幾種思維。雖是針對不同的情況，但常能交互著運用。大家都聽過曾參殺人的典故吧!有個與曾子同名的人殺人，好心者告訴曾母「曾參殺人」。曾母說「吾子不殺人」，繼續織布。過一會兒，又有人來說「曾參殺人」。曾母仍繼續織她的布，這麼好的兒子怎可能殺人？但當第三人跑來說「曾參殺人」，曾母就害怕了，丟掉織布器具翻牆而逃。所謂「其母懼，投杼踰牆而走」。這故事出自戰國策秦策二。因此當拿到一銅板，可主觀地認為，政府發行不該會有偏差，兩面出現的概率，應皆為1/2(這也可以是基於相同可能性之想法)。若投擲10次，正面出現8次，可能覺得有些奇怪。若繼續投擲，結果100次中，出現80個正面，這時相對頻率的觀點，很可能便將顯現。類如曾母，調整看法，不再認為此銅板公正。

當然，你可以不信邪，不論投擲的結果如何，皆認為那只是短暫的情況，意志堅定地認為這是一公正的銅板。這並沒有不行，就像會有母親，即使再多的人證，只要她沒親眼看到，她就不信兒子會殺人。要知隨機現象，事件只要概率為正，不論概率值多小，便皆可能發生。畢竟銅板正面出現的概率為何，只有天曉得。但引進概率與統計，乃為了協助我們做決策可以更精準。而決策可以與時推移，並非不能更改。有如氣象局對颱風會帶來多少雨量，須密切掌握新的動向，而隨時修正。要有隨機的思維，如前言中勞氏所說的，從給定的結果，驗證前提。因此針對100次投擲，出現80個正面，多數人面對此結果，還是會認為0.8的正面出現概率，較0.5的概率可信。稍後我們會再來看，10次中的8次，與100次中的80次，相對頻率同為0.8，但提供的資訊，是否有異？

雖然已有上述三種對概率的解釋，也涵蓋了不少實際生活中所遇到的情況，數學家當然不會在此止步。他們喜歡抽象化，及一般化。像解方程式，會尋求公式，以表示出某類方程式的解，而非只滿足於求出一個個的特例之解。又如當完全了解實數系統後，便會以公理化的方式，定義實數系統。即給一集合，沒說是數字的集合，對其中的元素定義二運算，並給出10條遵循的公理(axiom，規則)。你好奇該二運算是否一為加法，一為乘法？而怎麼沒有減法與除法？名可名，非常名，數學家不認為你提出的是重要的問題。但用心體會後，你終於發現原來二運算，其一等同於加法，其二等同於乘法。也看出此集合中，有一元素根本就是0，而有一元素根本就是1。數學家對你的洞察力，仍不以為意，但同意你可以這樣想。

什麼叫以公理化的方式，來引進概率？先要有一個集合，稱做樣本空間，當做某一觀測之所有可能結果的集合。可以真的有這一觀測，或只是虛擬的。樣本空間的某些子集合，是我們有興趣的，這些就是一個個的事件。所有事件也構成一集合。最後定出一概率函數，即對每一事件，給一介於0，1間的值，為該事件之概率。樣本空間、事件的集合，及概率函數，三者便構成概率空間(probability space)。這其中對樣本空間沒有太大要求，但不可以是空集合。而事件的集合，要滿足若干條件。簡單講，就是你有興趣的事件不能太少。譬如說，不能只對某事件A發生有興趣，卻對A不發生沒興趣。因此事件的集合要夠大，至少該有的都得納入。這有點像婚宴前擬賓客名單。可以請很少人，如只有雙方家長。而一旦多列了某人，與他同樣親近的人便也要一併請。所以每多列1人，將不只是增加1人而已，而會隨之增加幾位。又概率函數，既然以概率之名，當然要符合過去大家對概率的認知，滿足一些基本的條件。

在概率空間的架構下，不論採用何種方式解釋概率的人，都可各自表述，找到他所以為的概率意義。但因抽象化後，不再局限於銅板、骰子，及撲克牌等，便能討論較一般的問題，有夠多的理論可挖掘。

與數學的其他領域相比，概率論的發展是較晚的。但公理化後，概率論便快速地有了深而遠的發展，並成為數學中一重要的領域。這都要歸功於二十世紀那位重要的概率學家，俄國的科莫果洛夫(Andrey Nikolaevich Kolmogorov，1903-1987)，於他1933年出版，那本不到100頁的小書概率論的基礎(Foundationsof the Theory of Probability)中所奠定。在此書中，他說：

概率論作為數學學科，可以而且應該從公理開始發展，就如同幾何、代數一樣(Thetheory of probability as mathematical discipline can and shouldbe developed from axioms in exactly the same way as Geometry and Algebra)。

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