SOS！數學分析怎麼學，起源於何處，如何解決問題？

數學 , 始終伴隨著人類文明的發祥與發展 . 從遠古到公元前 6 世紀 , 由於計數和土地丈量的需要 , 人類開始認識自然數和簡單的幾何圖形 . 建於約公元前 2600 年的埃及法老胡夫金字塔 , 不僅是建築史上的奇蹟 , 其數學方面的成就也很讓人稱奇 . 例如 , 它的正方形塔基每邊長約 230m, 其正方程度與水平程度的平均誤差不超過萬分之一 . 這個階段只是數學的萌芽時期 . 公元前 6 世紀 Pythagoras ( 畢達哥拉斯 ) 學派與「萬物皆數論」的出現 ,標誌著初等數學時期 , 或稱常量數學時期的到來 . 其間出現了 Euclid ( 歐幾里得 ) 的《幾何原本》、 Archimedes ( 阿基米德 ) 求面積與體積的方法、 Apollonius ( 阿波羅尼奧斯 ) 的《圓錐曲線論》、 Ptolemaeus ( 托勒密 ) 的三角學以及 Diophantus ( 丟番圖 ) 的不定方程等 ,逐漸形成了初等數學的主要分支和現在中學數學的主要內容 . 17～18 世紀 , Newton ( 牛頓 )與 Leibniz ( 萊布尼茨 ) 等的微積分 ( 數學分析的主要內容 ) 的發明與發展 , 標誌著數學發展進入了近代變數數學時期 . 而 19 世紀以來 , 則可稱為現代數學時期 .

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數學代表了人類文明的理性精神

任何一種值得一提的文明 —— 精神財富的集中體現 , 都是要探究真理的 , 而其中最基本也是最偉大的真理是有關宇宙與人類自身的真理 . 地球、太陽系的謎團 , 如太陽的升與落、月亮的圓與缺、奇妙的日蝕與月蝕等 , 以及人類的起源、人生的目的與人類的歸宿等 ,這是我們的先祖們曾經迫切想搞清楚的問題 . 在人類文化剛開始萌芽的時期 , 人類剛從蒙昧中覺醒 , 迷信和原始宗教還控制著人類的精神世界 , 直到希臘文化的出現 . 古希臘人敢於正視自然、擯棄傳統觀念 . 他們之所以能如此 , 是因為他們發現了人類最偉大的發現之一 —— 推理 , 知道了人類是有智慧、有思維、能發現真理的 , 而不是只能聽從「神」的旨意的 . 而他們的思維與推理的成功 , 數學可謂功不可沒 . 可以說在這個時期 , 數學幫助人類從宗教和迷信的束縛下解放出來 , 同時也發展了數學自身 . 這個時期數學成就的頂峰就是 Pythagoras 學派的「萬物皆數論」與 Euclid 的《幾何原本》 .

進入中世紀後，在人類探索宇宙奧秘的過程中形成了「地心說」和「日心說」這兩種對立的觀點 . 為了捍衛「日心說」 , Kopernik ( 哥白尼 ) 、 Kepler ( 開普勒 ) 、 Galileo( 伽利略 )等人前赴後繼 , 逐步形成了 Kepler 三大定律和 Galileo 慣性定律、自由落體運動等物理定律以及重事實、重邏輯的近代科學 . Kepler 指出了行星的運動規律 , 可是為什麼行星會繞太陽轉呢 ? 支持其運動的動力來自何方 ? 天上的運動與地上的 Galileo 所描述的運動是內在統一的嗎 ? 當時的人們無法回答這些問題 , 只能期待時代偉人的出現 . 「自然界和自然規律隱藏在黑暗中 . 上帝說 , 讓 Newton 出生吧！於是一切都是光明 . 」 ( 英國文豪 Pope( 蒲伯 )). 其實 , 在 Newton 發明微積分之前 , 還有 Descartes ( 笛卡兒 ) 發明的坐標系與解析幾何、業餘數學家之王 Fermat ( 費馬 ) 的一系列工作以及 Newton 的「死敵」 Hooke ( 胡克 )等一大批偉人的貢獻 . Newton 自己在和 Hooke 的名利之爭中也不得不承認 , 「如果說我能看得更遠一些 , 那是因為我站在巨人的肩膀上」 ( 姑且不論他這裡所指的巨人是誰 ). 而發現哈雷彗星的回歸與太陽系的第八顆行星海王星 , 更是數學 , 特別是微積分作為人類文明理性精神的代表的最經典的詮釋 . [ 參見《數學與文化》 ( 齊民友 , 2008)]

Engels ( 恩格斯 ) 在其《自然辯證法》中就曾經說過：「在一切理論成果中 , 未必再有什麼像 17 世紀後半葉微積分的發明那樣被看作人類精神的最高勝利了 . 」這也足以看出微積分在人類理性文明中的至高無上的歷史地位 .

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一種科學只有在成功地運用數學時 , 才算達到真正完善的地步

按照法國的國際工人運動活動家、工人黨創始人之一的 Lafargue ( 拉法格 ) 在《憶馬克思》一書中的記載 , Marx ( 馬克思 ) 在距今一百多年以前就論斷 , 一種科學只有在成功地運用數學時 , 才算達到真正完善的地步 . 現在 , 人們已經普遍接受這樣的觀點：「哲學從一門學科中退出 , 意味著這門學科的建立；而數學進入一門學科 , 就意味著這門學科的成熟 . 」

不僅如此 , 更進一步 , 從 20 世紀 80 年代開始 , 人們已經認識到 , 高技術本質上是一種數學技術 . 這一觀點是美國前總統尼克松的科學顧問 David 於 1984 年 1 月 25 日在美國數學會 (American Mathematical Society, AMS) 和美國數學協會 (Mathematical Associationof America, MAA) 聯合年會上正式提出的 . 其實著名數學家華羅庚在更早的一次學術會議上也提出過這樣的觀點 . 從兩彈一星到核武器試驗 , 再到太空技術 , 都離不開數學的現代化 . 陳省身與楊振寧的數理合作更是現代科學相互滲透、相互依賴的典範 .

現代物理學家 Hawking ( 霍金 ) 說過「有人告訴我說我載入書中的每個等式都會讓銷量減半 . 然而 , 我還是把一個等式寫進書中 —— 愛因斯坦最有名的那個 : E = mc 2 . 但願這不會嚇跑我一半的潛在讀者 . 」這表明現代自然科學已經離不開數學 . 而在社會科學方面 ,以往是沒有數學的地位的 , 現在情況發生了根本變化 . 經濟、金融甚至政治 , 都極大地數學化 . 據統計 , 近 10 年來 , 諾貝爾經濟學獎獲得者有一半以上有數學學位或履歷.

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數學分析課程的重要性

數學分析 (mathematical analysis), 又稱高等微積分 (advanced calculus), 是變數數學的核心 , 同時它也是現代數學的三大分支 —— 分析、代數和幾何中的分析學的基礎 . 數學分析的研究對象是一般的函數 , 研究手段主要是極限 . 最成功之處在於解決初等數學中無法解決的諸如一般曲線的切線問題和不規則圖形 ( 如曲邊梯形 ) 的面積問題等 , 因此在天文、力學、幾何以及經濟、金融等方面有著廣泛的應用 .

從學科分類來看 , 數學、統計學等都是一級學科 , 在數學一級學科下分為五個二級學科 : 基礎數學 , 計算數學 , 概率論與數理統計 , 應用數學 , 運籌與控制論 . 目前 , 數學學科的研究生專業即按此分類 . 而本科數學與統計學科則包含三個專業 , 分別是數學與應用數學專業、信息與計算科學專業以及統計學專業 .

數學分析是這三個專業的大類學科課程與核心課程 , 它對應於非數學專業的高等數學課程 ( 廣義的高等數學則是指除初等數學以外的所有現代數學 ), 被公認為是這三個專業最重要的基礎課程 , 位於傳統的「三高」 ( 高等微積分、高等代數、高等幾何 ( 解析幾何 ))之首 , 學分數佔大學本科四年總學分的十分之一 . 它不僅是數學與統計學專業學生進校後首先面臨的一門重要課程 , 而且整個大學本科階段的幾乎所有的分析類課程在本質上都可以看作是它的延伸和應用 . 可以這樣說 , 其重要性無論怎麼強調都不過分 .

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如何學好數學分析

數學分析這門課程內容豐富、邏輯嚴密、思想方法靈活 , 且應用領域又十分廣泛 , 所以要想學好它 , 必須深刻理解其基本概念的思想內涵 , 養成善於思考、認真鑽研、靈活應用等學習習慣 . 首先 , 必須認真鑽研教材 , 並用心研讀相當數量的參考書 , 其目的是弄清楚主要概念和定理的背景、含義、本質及作用 , 避免死記硬背 . 常見的參考書有《數學分析》 ( 華東師範大學數學系 , 2001) 、《數學分析》 ( 陳紀修等 , 2004) 、《數學分析教程》 ( 李忠和方麗萍 , 2008), 起點更高的有《數學分析》 ( 卓里奇 , 2006) 、Principles of Mathematical Analysis(Rudin, 1976) 等 . 其次 , 為了加深理解 , 幾何直觀是很好的幫手 . 但是不能以直觀替代嚴密推導 . 思考問題時應避免想當然 , 避免以特殊代替一般 . 每一步推理或判斷都要合乎邏輯、有根有據 . 再次 , 要有相當強度的基礎訓練 . 訓練的目的不僅在於模仿和記憶 , 更在於加深理解 , 掌握方法 . 當然光理解還不夠 , 要在理解的基礎上做到熟練 . 學習指導書或習題課教程也是值得大家認真讀的 , 例如 , 《數學分析學習指導書》 ( 吳良森等 ,2004) 、《數學分析習題課講義》 ( 謝惠民等 , 2003).

數學分析是數學學院學生最先學習的課程 , 對儘快適應大學階段的學習顯得很重要 .只要大家按照上面的建議 , 並根據自己的實際情況 , 多思考、多討論、多總結 , 舉一反三 ,就一定能練就紮實的分析功底 , 並為後繼課程的學習打下堅實基礎.

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關於本書

本書是根據我 20 多年連續講授「數學分析」課程的實踐 , 結合泛函分析的教學與科研工作的體會寫成的 , 並且已經連續使用近 10 年 . 本書取名為「講義」 , 其特點就是一切為讀者所想 , 特別適合初學者 . 本書既注重數學思想和嚴格的邏輯推導 , 又突出實際背景與幾何直觀 ; 寫作語言既嚴謹又樸實 , 並適當穿插數學文化 , 提高學生學習興趣 ; 盡量體現先易後難的原則 , 例如，實數連續性理論的安排、可積性的討論等都分步走 , 便於學生接受 ; 習題的安排分類分層次，即分為 A 、 B 、 C 三類 , 其中 , A 類是基本題 , B 類是提高題 , C 類是討論題 . 本書對討論題給予更多關注 , 目的在於幫助學生釐清概念 , 這往往是學生的軟肋 , 同時也能增強研學與創新能力 .

按照現在通行的講授三個學期的現狀 , 教材分為三冊 . 但本書的結構體系進行了較大的調整：第一冊的內容包括極限、連續、導數及其逆運算 ( 不定積分 ), 第二冊的內容包括實數理論續 ( 含上極限與下極限、歐氏空間 ) 、定積分及多元微積分 , 第三冊的內容包括級數與反常積分 ( 含參變數積分 ) 等 .

為了儘快接觸到微積分的主要內容 , 體會到微積分的巨大成功 , 同時又照顧到讀者學習的便利 , 第一冊選擇儘可能少的實數理論做基礎即展開極限與連續以及微分學的討論 ,而把比較複雜的證明 ( 包括實數等價命題和上、下極限的討論 ) 放到第二冊開頭 , 並把歐氏空間理論也放到開頭這一章 , 作為實數連續性的自然推廣 . 這樣的結構對於為學生打好堅實的數學基礎也很有幫助 , 也為接下去進行嚴格的可積性推導奠定基礎 . 注意到反常積分 , 包括反常重積分 , 和級數有較多的相似性 , 例如都是有限情況取極限以及目標相同：重點研究收斂性 , 判別法也類似等 , 因此將這兩者組合在同一冊里也是恰當的 , 也將給讀者的學習帶來極大便利.

張福保 2019 年1月 於東南大學九龍湖校區

圖片來源：Pixabay

本文摘選自張福保、薛星美、潮小李編《數學分析講義》一書文前部分，標題為編輯所加。

數學分析講義(第一冊)

張福保 薛星美 潮小李 編

數學分析講義(第二冊)

張福保 薛星美 潮小李 編

數學分析講義(第三冊)

張福保 薛星美 潮小李 編

內容簡介

本書是作者在東南大學連續20多年講授「數學分析」課程的基礎上寫成的，並已連續試用近10年。本書取名為「講義」，最大特點就是一切從讀者的角度去講解，既注重數學思想的闡述和嚴格的邏輯推導，又突出實際背景與幾何直觀的描述，並適當穿插了一些數學文化的介紹。在編排上盡量體現先易後難和分步走的原則。習題分類安排，即分為A、B、C三類。其中，A類是基本題，B類是提高題，C類是討論題。本書對討論題給予更多關注，目的在於幫助學生釐清概念，增強研學與創新能力。

本書分為三冊，第一冊包括極限、連續、導數及其逆運算(不定積分)，第二冊包括實數理論續(含上極限、下極限、歐氏空間)、定積分及多元微積分，第三冊包括級數與反常積分(含參變數積分)等。

（本期編輯：王芳）

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