圓周率精度領先世界800年！祖沖之是如何做到的？

祖沖之是我國古代著名的數學家和天文學家，他在數學上最重要的成就是把圓周率的小數位史無前例地計算到第七位，這個精度在隨後的800年里一直是世界第一。那時是公元480年，一切都要依靠手工計算的時代（甚至算盤可能還沒有出現），算個開方都費勁，那麼，祖沖之是如何算出精度這麼高的圓周率呢？

圓周率並不是通過先作圓，然後量周長和直徑，最後算出來的。因為這樣做的誤差很大，測量誤差不可避免。事實上，古代數學家在很長一段時間裡都是用幾何方法來計算圓周率。

祖沖之算圓周率所使用的方法是劉徽發明的割圓術，這與阿基米德所用的方法有些不同。阿基米德通過做圓的外切和內接正多邊形，來計算圓周率的上下限，因為邊數越多的正多邊形越接近於圓。

劉徽的割圓術基於圓的內接正多邊形，他用正多邊形的面積來逼近圓的面積。分割越多，內接正多邊形和圓之間的面積越來越小，兩者越來接近。無限分割之後，內接正多邊形和圓將會合二為一。

如上圖所示，在一個半徑為r的圓中做正3×2^n（n為正整數）邊形，假設其邊長為a_n，即AB=a_n。AB的中點為P，連接OP交圓於C。那麼，AC和BC就是正3×2^(n 1)邊形的邊長，可以表示為a_(n 1)。

在直角三角形AOP中，根據勾股定理：

OA^2=AP^2 OP^2

令OP=b_n，由此可得：

令PC=c_n，c_n=PC=OC-OP=r-b_n

在直角三角形APC中，根據勾股定理：

AC^2=AP^2 PC^2

由此可得：

知道正3×2^n邊形的邊長之後，再根據劉徽多邊形面積公式，可以算出正6×2^n邊形的面積。根據上述正多邊形邊長的迭代公式，不斷的把圓分割下去，圓面積的計算精度會越來越高。

在劉徽的方法中，引入了極限和無窮小分割的思想。劉徽的方法更為巧妙，也更為簡潔。劉徽算到了正3072邊形，結果得到的圓周率為3.1416。

祖沖之在劉徽割圓術的基礎上，算到了正24576邊形，並根據劉徽圓周率不等式，確定了圓周率的下限（肭數）為3.1415926，上限（盈數）為3.1415927。並且，祖沖之還順便給出了圓周率的一個近似分數355/113，其前六位都是正確的。

在沒有計算機和算盤的幫助下，祖沖之用算籌來計算乘方和開方，硬生生地把圓周率的小數位算到了第七位，這需要極其巨大的毅力和艱苦卓絕的付出。在祖沖之的努力下，此後800年里，沒有人能夠算出比這精度更高的圓周率。

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