塔斯基、哥德爾與真概念的不可定義性
塔斯基、哥德爾
與真概念的不可定義性
周志榮
作者簡介：周志榮(1982-)，男，江蘇南京人，哲學博士，中南財經政法大學哲學院副教授，研究方向為邏輯哲學、分析哲學，武漢 430073
人大複印：《邏輯》2018 年 01 期
原發期刊：《科學技術哲學研究》2017 年第 20176 期 第 42-47 頁
關鍵詞：真之定義/ 真之理論/ 不可定義性/ 塔斯基定理/ 不完全性定理 definition of truth/ theory of truth/ undefinablity/ Tarksi"s theorem/ incompleteness theorem/
摘要：哥德爾優先於塔斯基發現了算術真概念的不可定義性，這導致有的學者對塔斯基定理乃至塔斯基真之定義理論的價值產生懷疑。這種懷疑可以通過三個方面得到消除：首先，哥德爾只能「發現」而塔斯基卻能給出嚴格的形式證明，原因在於塔斯基提出了嚴格的真之定義理論。其次，這個理論同樣對哥德爾的工作具有重要意義，它提供的T-語句和T-約定使得哥德爾定理的證明不必再迴避使用真概念，使得語義證明成為可能。最後，塔斯基的真之定義理論還可以導出一系列不可定義性的推論，即「廣義的塔斯基定理」。這些推論超出了哥德爾的發現，對於真之問題的研究有著極為重要的哲學意義。
塔斯基在1933年證明了算術真概念的不可定義性定理(以下簡稱「塔斯基定理」)，即皮亞諾算術語言(LPA)的真謂詞在該語言自身中不可定義。在該定理的證明中，塔斯基使用了哥德爾的配數法以及對角線引理。塔斯基定理可以直接推導出哥德爾第一不完全性定理(下文簡稱「不完全性定理」)。但哥德爾在1931年發表不完全性定理的證明時所採用的並不是這種證明途徑，也沒有明顯使用算術真概念。哥德爾在1931年給策梅羅的一份回信中稱，他之所以在定理證明中不使用真概念，是因為他在1930年已經發現類似於LPA的算術語言的真謂詞在自身中是不可表達的。近年來，在學界產生了所謂的「優先性問題」之爭[1]153，即爭議究竟誰優先發現了算術真概念的不可定義性。這個問題導致有的學者對塔斯基定理乃至他的真之定義理論的相對價值產生懷疑。本文旨在通過論證以下幾點來消除這種懷疑：首先，由於缺乏T-語句和T-約定這樣的工具，哥德爾只能局限於發現算術真概念的不可定義性，而無法證明這一點。其次，塔斯基定理的證明必須基於嚴格的塔斯基式的真之定義理論，而該理論對於哥德爾本身的工作而言同樣非常重要。最後，塔斯基定理的推論超出了哥德爾的發現，對普遍的真之問題做出了回答，從而使得塔斯基定理以及真之定義理論本身具有了更重要、更普遍的哲學意義。
王憲鈞先生的傑出學生
王浩的著作
講述哥德爾的哲學思想
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一、哥德爾的「發現」與塔斯基的「證明」
哥德爾並沒有在公開發表的文獻中對不可定義定理做出精確表述以及嚴格證明，確切地說，他是在給別人的一些信件中提到了該定理。例如，在1966年給布克斯的一份回應信中，哥德爾明確說：「……A的語句的真概念在A中不能被定義。……然而，我在1931年的論文中並沒有明確表達它，而僅僅是在1934年的普林斯頓的講稿中表達了它。相同的定理被塔斯基在他1933年關於真概念的一篇論文中證明了。」[4]當然，最有說服力的證據當屬哥德爾1931年10月12日給策梅羅的一封信。在這封信中，哥德爾提到了算術真概念的不可定義性，只不過他並沒有使用「真(wahrheit/truth)」這個詞，而是使用了「正確性(richtig/correct)」這個詞：「正確公式的集合藉助給定系統[即算術系統]的符號集是不可表達的。」[5]427就這封信的內容和時間而言，哥德爾確實在1931年之前已經發現了算術真概念(正確公式)的不可定義性。因此，可以說「哥德爾優先於塔斯基」[6]161[7]。
實際上，我們在1931年的這封信中還可以看到，發現算術真概念的不可定義性對於哥德爾進一步發現不完全性定理而言至關重要。關於這一點，我們還可以在王浩[8]等人的回憶性文獻中找到確鑿的證據支持。這些文獻表明，哥德爾不止一次聲稱，算術真概念在算術語言中不可定義而證明概念可定義，促使他意識到算術系統的不完全性。儘管如此，哥德爾在1931年正式發表的論文時，並沒有使用算術真概念以及它的不可定義性。事實上，直到1934年，哥德爾在他的普林斯頓講稿中才公開談到不完全性定理與說謊者悖論之間的關係，並在腳註中提到塔斯基1933年的工作，而這些講稿直到1965年才得以正式出版。哥德爾的發現並沒有及時體現在他公開發表的文獻中，這是「哥德爾優先於塔斯基發現了算術真概念的不可定義性」這一點不為世人所知的原因。
哥德爾既沒有為他的發現提供嚴格證明，也沒有公開發表這個發現；但很快塔斯基就獨立發現了同樣的現象，並藉助哥德爾的配數法以及對角線引理對此給出了形式證明[9]248-251，因此算術真概念的不可定義性定理又被稱為「塔斯基定理」。現在的問題是，為何哥德爾沒有公開自己的發現，沒有像塔斯基那樣嘗試對算術真概念不可定義性做出嚴格證明進而導出他的不完全性定理？為何他要迴避真概念？
費弗曼、沃勒斯基等人認為哥德爾沒有將自己的發現作為重要成果論述出來是因為他謹慎小心[6]163[10]。哥德爾堅信算術真概念的客觀性，但礙於當時學術圈主流勢力(比如以希爾伯特為代表的哥廷根學派和以石里克為代表的維也納學派)的真之觀念，擔心如果不完全性定理假設了真概念就會被主流拒絕[6]160。相對而言，塔斯基則沒有這樣的擔憂，這使得他可以發表構造真之定義的方法並為塔斯基定理提供嚴格的證明。我們如果將哥德爾迴避使用算術真概念完全歸因於他的性格，理由顯然不夠充分。因為，哥德爾的不完全性定理本身也是在挑戰權威。同樣，將塔斯基能夠公開發表自己的證明過程歸因於他的勇氣也有欠妥當，雖然塔斯基的研究恰恰沿襲了他所在的利沃夫-華沙學派的研究傳統[12]，但他的成果同樣不受當時主流的歡迎。
哥德爾與塔斯基對於算術真概念的不可定義性的不同態度大概不僅僅是他們的性格原因造成的，這種不同應該歸咎於「發現」與「證明」之間的差別。塔斯基在真之定義方面工作的重要性正是體現在這種差別上：塔斯基之所以能夠給出證明，是因為他使用了T-語句和T-約定，其與對角線引理相結合時就能邏輯地導出矛盾。顯然，如果只有哥德爾的對角線引理是不足以導出矛盾的，換言之，塔斯基的T-語句和T-約定是必要的。哥德爾沒有對構造一個正確的真之定義提出清晰的標準，他的發現乃基於一種直觀的真概念，但是他的發現同樣在很大程度上阻止了其對真概念進行定義的嘗試。這恰恰是哥德爾只能「發現」，而塔斯基能夠給出「證明」的關鍵。接下來的論證將更清楚地表明這一點。此外，我們還可以看到，塔斯基的真之定義理論對哥德爾的不完全性定理的證明同樣有著重要的意義。
二、哥德爾的不完全性定理與算術真概念
哥德爾的不完全性定理斷定：在算術系統PA中存在不可判定的算術語句。[13]185由於哥德爾在1930年就已發現了算術真概念的不可定義性，所以對他而言，至少有兩種不同的方式來證明不完全性定理：語法方式和語義方式，前者可以迴避算術真概念，而後者則需要借用算術真概念及其不可定義性的特徵。在1931年公開發表的那篇經典論文中，哥德爾選擇了前者，儘管在1930年他就已經發現了語義方式的證明。為了弄清楚哥德爾做出選擇的真正動機，我們有必要比較一下這兩種證明方式，以便指出第二種證明方式的問題
首先，哥德爾在1932年9月11日給卡爾納普的信中說：「在我作品的第二部分中，我將對『真(wahre/truth)』給出定義，而我的觀點是，否則事情就沒法做，並且人們也不能在語義學涵義上考察更高階的函數演算」[5]347。在1931年論文的腳註48a中，哥德爾補充說：「如同在這篇論文的第二部分中所要證明的那樣，我們可以發現，所有數學形式系統的不完全性的真正根源在於這樣的事實，即更高類型的構造將會持續到超窮，而在每個形式系統中只能出現至多可數個類型。換言之，可以證明這裡所提出的不可判定命題可以通過添加合適的更高的類型變得可判定」[13]181不難看出，第二部分的工作恰恰由塔斯基在1933年完成了。除此之外，還有史料表明，哥德爾在1932年與海汀有一個合作項目，計劃編寫一個關於當時數理邏輯研究現狀的概論。海汀完成了第一個部分，而哥德爾由於身體原因並沒有完成第二個部分。由這些證據，我們有理由相信哥德爾確實有計劃發展一種真概念之定義或理論[1]159[10]。
其次，哥德爾想要定義真概念，還有一種可能的動機：在1929年和1930年的完全性定理的證明中所使用的「有效性」概念其實是未經嚴格定義的直觀概念。今天，這個概念可以藉助基於塔斯基的真之理論的模型論語義學而得到精確刻畫，但根據費弗曼的論述[6]161，非形式的真概念以及滿足概念的使用在數學中有很長的傳統，哥德爾本身堅持客觀主義的真之觀念，所以他不會覺得這種非形式地使用是沒有問題的。即使哥德爾本人可能不同意塔斯基定義真概念的方式，但他也需要對真概念做出嚴格定義，以便徹底消除存在於自己理論中的隱患。此外，通常被人們忽視的是，即使在1931年的論文中，哥德爾闡述不完全性定理的非形式證明時也使用了真概念：
基於以上兩個方面，無論就主觀的意願還是就客觀的需要而言，真概念在哥德爾的工作中都是一個值得重視的概念。即使是為了證明算術真概念的不可定義性，一個嚴格的真之定義理論也是必要的。這正是塔斯基在真之理論方面工作的重點。穆拉夫斯基強調說：「事實上，塔斯基不僅證明了不可定義性——儘管這是他的主要成績，他還對滿足和真給出了精確的歸納定義。」[1]158-159但是我認為，後者要比前者更為重要，因為如果沒有後者，一方面，塔斯基就會與哥德爾一樣僅限於「發現」算術真概念的不可定義性；而另一方面，哥德爾就只能選擇語法的方式來證明不完全性定理。退一步講，即使僅就真概念的不可定義性而言，塔斯基「證明」的結果實際上也超出了哥德爾的「發現」。接下來，本文將對此予以論證。
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三、廣義的塔斯基定理
在1933年的著名論文中，塔斯基主要做了兩個工作，在該文的前半部分，塔斯基討論了真概念的可定義性問題，明確刻畫了真之定義的兩個要求，即形式正確性和實質恰當性要求。重要的是，塔斯基給出了例證表明，按照這兩個要求，有窮階的語言的真謂詞都是可定義的。在第二部分中，塔斯基證明了普遍類演算語言的真謂詞的不可定義性，由於他的證明是以普遍類演算語言與算術語之間的同構性為前提的，所以「塔斯基定理」更多時候被用於指算術真概念的不可定義定理。
根據形式正確性的要求，一個語言L的真謂詞定義必須針對該語言中的所有語句要蘊涵一個形如「s是真p」這樣的T-語句；實質恰當性要求該T-語句中「s」是L中的語句在元語言中的名字，而「p」則是該語句在元語言中的翻譯。這兩個要求包含了兩條核心原則：(1)語言分層原則，即對象語言的真謂詞必須在「本質上更為豐富的」元語言中進行定義，這意味著元語言必須包含比對象語言中更高階的語義範疇，以及(2)組合性原則，即元語言必須刻畫對象語言語句的邏輯結構：特定語義類型的語句只能由同樣類型的較簡單的語句或公式構成。嚴格來說，第一個原則是針對元語言的，而第二原則是針對對象語言的。塔斯基對真之定義提出的形式要求所帶來的直接的積極後果是，它使得構造一些有窮階語言(例如一階謂詞邏輯語言)的真之定義成為現實，而間接的積極後果是，它促使模型論語義學的誕生，從而使研究各種系統的元理論的性質(例如可靠性、完全性)成為可能，奠定了我們今天研究邏輯系統的基本模式。當然，塔斯基的理論還蘊涵了消極的後果，其中最重要的就是塔斯基定理。
塔斯基定理的證明並沒有直接援用這兩條原則，不過它們卻可被視為算術真概念不可定義的原因，基於同樣的原因，塔斯基定理的結果也適用於其他一些語言。為節約空間，我們簡要將塔斯基定理的證明過程複述如下。塔斯基定理由兩個部分構成：「(Ⅰ)不管以何種方式在元理論中定義了指示一個表達式類的符號『Tr』，由此將可能推導出在T-約定的條件(α)中所描述的一個語句的否定；(Ⅱ)假設元理論的所有可證語句的類是一致的，基於這樣的元理論不可能構造T-約定涵義上的一種恰當的真之定義。」[9]247證明(Ⅱ)是關鍵，(Ⅱ)不過是(Ⅰ)的一個直接推論而已。
如前所述，在塔斯基的證明中，T-語句的使用非常重要。T-語句和對角線引理合起來可推出：中可定義的任意謂詞與真謂詞「Tr」都不可能有共同的外延。這個推論正是哥德爾的「發現」，顯然如果沒有塔斯基的工作，這個發現就難以得到恰當的形式表達與證明。然而，塔斯基工作的重要性並不局限於此，它還為算術真概念的不可定義性找到了根源：這是我們試圖中定義其自己的真謂詞的結果，這種做法既違背了語言分層原則，也違背了組合性原則。
值得注意的是，普遍類演算語言與是存在本質區別的。前者的真謂詞根本無法得到定義，是因為這種語言本身就是無窮高階的，除非我們能夠允許並且找到某個合適的超窮高階語言作為其元語言，否則我們只能在它自身中定義它的真謂詞[9]246，這顯然會違背真之定義的兩個原則，可見這種語言的真謂詞的不可定義性在某種程度上說是絕對的。而後者則很容易找到一種足夠豐富的元語言(例如適當的二階算術語言[14])，在該元語言中的真謂詞可以得到定義。這意味著，與普遍類演算語言的真謂詞相比，算術語言的真謂詞並不是絕對不可定義的。哥德爾在1931年論文的腳註48a中也提到了這一點，只不過如前所述，他並沒有為此提供嚴格的論證。
基於算術真概念之不可定義性的根源，我們還可以由塔斯基的真之定義理論很自然地推導出：(1)無窮階語言的真謂詞是不可定義的，除非存在超窮階語言；(2)L[，PA]的所有一致擴張語言的真謂詞在其自身中都是不可定義的。這兩個推論很自然會引發這樣的疑問：是否還有其他語言的真謂詞是不可定義的？最直接的、也最常見的答案就是自然語言。與普遍類演算語言相似，自然語言也是一種無窮階語言。因此，塔斯基的真之定義理論同樣也能夠解釋自然語言的真謂詞為何是不可定義的。不僅如此，塔斯基還否定了由各種語言片段的真謂詞的部分定義得到普遍語言的真謂詞定義的可能性。換言之，我們日常使用的普遍的真概念也是不可定義的。
以上這些推論可被稱為「廣義的塔斯基定理」。雖然它們都是消極的，但這為我們理解真之問題提供了重要的視角。正是這些消極的推論促使哲學家和邏輯學家逐漸放棄為普遍真概念提供統一定義的努力，從而分別轉向真之緊縮論和公理化的真之理論系統的研究[15]。這些推論及其附帶的後果無論在內容上還是意義上顯然都超越了哥德爾的「發現」，而它們都可以從塔斯基在真之定義理論方面所取得的重要成果那裡找到直接或間接的根源。
四、結論
哥德爾先於塔斯基發現了算術真概念的不可定義性，但他沒有給予嚴格證明。因為哥德爾僅僅持有直觀的、非形式的真概念，而證明這個發現需要嚴格的真概念以及真之定義理論。這是塔斯基能夠提供形式證明、而哥德爾在公開發表的論文中只能選擇迴避使用真概念的根本原因。此外，嚴格的真概念和真之定義理論對哥德爾完全性和不完全性定理的證明同樣十分重要。這大概是哥德爾曾經計劃定義真概念的直接原因。正是基於塔斯基的真之定義理論，今天人們才能為哥德爾定理提供語義證明。最後，塔斯基定理的證明較之哥德爾的「發現」對於真之問題而言有著更為普遍的意義：由塔斯基的證明及其真之定義理論可以導出一系列消極的推論，這些推論表明普遍的真概念不可能得到定義。這引起了後來學界關於真之問題的更為深刻的哲學思考，從而推動真之理論研究在新的方向獲得發展。
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王浩在《超越分析哲學》一書中不僅談到了對於塔斯基在真之定義方面的工作的負面評價，還斷言說：「現在似乎很明顯，哥德爾在本質性的方面不僅先於塔斯基，而且對相關的東西理解得更好。」[2]此外，這種懷疑多少也與塔斯基在他的文章中總是提到哥德爾，而除了在一些腳註中，哥德爾卻極少提到與塔斯基有關的內容有關。根據克拉耶夫斯基的分析，這表明塔斯基的工作「對哥德爾沒有任何幫助」[3]316-319。
哥德爾在給學生約瑟夫·巴拉斯的一份回信中說得很清楚：「出於我們那個時代的哲學偏見……客觀的算術真概念，與可證實性相反，被視為最不可靠的概念且作為無意義的東西而被拒斥」[6]160[11]。
塔斯基的證明是這樣：我們令φ(x)是算術語言中任意僅包含自由變元x的公式，藉助哥德爾配數法，令是A的哥德爾數。根據對角線引理，對任意算術公式φ(x)，都存在一個語句γ使得γφ()在算術系統PA中可證。現假設的真謂詞「Tr」在該語言中可定義，即對任意算術語句ψ，Tr()ψ在系統中可證。又因為γTr()也可證，所以根據簡單的邏輯推理規則不難得到：Tr()γ和(Tr()γ))都是系統中的定理。於是，矛盾。
為便於理解，這裡沒有採用哥德爾本人使用的表述方式，而是採用了目前學界慣用的表述方式。按照哥德爾本人的表述，他構造了一個自然數集K：n∈KBew[R(n)；n]，其中，「Bew(x)」意味著「x是可證的公式」；「[R(n)；n]」指稱公式R(n)。然後哥德爾證明，存在自然數q，使得[R(q)；q]指稱公式q∈K，即存在自然數q，使得q∈KBew[R(q)；q]，這就是對角線引理。
由哥德爾配數法，每個算術公式都對應一個自然數n，即該公式的哥德爾數；同樣，算術系統中的每個證明都有一個自然數m與之相對應。「Prf(m，n)」表示m是n的證明，而「Pr(n)」則表示「x(Prf(x，n))」即存在關於n的證明。
根據科勒爾的解釋，這裡的「工作的第二部分」指的是哥德爾與海汀(A.Heyting)合作的項目[1]153。不過，這裡的分歧並不影響我們看出哥德爾對真概念的態度。
哥德爾之所以不再推進他定義真概念的計劃，除了身體原因之外，有一個可能的重要原因，就是塔斯基於1930年和1935年兩次訪問維也納學派，都與哥德爾有過直接交流，塔斯基關於真之定義的工作主要成果在1929-1930年已經完成，而《形式化語言中的真概念定義》一文波蘭文版在1933年完成，德文版在1935年已經完成，算術真概念的不可定義定理也在這篇文章中得到嚴格證明。我們可以想像，在交談中，哥德爾應該能夠獲知塔斯基的工作成果，所以哥德爾1935年之後開始考慮連續統假設的證明問題，真之定義當然也不再是他關心和要解決的問題。
克拉耶夫斯基主張這個觀點[3]321，並且認為這是哥德爾很少在文獻中提到塔斯基的真之理論的原因，但本人並不覺得這個觀點是可靠的，由於與本文主題關係不大，限於篇幅，對此不便展開論述。
參考文獻：
[1]MURAWSKI R.Undefinability of truth.The problem of priority:Tarski vs.Gdel[J].History and philosophy of logic,1998,19(3):153-160.
[2]WANG H.Beyond analytic philosophy.Doing justice to what we know[M].Cambridge:The MIT Press,1986:144.
[3]KRAJEWSKI S.Gdel on Tarski[J].Annals of pure and applied logic,2004,127:303-323.
[4]VON NEUMANN J.Theory of self-reproducing automata[M].Urbana:University of Illinois Press,1966:55-56.
[5]GDEL K.Collected works:vol.V[C].FEFERMAN S,DAWSON Jr J W,GOLDFARB W,et al.Oxford:Oxford University Press,2003.
[6]FEFERMAN S.Kurt Gdel:Conviction and caution(1984)[C]//FEFERMAN S.In the light of logic.New York:Oxford University Press,1998.
[7]WOLENSKI J.Gdel,Tarski and truth[J].Revue internationale de philosophie,2005,234(4):460.
[8]WANG H.Some facts about Kurt Gdel[J].The journal of symbolic logic,1981,46(3):654.
[9]TAESKI A.The concept of truth in formalized languages(1933)[C]//WOODGER J H.Logic,semantics,metamathematics.Oxford:The Clarendon Press,1956.
[10]WOLENSKI J.Gdel,Tarski and the undefinability of truth(1993)[C]//WOLENSKI J.Essays in the history of logic and logical philosophy.Cracow:Jagiellonian University Press,1999:134-138.
[11]MURAWSKI R.Truth vs.provability-philosophical and historical remarks[J].Logic and logical philosophy,2004,10:93-117.
[12]NIINILUOTO I.Theories of truth:Vienna,Berlin,and Warsaw[C]//WOLENSKI J,KHLER E.Tarski and the Vienna Circle.Dordrecht:Kluwer Academic Publishers,1999:17.
[13]GDEL K.On formally undecidable propositions of Principia Mathematica and related systems(1931)[C]//FEFERMAN S,DAWSON Jr J W,GOLDFARB W,et al.Collected works:Vol.I.Oxford:Oxford University Press,1986.
[14]MURAWSKI R.Undefinability vs.definability of satisfaction and truth[C]//WOLENSKI J,KHLER E.Tarski and the Vienna Circle.Dordrecht:Kluwer Academic Publishers,1999:212.
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