陶哲軒向這一猜想發起挑戰，是一步之遙，還是前路漫漫？
1.
在剛剛過去的9月，我們離解決一個已存在了82年之久的數學謎題又近了一步。帶來這次突破的是著名數學家陶哲軒（Terence Tao）。雖然這是一個讓人喜聞樂見的進展，但是許多數學家，包括陶哲軒在內，都認為要真正完全解開這個謎題，還有很長一段路要走。
陶哲軒是我們這個時代最偉大的數學家之一。21歲時，他就在普林斯頓大學獲得了博士學位；24歲的他便成為了加州大學洛杉磯分校最年輕的數學教授。2006年，31歲的他獲得了數學領域的最高獎——菲爾茲獎。
除了在學術上的閃耀成就之外，陶哲軒的另一個值得稱道之處還在於他非常願意與公眾分享數學世界中的奇思妙想。他的個人博客就像是現代版的達芬奇筆記本，你可以在那裡看到他對幾乎高等數學中的所有課題的探討。
這次，他為數學中的一個重大的難題——考拉茲猜想帶來了進展，這個猜想是德國數學家洛塔爾·考拉茲（Lothar Collatz）於1937年提出的。
2.
要介紹考拉茲猜想，讓我們先來認識一下上圖中所示的函數f(n)：n為任意自然數，它的規則是當n為偶數時，函數值為n的一半；當n為奇數時，函數值比n的三倍多1。取任意自然數，一遍又一遍地代入這個函數中，循環往複，最終就會得到1。
例如取 n = 10，因為10是偶數，所以按照規則要除以2，得到5；5是奇數，所以5乘以3再加1得到16；現在16是偶數，它的1/2等於8；8再減半得到4；4再減半得到2，最後2的一半變成了1。
考拉茲猜想說的就是，以任何自然數開始代入這個方程，都將不可避免地最終以1結尾。
目前，這個猜想已經驗證了102?以內的數字，但從數學的角度上看，即使計算機能對100、1000位的數字進行驗證，也無法證明這一猜想對所有的自然數都成立。
3.
這一猜想屬於數學學科中的動力系統領域，或者說是一種研究以半可預測式的方式隨時間變化的情況。這看起來是一個簡單的、無傷大雅的問題，而這正是它的特別之處。為什麼這樣一個基本的問題如此難回答？它是我們理解的基準，一旦我們解決了這個問題，我們就可以著手處理更加複雜的問題。
動力系統的研究可能會變得比今天任何人所能想像到的更加穩健。但前提是，我們需要讓考拉茲猜想得到解決，才能促使這個課題的蓬勃發展。
陶哲軒最近的研究就以某種微妙的方式讓考拉茲猜想幾乎得到了解決。9月10日，他在博客上發表了一篇標題為《幾乎所有的考拉茲序列都得到了幾乎有界值》的文章。考拉茲序列就是在上面的例子中所看到的那一系列將數字代入公式中的步驟，比如10的考拉茨序列是（10、5、16、8、4、2、1、4、2、1、…），由於4的一半是2，2的一半是1，而3×1+1=4，所以考拉茲序列最後會一直在4、2、1上循環。
在陶哲軒的陳述中，他強調了「幾乎」一詞，這也是阻攔在完全求解之前的最後一道障礙。這個詞語在不同的數學語境中有不同的含義。在這裡，與這個「幾乎」相關的專業術語是對數密度，它描述了如果真的存在考拉茲猜想的反例的話，反例的罕見程度會是多少。
這樣的反例的確有可能存在，但當沿著數軸越往大的數字延伸時，它們的頻率就會趨近於0。但數學的最終目標是要證明這樣的反例根本不存在。雖然陶哲軒的研究結果表明，考拉茲猜想的反例是極其罕見的，但它仍有別於「完全不存在」。
4.
新的突破讓我們知道，這樣的反例比之前知道的還要少。那麼問題中未被解決的還剩下多少？我們離一個完整的證明是否只差一步之遙？陶哲軒給出的答案是，還差得很遠。
在博文的評論中，陶哲軒表示新的方法或許能給我們一個非常接近的解，但僅利用這種方法就完全解開這個問題的可能性非常渺茫。因此接下來，數學家們雖然可以利用陶哲軒的最新方法來處理其他的一些問題。但目前看來，或許還需要花上幾十年的時間，以及發展出全新的技巧，才能完全證明考拉茲猜想。
參考來源：
https://terrytao.wordpress.com/
