顛覆認知！無窮竟然可以比較大小？他打開了第三次數學危機的魔盒
出品：科普中國
製作：中國科學院數學與系統科學研究院 黃逸文
監製：中國科學院計算機網路信息中心
人們很早以前就明白：如果把一堆具有某種特定性質的元素放在一起，就能組成一個集合。研究集合的理論在數學上被稱為集合論。它是眾多數學理論的分支之一。然而，它在數學中卻具有最為特殊的地位，它的基本概念已經滲透到幾乎所有的數學領域之中。
經過兩千多年的發展，數學已經構建出一座無比富麗堂皇的宏偉大廈。集合論，卻始終是這座大廈最底層的根基。如果集合論出現了裂痕，整個數學大廈都可能搖搖欲墜。令人唏噓的是，第三次數學危機就發生在數學的基石之上。一個關於集合的悖論很快以摧枯拉朽之勢席捲了數學界，不僅讓集合論風雨飄搖，更是差點將現代數學毀於一旦。
兩千多年以來，數學家研究的實體都是基於有限的集合，沒有人試圖踏入無窮的世界。"無窮"的概念顯然超越了所有人的認知，它讓一切敢於接近的人都膽戰心驚。
17世紀的數學終於迎來了新生。牛頓和萊布尼茨獨自發明了微積分，卻引發了數學的第二次危機。微積分計算的嚴格性常常被人詬病，迫切地需要數學理論的澄清。到了19世紀，由於分析的嚴格化和函數論的發展，數學家們對無理數理論、不連續函數理論的研究更是需要理解無窮集合的性質。了解"無窮"並深入"無窮"成了迫在眉睫的需求。
時代呼喚著天才。此時，德國數學家康托則獨自扛起了挑戰無窮的大旗。他以一己之力創造了集合論和超窮數理論，打開了被上帝塵封的智慧大門。數千年以來，無數科學家只能在大門外遠遠地徘徊，對大門充滿了敬畏之心。唯有康托徑自一人，孤獨地行走在驚心動魄的探險之路上，試圖找到開啟大門的鑰匙。他以卓絕的智慧成就完成了這一宏圖偉業，讓人們得以一窺連接著無窮世界的大門內無比輝煌的寶藏。為了把握和認知無窮的集合，康托創造性地將一一對應和對角線方法運用到集合論的奠基性研究當中。正是因為康托的努力，數學中無限的面紗終於被揭開，圍繞著無窮的迷霧終於得以散去。他對無窮的新見解讓人們對無窮的認識上升到了一個前所未有的層次。
△奧爾格·康托（Cantor，Georg Ferdinand Ludwig Philipp，1845.3.3-1918.1.6）德國數學家，集合論的創始人。
第二次數學危機因為康托的工作而終於塵埃落定。自康托起，集合論成為數學裡最基礎和重要的理論分支之一。
意想不到的是，表面上看起來，康托的集合論為數學建立了牢不可破的公理體系大廈。當這座大廈快要完工的時候，事情再次出現了轉折。第三次數學危機不期而至。
英國數學家羅素徹底粉碎了數學家的夢想。1902年，他在康托的一般集合理論的邊緣發現了一個關於集合論的悖論。羅素悖論有多個通俗版本，其中最著名的是羅素在1919年提出的理髮師悖論："村子裡有一個理髮師，他給自己定了一條規矩："他給所有那些不給自己理髮的人理髮，並且只給這樣的人理髮"。那麼，這個理髮師該不該給自己理髮？"。不管如何回答這個問題，都會導致自相矛盾。這個問題本身似乎就具有不可調和的矛盾。正是因為這種奇怪的邏輯，羅素顛覆了整個數學大廈的基礎。一時間，絕對嚴密、天衣無縫的數學出現了似乎無法修補的漏洞。一如當年非歐幾何的驚人發現一樣，延續兩千多年的歐幾里得公理都可能在一夜之間被顛覆，人們再次陷入了極大的恐慌之中。
△伯特蘭·阿瑟·威廉·羅素（Bertrand Arthur William Russell，1872年—1970年）
此後，數學家們就開始積極尋找解決這場危機的辦法。數學是最為嚴格的科學，然而集合論中居然存在著這樣明顯而根本的矛盾。人們開始通過細心地選擇數學公理來避免產生羅素悖論的思維怪物，從而重新構建精確唯美的數學體系。德國數學家策梅洛（Zermelo）率先提出七條公理，建立了一種沒有悖論的集合論。另一位德國數學家弗倫克爾（Fraenkel）在策梅洛的基礎上進行改進，最終形成了一個無矛盾的集合論公理系統（即所謂ZF公理系統）。通過這七條公理建立起來的集合論終於成功地避開了羅素悖論，從而極大地緩解了第三次數學危機。
△策梅洛（Zermelo, Ernst Friedrich Ferdinand，1871～1953）德國數學家。
1917年，希爾伯特提出來一整套數學綱領。他希望找到一套公理體系能夠排除悖論，並且能夠證明，在任一個無矛盾的形式系統中所能表達的所有陳述都要麼能夠證明要麼能夠證偽。在這個系統里不會再出現類似羅素悖論這樣的思維怪圈。
△戴維·希爾伯特， D.（David Hilbert，1862～1943），德國著名數學家。
然而希爾伯特的宏偉計劃很快被顛覆。1931年，奧地利裔數學家哥德爾指出：在任何一個相容的形式化數學理論中,只要它可以在其中定義自然數的概念,就可以在其中找出一個命題，在該系統中既不能證明它為真，也不能證明它為假。通俗地說，就是任何一個數學的公理化體系都不是"完美的"。任何數學公理化系統都需要人為地從外界注入新的公理進去才能讓它日趨完善，而它自己並不能完全自動避免矛盾產生。哥德爾證明不完備定理的主要思想以及羅素悖論的方法和康托的對角線法則是一脈相承的。
△庫爾特·哥德爾（Kurt G?del）（1906年4月28日—1978年1月14日）
儘管集合論中存在矛盾，但這些矛盾大部分均可迴避。然而哥德爾不完備定理則表明：數學的真理性不是絕對可證的，如果我們要證明數學理論的相容性或完備性，必須要依靠該數學理論以外的論據，也就是說我們需要更大的系統來說明理論本身是真的。儘管悖論可以消除，矛盾可以解決，數學的確定性卻在一步一步地喪失。第三次數學危機則伴隨著這種不確定性，以更深刻的形式延續至今。
無窮的世界，一直被視為上帝塵封的大門。康托則打開了潘多拉的盒子，他也為此付出了極其慘重的代價。他的成果遭到同時代數學大師無情地嘲諷。以康托的導師克羅內克為首的數學家組成反康托的聯盟，對他進行科學和精神上的雙重羞辱。備受打擊的康托終於精神崩潰，一度患精神分裂症，最終於1918在德國一家精神病院鬱鬱而終。
讓康托意想不到的是，他所創立的無窮集合論成了第三次數學危機的導火索，也從根本上改造了數學的結構，促進了數學許多新的分支的建立和發展，成為實變函數論、代數拓撲、群論和泛函分析等理論的基礎，還給邏輯學和哲學也帶來了深遠的影響。他在研究無窮集合時所發明的對角線方法，則為後世科學家提供了極為本質的靈感源泉。20世紀無數重大的理論成果都受益於此，數學和哲學也因此而煥然一新，比如圖靈停機問題、哥德爾不完備定理都是該方法的不同延伸。在這些思想成果的匯聚下，最終造就了今日的信息文明，特別是計算機的發明。
結束語
時至今日，我們已經知道，數學的王國里有無窮無盡的寶藏和果實可供後世的勇士去挖掘和摘取。完美的數學並不存在，人們不必為它的瑕疵而傷心，反而應該為它無限的可能性而歡欣。歷史的車輪總能一直向前，數學的未來也一片光明。同時，世界上還有很多永遠不能被數學解決的問題，這樣的問題甚至比能被數學解決的問題要多得多。世界，在最理性的層面，展示出它迷人而無窮的魅力。人們終將認識到自身的渺小，認識到真理星空的浩瀚，從而永遠保持謙卑和謹慎。
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