矩陣力學和波動力學，量子力學兩大學派之間的較量
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1926年10月，在哥本哈根大學理論物理研究所東配樓的一間客房裡，一位中年人虛弱地躺在床上，另一位中年人正坐在床頭，盯著他的眼睛認真地說：「但是你肯定必須理解……」
坐在床頭的中年人就是這個研究所的主人，量子力學哥本哈根學派的領袖、丹麥物理學家玻爾。躺在床上的則是奧地利物理學家薛定諤，他應玻爾之邀前來哥本哈根，介紹他剛剛建立的量子力學波動方程，沒想到等待他的是整個哥本哈根學派對其新理論的批判與質疑。連續數天的舌戰終於使薛定諤心力交瘁，病倒在哥本哈根的寒風中。然而即便薛定諤在病床前，玻爾還是忍不住再次把話題引回到物理學上，試圖說服薛定諤接受自己的觀點……
那麼，薛定諤與哥本哈根學派的分歧究竟在哪裡呢？事實上，他們的矛盾剛好代表了量子力學建立過程中的兩條研究路線的分歧。
矩陣力學：從經驗出發
19世紀末，隨著電磁學和統計熱力學的建立和完善，物理學家試圖將這兩種理論統一到一起，來解釋物理學中的黑體輻射問題。從不同的模型出發，他們得到了兩個公式。奇怪的是，這兩個公式，一個剛好與高溫狀態下的實驗數據高度吻合，但隨著溫度降低就不那麼準確了；而另一個則剛好相反。
所有物理學家都相信，一切黑體輻射現象應該可以用一個統一的公式來解釋。抱著這種信念，德國物理學家普朗克以這兩個公式為基礎，用被稱為「內插法」的數學技術湊出了一個在所有溫度下都與實驗精確吻合的公式。但當他回過頭來試圖從物理上理解這個公式時，卻得出一個連他自己都為之震驚的結論：這個公式意味著黑體在吸收或輻射能量的過程中，其能量的改變不是連續的，而是只能以hν為單位增減，其中ν是黑體吸收或輻射的電磁波的頻率，h是一個經驗常數——即後來著名的普朗克常數。普朗克的工作也因此成為量子力學的開端。
普朗克關於黑體能量變化不連續的觀點在物理學界引起了廣泛爭議，但愛因斯坦意識到，這個理論恰好可以解釋當時另一個令人百思不得其解的實驗現象，即光電效應，很顯然顯然，光能轉化成了電子的動能。
但奇怪的是，單個電子的動能似乎只與入射光的頻率有關，如果頻率不變，無論如何提高照射強度和照射時間，都只能改變溢出電子的數量，而無法得到能量更高的單個電子。由於黑體問題在微觀上同樣是關於原子如何吸收和釋放電磁輻射能量的問題，愛因斯坦想到了電子吸收光輻射並將其轉化為動能的過程可能也必須遵循同樣的規律。他把普朗克的量子代入後，果然完美地解釋了光電效應現象。
而另一個受到普朗克啟發的就是玻爾。當時他正跟隨英國物理學家盧瑟福研究原子結構問題。盧瑟福根據實驗推測原子的結構就像一個行星系統，中間是一個集中了幾乎全部原子質量的原子核，核外圍繞著若干像衛星一樣繞核旋轉的電子。然而這個模型存在一個致命缺陷：按照經典電磁學，做圓周運動的電子將會激發出電磁波，而電磁波會不斷帶走電子的能量，使其最終失去全部動能，墜落到原子核上。
盧瑟福無法回應這個問題。而玻爾發現，如果hν的能量關係是微觀世界的普遍規律，那麼是否繞核旋轉電子的能量變化也必須遵循這一規律。如果電子的動能只能以hν為單位改變，那麼它們不但無法如經典理論預言的那樣連續釋放電磁波，而且它們在核外的空間分布也將是不連續的，只能存在於一些確定的圓周軌道上。當電子吸收或放出能量時，它就會瞬時地從一條軌道跳到另一條軌道，兩條軌道之間的能量差就等於hν，其中ν為電子吸收或放出的那個光子的頻率。在此期間，玻爾偶然了解到氫原子光譜的一些研究成果，並發現用他的理論剛好可以完美地解釋氫原子光譜的成因。正因如此，儘管仍然讓人覺得匪夷所思，但在實驗事實的支持下，越來越多的人傾向於將玻爾理論當成一個事實來接受。
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玻爾的成功一舉奠定了量子論在解釋微觀世界時的統治地位，也使玻爾一躍成為這一領域的權威。此後10年，大批物理學家匯聚到玻爾領導的哥本哈根大學理論物理研究所，形成了哥本哈根學派。德國物理學家海森堡注意到，玻爾理論中的電子軌道、旋轉頻率等物理量在真實的實驗中是無法測量的，真正能夠被測量到的是原子光譜的頻率、強度，以及與之相對應的能極差、電子在不同能級間的躍遷幾率等物理量。海森堡相信，物理理論只應討論可以被經驗確實感知的實體——這一信條來自於19世紀末的奧地利物理學家和哲學家馬赫。海森堡決定按照這一原則改造量子理論。
海森堡使用的是傅里葉變換的數學方法。按照這種方法，可以把每一個運動都分解成若干個簡諧振動的疊加來理解。經過分解，舊理論中表示位移、動量的物理量被分解為由一系列表示振動的函數構成的多項式，每個函數對應於一個可能出現的躍遷狀態，振動的頻率就是躍遷時放出或吸收的光子頻率，振幅代表躍遷狀態可能出現的幾率，與相應頻率的光線在光譜中的亮度相對應，這樣新理論中出現的全部變數都變成了可以直接通過實驗觀測的。
由於在這套體系中，所有傳統物理量都被寫成了多項式形式，因此涉及大量多項式相乘的運算。海森堡的同事波恩和約當注意到，把這套體系用高等數學中處理多項式相乘的工具矩陣來表示再合適不過了。1925年，他們和海森堡一起完成了將新量子論改寫為矩陣的工作，即今天我們所說的量子力學的第一套數學形式：矩陣力學。
從矩陣力學的建立過程可以看到，事實經驗在其中起到了最關鍵的作用。普朗克的能量子和愛因斯坦的光量子都是為了解釋實驗中出現的反常現象而被迫創造出的新概念。玻爾理論的成功更直接得益於氫原子光譜的經驗證據的支持，而海森堡則乾脆聲稱其理論只針對實驗中的可觀測量。
相反，在這條路徑中物理理論圖景的發展卻一直遠遠滯後，甚至可以說從始至終就是模糊不清的。普朗克的能量子概念就連他自己也覺得難以理解，玻爾自始至終也無法說清原子核外電子按固定軌道分布的原因及其躍遷機制；至於海森堡，甚至以「摒棄形而上學假設」為旗幟，要求把討論嚴格限制在可觀測量上。
波動力學：尋求理論上的統一
與矩陣力學相對的另一條研究路線是波動力學。波動力學的最初線索來自於物理學家們試圖為奇異而紛亂的量子現象找到一個統一可理解的理論解釋。
剛才提到，玻爾的量子化原子模型因為可以完美地解釋氫原子光譜的成因，因而被認為是成功的。但是更進一步追問：核外電子為什麼只能待在那幾條特定的軌道上？這些特定軌道的半徑又為什麼會取這樣的一些特定值？玻爾一直無法回答，直到1923年法國學者德·布羅意給出了解釋。
德·布羅意的靈感來自於愛因斯坦。當年愛因斯坦提出光量子理論後即遭到了一個質疑：光究竟是波還是粒子？對此，愛因斯坦本人的回答是：光既是波，也是粒子，這二者並非互不相融；未來，我們必將得到一個類似於現有波動理論和微粒理論的融合體的新的輻射理論。這就是著名的波粒二象性假說。
而德·布羅意由此聯想到，如果一直被認為是波動的光同時也具有粒子性，那麼一直被認為是微粒的物質粒子，會不會也具有某種波動性呢？德·布羅意假設，對於每一個微觀粒子比如電子，都存在一個與之相對應的波，並稱之為「物質波」。當粒子運動時，這個波與其一起運動，粒子的速度等於波速，粒子的位置就是波的波包所在的位置，而粒子的動量和能量則與波的波長和頻率相關。這樣一來，就可以很自然地理解玻爾模型中核外電子特定的軌道取值了。因為儘管作為粒子，電子可以在距離原子核任意遠的軌道上繞核旋轉；但是作為波，只有一些特定的軌道才能滿足它的駐波條件——即當它圍繞軌道傳播一周後，剛好能夠和上一周的波峰、波谷完全重合。
經過計算，按照物質波理論算出的核外電子軌道與玻爾根據原子光譜反推出的給定值完全一致，這讓包括愛因斯坦在內的很多物理學家認為看到了對量子論中為拯救現象而做出的各種古怪規定給出真正物理解釋的希望。更有人提議徹底放棄粒子圖景，用波來統一地解釋世界，薛定諤就是這種主張的支持者之一。
按照德·布羅意的想法，每個粒子都伴隨著一個波，波和粒子同時存在。而薛定諤等人則主張根本不存在粒子，物質的本質就是波，所謂「電子」之類的概念只不過是物質波的某些運動給我們造成的錯覺。不僅如此，薛定諤還在德·布羅意給出的能量、動量條件的基礎上推出了物質波的波動方程。由於波對當時的物理學家來說早已是一個駕輕就熟的研究領域，只要有波動方程，他們就能輕易計算出這個波在一切時刻的狀態以及它和其他物質的相互作用方式，因此薛定諤的理論在主流物理學家中備受關注，在此基礎上發展出了量子力學的第二種數學形式：波動力學。
有趣的是，與矩陣力學的發展過程正相反，在波動力學的建立過程中幾乎沒有受到多少來自實驗方面的引導。除了依靠一些廣為人知的實驗事實對理論作必要的驗證和支持，德·布羅意和薛定諤等人主要的創新性洞見幾乎都是從對物質本原的哲學思考中得到的。他們的出發點即是揭示量子效應背後的物質基礎和作用原理，而不是滿足於總結和描述可以看到的表面規律！
20世紀二三十年代，理論量子物理學者大致分為兩個陣營。第一個陣營的成員主要是路易·德布羅意和埃爾溫·薛定諤等，他們使用的數學工具是微積分，共同創建了波動力學。第二個陣營的成員主要是維爾納·海森堡和馬克斯·玻恩還有玻爾等，使用線性代數，他們建立了矩陣力學。後來，薛定諤證明這兩種方法完全等價。
矩陣力學和波動力學在解釋氫原子的定態、巴爾末線系等方面取得了成功。但是他們的創始人都互不讚賞對方的觀點。因為「矩陣力學」採用了人們非常不習慣的矩陣演算和q數概念。而「波動力學」好像優於矩陣力學，因為在數學上應用了微積分體現了連續性，在物理概念上則採用「粒子=波包」的模型。
海森堡對薛定諤論文的態度是，承認他的數學簡明性和「難以置信」的有趣。而薛定諤的波動力學後於矩陣力學，他說他的理論與海森堡的沒有什麼繼承的關係，覺得海森堡的矩陣力學太深奧晦澀難懂。因此，哥廷根大學的科學家們就分成了兩派：一派歡迎矩陣力學舉世無雙的成功而不顧它的抽象性；另一派則熱衷於波動力學的清晰流暢的推導，不再把矩陣力學作為物理學的希望而逐步轉向波動力學。矩陣力學與波動力學各自佔領自己的陣營形成了對抗的形勢。
其實兩種力學是等價的。1926年4月，薛定諤發表了《關於海森堡—波恩—約爾丹的量子力學與我的波動力學之間的關係》的文章論證了「矩陣力學」和「波動力學」在數學上是等價的,矩陣力學與波動力學中的基本方程存在著對應關係 。由此出發，他就能證明矩陣力學中的一切表示式和波動力學中的一切表示式都可以互相推導，從而證明了這兩種力學在數學上的等價性。在這種證明之後，薛定諤發表了一種哲學觀點，認為按照馬赫的哲學來看，「數學等價性和物理等價性幾乎有相同的意義」，從而矩陣力學與波動力學其實只是一種力學。
1926年底，狄拉克又提出了普遍的變換理論，從矩陣力學推導出了薛定諤方程，並證明了薛定諤本徵函數就是從坐標表象的變換函數，證明了波動力學和矩陣力學的等價性。而著名的數學家馮·諾依曼採用了希爾伯特空間從數學角度證明了二種力學的同構性。
由此可見，波動力學與矩陣力學實際上是同一個形式理論的兩種不同的表示方式。馮·諾意曼將這兩大學說統一到希爾伯特空間中。將量子力學在數學上歸結為抽象空間論，也就是說將量子力學的物理內容用抽象的空間來表示！
