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40年量子飛躍


  來源: 原理


  故事要從19世紀末開始說起。


  1879年,物理學家埃德溫·霍爾(Edwin Hall)在一項開創性的實驗中,首次發現當一個磁場垂直地作用在一個金屬條上時,會導致電子聚集在金屬條的兩端,使金屬中的電流發生偏轉,形成可測量的電壓。這種現象被稱為霍爾效應,而產生的垂直於電流方向的電壓,被稱為霍爾電壓。

 經典霍爾效應是帶電粒子在磁場中運動所造成的簡單結果:當導體上有一個沿x-方向的恆定電流(I),z-方向存在恆定磁場(B),那麼在y-方向上將產生電壓(V)。

經典霍爾效應是帶電粒子在磁場中運動所造成的簡單結果:當導體上有一個沿x-方向的恆定電流(I),z-方向存在恆定磁場(B),那麼在y-方向上將產生電壓(V)。


  不過,經典霍爾效應並非是這篇文章的主題。我們今天要說的,是在一個世紀之後被意外發現的霍爾效應的量子版本——量子霍爾效應。


量子霍爾效應。| 圖片參考來源:Nature

量子霍爾效應。| 圖片參考來源:Nature


  1980年,德國物理學家克勞斯·馮·克利青(Klaus von Klitzing)在進行一項實驗。他將原子級厚的晶體材料於低溫下暴露在強磁場中,發現隨著磁場強度的增加,金屬電導的增加並不像經典物理學所預測的那樣平滑地漸進增長,而是呈量子化的逐階上升。


  馮·克利青意識到,在這種情況下,霍爾電阻值與兩個基本常數相關,其中一個是普朗克常數h,另一個是電子電荷e:量子化的霍爾電阻值整數倍正比於h/e2。


量子霍爾效應有兩種,分別是整數和分數量子霍爾效應,圖中顯示的是整數量子霍爾效應。

量子霍爾效應有兩種,分別是整數和分數量子霍爾效應,圖中顯示的是整數量子霍爾效應。

  1982年,實驗物理學家霍斯特·施特默(Horst St?rmer)和崔琦(Daniel Tsui )發現了更令人疑惑的現象,他們在更低的溫度和更強的磁場下,發現霍爾電導會以先前觀察到的結果的分數倍量子化。這就好像電子以某種方式分裂成了更小的粒子,每個粒子都攜帶了電子的一小部分電荷。


分數量子霍爾效應。

分數量子霍爾效應。


  可以說,量子霍爾效應的發現標誌著凝聚態物理學的一個重要轉折點。迄今為止,與量子霍爾效應相關的實驗和理論工作,已收穫了三個諾貝爾物理學獎,分別授予了發現整數霍爾效應的馮·克利青(1985年);發現分數霍爾效應的施特默和崔琦,以及理論物理學家羅伯特·勞夫林(Robert Laughlin)(1998年);以及用拓撲學對量子霍爾效應作出了解釋的物理學家戴維·索利斯(David Thouless),鄧肯·霍爾丹(Duncan  Haldane),以及邁克爾·科斯特立茨(Michael Kosterlitz)(2016年)。


  量子霍爾效應的發現發生在上世紀80年代,它們都是先源於實驗,之後才發展出了相關的理論。當時的物理學並不能完全解釋為何電阻會隨著磁場變化發生這種離散式的跳躍變化。而索利斯就利用拓撲的概念向當時有關材料導電性原理的理論發起了挑戰,提出了突破性的新理論。

  拓撲學描述的是,一個物體除非被撕裂,不然無論被如何拉伸、扭曲或者畸變,都會維持不變。在拓撲學中,球和碗是屬於相同範疇;中間有孔的甜甜圈和手柄處有孔的咖啡杯則屬於另一個範疇,相同範疇的物體之間才能相互轉換,不同範疇的物體之間則不能。這與量子霍爾效應的情形有點類似:即使材料中存在著雜質,電導也不會改變。因此,含有空洞的個數為一個、兩個、三個、四個……的這些拓撲物體,就被「借」用來描述量子霍爾效應中的導電現象。


  索利斯等人將拓撲學結合到物理的材料學研究中,不僅對神秘的量子霍爾效應背後的理論做出了闡釋,也開啟了人們對拓撲絕緣體、拓撲超導體和拓撲金屬等如今熱門的課題的研究。在過去的十年多里,與拓撲材料相關的技術一直處於凝聚態物理研究的前沿。科學家也希望拓撲材料能被更好地應用於新一代的電子原件、超導體,或未來量子計算機中。


  然而,數學家似乎並不能滿足於索利斯等人對量子霍爾效應做出的解釋。對於數學家來說,其背後的機制仍屬於未解之謎。2015年,加州理工學院的數學家斯皮里宗·米哈拉基斯(Spyridon Michalakis)和微軟的物理學家馬修·海斯廷斯(Matthew Hastings)發表了一項為嚴格的數學證明。他們從2008年開始一同研究這一問題,其最終解決方案同樣是基於數學中的拓撲學。


  理論物理學家和數學家深知,幾何物體的平均曲率具有拓撲性質,且微小的局部變形會改變局部的曲率。但是,若要將拓撲用於解釋量子化的霍爾電阻,就必須對做出以下兩種假設中的一種:要麼是假設描述系統的數學空間的整體圖景等同於局域圖景,要麼是假設系統中的電子不發生相互作用。而第一個數學假設的問題是——它可能是錯誤的;而第二個物理假設的問題是——它是不現實的。

  而米哈拉基斯和海斯廷斯卻成功地在拓撲結構和量子霍爾效應之間建立了堅不可摧的聯繫。他們用一種新穎的方式將整體圖景與局域圖景聯繫了起來,成功的擺平了這些假設。


  他們的證明過程非常複雜,在經過反覆的修改和編輯後,於2009年提交了一份長30頁的證明,但由於專家們花了很長的時間來理解這些結果,所以直到2015年,這個證明才在正式發表。而直到2018年,數學家和物理學家們正式承認這個證明。


米哈拉基斯和海斯廷斯的論文。

米哈拉基斯和海斯廷斯的論文。


  然而,故事還沒有結束。拓撲學受到了越來越多物理學家的青睞,比如現在物理學家和拓撲學家會合作研究分數量子霍爾效應。


  1939年,量子物理的創始人之一保羅·狄拉克(Paul Dirac)在一次演講中曾說:「純數學和物理學之間的聯繫正在變得越來越緊密。」他甚至認為,這兩門學科可能最終會合二為一,使純數的每一個分支都有它的物理應用。


  這種觀點自然引起了一些純數學家的不滿,因為這聽起來彷彿在說物理學家只是將數學視為他們研究自然世界的工具一樣。雖然狄拉克的話或許值得商榷,但純數學與物理學的結合的確可以帶來意想不到的收穫,量子霍爾電阻的數學證明就是最佳的例證。


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