尺規作圖與古希臘三大作圖問題
1尺規作圖
初學幾何，最令同學們感興趣的就是尺規作圖。尺規作圖是指用無刻度的直尺和圓規作圖。
只用直尺、圓規可以完成許多作圖問題，比如我們在中學時就已熟知的：作已知線段的垂直平分線。
以及作已知角的角平分線。
稍複雜一點的：作圓內接正六邊形。
在所有這些問題中，直尺的功能僅僅是作為一個畫直線的工具，而不能用以測量或標示出距離。只用直尺和圓規作圖的傳統要回溯到古希臘時期，希臘人認為直線和圓是最基本的圖形，而直尺和圓規使它們具體化，所以便選擇只用這兩種工具作圖。
尺規作圖有五項「公法」：
（1）根據兩個已經確定的點作出經過這兩個點的直線。
（2）以一個已經確定的點為圓心，以兩個已經確定的點之間的距離為半徑作圓。
（3）確定兩個已經作出的相交直線的交點。
（4）確定已經作出的相交的圓和直線的交點。
（5）確定已經作出的相交的兩個圓的交點。
「合法」的尺規作圖，便是用直尺、圓規有限次運用上述五項基本的「公法」進行作圖，從而解決很多複雜的作圖問題。
2 古希臘三大作圖問題
古希臘人研究尺規作圖，提出了三個著名的尺規作圖作圖問題：
倍立方體：給定立方體的一邊，求作另一立方體（的邊），使後者體積是前者體積的兩倍。
三等分角：三等分任意一個角。
化圓為方：作一正方形使其與給定的圓面積相等。
問題的提出是自然的，因為這些是古希臘人在解決了一些作圖題之後的引伸：
以正方形對角線為一邊的正方形有兩倍於前者的面積，便理所當然地提出相應的倍立方體問題；
可以作角平分線，即可以二等分任意角，自然地就想繼續搞三等分；
化圓為方是古希臘人在求作一定形狀的圖形使之與給定圖形等面積這類問題中的一個典型問題。
古希臘三大作圖問題既引人入勝，又十分困難。問題的妙處在於它們從形式上看起來十分簡單，但實際上有著非常深刻的內涵。在探索這三個問題的過程中就隱含了近代代數學的思想，直到19世紀，這三個作圖題的不可能性才被證實，這時相距問題的第一次提出已經過去了2000多年。
那麼，為什麼古希臘三大作圖問題只用直尺和圓規來求解是不可能的呢？今天大小吳就和大家聊聊這其中的玄機。
3 基本幾何作圖
首先我們要明確一點：討論尺規作圖問題其實就是在討論代數問題，因為用尺規作圖畫出幾何圖形的過程從某種意義上來說就是作出了某些數量。
為什麼這麼說呢？舉一個很簡單的例子，如果給定一單位長度的線段
，我們用尺規作圖能做些什麼呢？
首先，我們可以在一條射線上順次截取線段
，從而作出所有的（你想作出的）正整數長度的線段。
這就是說，所有的（正）整數都是可作的。
用尺規作圖作與已知角相等的角也是可以辦到的，原理是全等三角形：
利用畫相等的角，我們就可以繼續作出過一點且平行於已知直線的平行線，原理是同位角相等，兩直線平行。
既然平行線是可作的，那麼我們可以繼續作圖得到諸如
之類的數（之前已說明正整數都是可作的，這裡的
為任意正整數）。
具體做法是：在直線上標出
，過
任意作第二條直線，在這直線上標出線段
，再作
.
聯結
和
且過
畫一條直線平行於
，交
於
.由相似三角形性質易知
如法炮製，我們可以畫出
，這裡
是任意一個正整數。
由於有理數總能寫成
的形式，所以根據剛剛的討論可知，所有的（正）有理數也都是可作的。
並且，如下圖所示，有理數的加、減、乘、除也都可以用尺規作圖實現。
這真是一件非常神奇的事！從已知的單位線段出發，連續應用這些簡單作圖（即重複地應用加、減、乘、除），我們能作出任意一個有理數——以這種方式得到的所有量構成了一個叫做數域的集合，使得這集合中若干個數經過任意的有理運算後仍然是這個集合中的一個數（回憶一下中學時反覆操練的有理數混合運算題，不管題目有多複雜，最後的答案仍然是一個有理數）。
4 可作圖的數
因此，有理數對於有理運算是「封閉」的，即任意兩個有理數的和、差、積、商（除數不為0）——仍然是一個有理數。如果一個數集關於這四種有理運算封閉，則稱其為一個數域。
討論完這些，我們再介紹一種全新的作圖方法——求平方根，它使得我們衝破了「有理數域」的束縛。如果給定一個線段
，則可以按照如圖的方法作出半圓和垂線段。
根據射影定理，有
即
這就是說，我們可以利用尺規作出新的無理數，例如
，然後再通過「有理」作圖，作出所有形如
的數，這裡的
都是有理數，比如可以作出
.
更進一步地，可以利用乘法和除法作出形如
以及
的數，這些數總可以寫成
的形式，因為
都是有理數（特別地，
不可能為0，因為若它等於0，則
，這和
是無理數矛盾）。
上面的討論表明，所有形如
的數仍然形成一個數域，這個域比有理數域大，但它顯然又比全體實數構成的數域小，我們稱有理數域為
，形如
的數構成的數域為
，這個做法叫做擴域。
剛剛驗證過，
這個「擴充的域」中的每一個數都是可作圖的，現在我們可以繼續擴充作圖的範圍，比如用
中的一個數，取
求它的平方根，注意到，這個數仍然是可作圖的
用
便可以得到所有形如
的數，注意，現在這裡的
可以是
中任意一個數！即
是形如
的。
組成的數域是更大的一個數域，記為
，這樣我們就把數域繼續擴充了。
我們可以繼續這樣的操作，不停地擴域，在
次加進平方根後，最終得到一個可作圖的數域
.可作圖的數是且僅僅是那些能用這樣一系列擴域達到的數，也稱為規矩數。這裡
的取值是無關緊要的，因為這僅僅取決於作圖的複雜程度。
5 規矩數都是代數數
由於規矩數都是通過有限次開平方根和有理運算得到的，因此
中的數一般都是有理係數
次方程的根，比如考慮
中的數
就有
即
即
這是一個有理係數的四次方程。
所以，規矩數必然滿足整係數方程
這就說明規矩數都是代數數，又由於代數數還包含形如
的複數，比如
的復根
我們可以進一步得到如下的包含關係。
6 為什麼古希臘三大作圖問題不可解？
有了上面的知識基礎，我們便可以理解為什麼古希臘三大作圖問題是不可解的了。
首先考慮倍立方體問題，如果給定立方體的邊長是單位長度1，那麼現在就是要作出體積是2的立方體，也就是要求出立方體的邊長
，使得
顯然，這個數是
，這個無理數不是規矩數，因為它不是通過有限次開平方根得到的。因此，倍立方體不可尺規作圖。
再來看三等分角問題，先假定在單位圓中作出角，那麼這個問題等價的代數問題就是如何由已知一個角的餘弦值
，求未知量
的問題。應用三倍角公式，可得
即
這個方程最高次數是3，它的根在一般情況下不是規矩數，但是也有一些特殊情況，比如說，若
，則
，則原式可因式分解得到
解得
說明我們可以尺規作圖三等分一個平角，只要作出長
的線段即可。但是當
時，原方程化為
這個三次方程的根不是一個規矩數，故尺規三等分
角是不可作的，因此，三等分任意角無法通過尺規作圖完成。
最後來看化圓為方問題，取半徑為單位長度的圓，其面積是
，要使正方形面積和圓一樣，那麼這個問題就等價於作出長為
的線段，這也是不可能的，因為
首先就是一個超越數，因此
不可能用尺規作圖作出。
我們可以對上圖的分類補充如下。
7 天才伽羅瓦
在數學史上有一位超級天才——法國數學家伽羅瓦。他15歲開始系統學習數學，18歲便提出現代數學中的分支學科——群論。伽羅瓦用群論徹底解決了根式求解代數方程的問題，而且由此發展了一整套關於群和域的理論，人們稱之為伽羅瓦理論。他解決了古希臘三大尺規作圖問題的兩個問題：「三等分任意角」和「倍立方體」。
埃瓦里斯特·伽羅瓦（1811-1832）
從1831年5月後，伽羅瓦兩度因法國大革命而參與政治活動後入獄。據說1832年3月他在獄中結識一個醫生的女兒並陷入狂戀，因為這段感情，他陷入一場決鬥，自知必死的伽羅瓦在決鬥前夜將他的所有數學成果狂筆疾書紀錄下來，並時不時在一旁寫下「我沒有時間……」，第二天他果然在決鬥中身亡，死時年僅21歲。
參考文獻：[1]（美）R·柯朗，H·羅賓. 什麼是數學——對思想和方法的基本研究[M].復旦大學出版社，2012.[2]（美）M.克萊因.古今數學思想（第一冊）[M].張理京，張錦炎譯.上海科學技術出版社，1979.
來源：大小吳的數學課堂
編輯：謙
