超越維度：在實驗室中模擬四維物理學
導語
我們生活在三維空間，可是如果空間維度的數量增加到四個甚至更多，會有什麼不同？藉助最新發展的理論和實驗技術，物理學家開始探索更高維度的物理。實驗室中一種被稱為「拓撲絕緣體」的材料，是模擬四維物理的主要靈感來源，其性質會隨著空間維度而改變。藉助超冷原子、光子甚至經典電路，就可以在受控實驗系統中探測四維世界的新物理現象。
研究領域：空間維度，拓撲絕緣體，凝聚態物理
Hannah Price| 作者
潘佳棟|譯者
黃澤豪| 審校
鄧一雪| 編輯
如果宇宙有四個空間維度而不是三個，會是什麼樣子？藉助最近發展的技巧，實驗物理學家開始探索更高維度的物理，在諸如超冷原子、光子學、聲學，甚至經典電路等平台上模擬額外的第四維度。儘管任何這類技巧都必然有局限性，因為第四空間維度總是人工的，但這些方法已經證明，它們可以在受控實驗系統中模擬一些四維效應。
但什麼是第四空間維度？在非相對論物理學中，空間和時間截然不同，空間維度只是物體向前和向後移動的方向（不同於時間，時間總是從過去流向未來）。系統中相關空間維度的數量由空間運動可以沿哪些方向，或描述一個物體在特定時刻位置的最小空間坐標數量，如 (x, y, z) 來定義。
空間維度的數量可以通過對系統施加約束來約減。例如，將珠子穿到一根長直導線上會限制珠子僅在一個空間維度上移動：沿線向前或向後。單個坐標給出了珠子在任何特定時刻沿線的位置。
如果空間維度的數量增加到四個或更多，會發生什麼？理論物理學家可以簡單地將熟悉的物理方程擴展到一組擴大的空間坐標系，例如（x，y，z，w）。這種擴展通常不會導致新現象。但在某些物理領域，可能出現新的效應，比如拓撲絕緣體，這是實驗模擬四維物理的主要靈感來源。本文深入探討了什麼是四維物理，以及模擬四維空間的實驗技巧是如何運作的。
拓撲概念從數學到物理學的轉移加深了研究人員對物質狀態的理解，並導致了大量奇異拓撲材料的發現。在數學中，拓撲學是對不同表面進行分類的最著名的框架。例如，甜甜圈屬於有一個孔的曲面族，而橙子屬於沒有孔的曲面族。如果我們平滑地壓扁一個橘子，它的形狀會發生變化。但如果不撕開一個新的洞，它就不可能變成甜甜圈的形狀，從而改變拓撲結構。這種情況由一個稱為虧格（genus）的指標來量化。其他數學問題有許多其他類型的拓撲數，例如所謂的陳數（Chern numbers），這些將在後面討論。
在物理學中，拓撲數是許多材料的電學、光學和其他行為的核心。[1] 特別是，它們經常對晶體中的電子能帶進行分類。在非平庸的情況下，這些拓撲數保證了特殊的性質，例如，儘管材料內部是絕緣的，但在材料邊緣會存在圍繞其循環的電流環路——這種材料被恰當地命名為拓撲絕緣體（topological insulator）。與可擠壓橙子的虧格相似，拓撲數很難改變，因此拓撲性質，例如那些特殊的邊緣電流，即使在無序情況下也是魯棒的，只要內部保持絕緣。
空間維度改變了拓撲絕緣體及其邊緣電流的性質。如圖1所示，二維拓撲絕緣體具有有效的一維導電邊緣通道，而三維拓撲絕緣體覆蓋有二維導電錶面。類似地，四維拓撲絕緣體應該是一種具有魯棒的三維導電錶面體積的不同尋常的材料。此外，不僅是邊緣行為，基礎物理和拓撲數的定義都取決於系統的空間維度和對稱性。[1]
圖1. 二維、三維和四維拓撲絕緣體儘管在塊體內（紫色）絕緣，但在其邊緣或表面（淺灰色）上導電。這種不尋常的行為由電子能帶結構的拓撲造成。在三維和四維繫統中，導電錶面被描繪為從塊體上升起，以同時顯示塊體和表面。四維拓撲絕緣體顯示為沿第四維的幾個獨立的三維切割。
四維拓撲絕緣體的故事始於二維量子霍爾效應，該效應由坐落於德國斯圖加特的馬克斯·普朗克固體研究所的 Klaus von Klitzing 於1980年發現。這項研究為他贏得了1985年諾貝爾物理學獎。
顧名思義，二維量子霍爾效應（2D quantum Hall effect）本質上是一種二維現象，最早在高質量半導體異質結中移動的有效二維電子氣體中被觀察到。[1] 在他的開創性實驗中，von Klitzing將硅基異質結暴露在低溫和向外的強磁場中，然後讓電流流過裝置，測量其兩端的電壓以找到霍爾電導。他的發現令人出乎意料：霍爾電導表現為穩定的平台，被 /? 的整數倍精確量子化，其中是電子電荷，?是普朗克常量。事實上，這種量子化足夠的魯棒和精確，後來成為2019年國際單位制中對千克的新定義的一部分。
圖2. 霍爾電導和磁場的關係。可以看到，霍爾電導表現為穩定的平台，被 /? 的整數倍精確量子化。| 圖片來源：Klaus von Klitzing/1985 Nobel Lecture
1982年，西雅圖華盛頓大學的 David Thouless 和他的同事證明，二維量子霍爾效應的起源在於電子能帶的拓撲性質。這一認識在一定程度上是 Thouless 獲得2016年諾貝爾物理學獎的原因。霍爾電導中的整數與稱為第一陳數的二維拓撲數有關，其保證了材料邊緣周圍存在拓撲電流[1]（見圖1）。換句話說，二維量子霍爾系統是現在被稱為拓撲絕緣體的一個例子，霍爾電導的魯棒性是其關鍵實驗特徵之一。
方框1：沿著邊緣的跳躍
二維量子霍爾邊緣電流的起源是什麼？經典的情況是，當一個受限於二維運動的帶電粒子受到一個向外的磁場B時，會在塊體中產生封閉的旋轉軌道（深藍色圓圈），但沿著盒子的邊界（淺藍色箭頭）會產生單向跳躍。即使邊界變形，這些跳躍的軌道也會沿著磁場的方向繼續移動。在量子力學情形下，這種行為轉化為拓撲絕緣體特有的絕緣體態能帶和魯棒的導電邊緣態。
圖3. 二維量子霍爾效應示意圖。
在發現二維量子霍爾效應後，理論物理學家提出，某些三維材料也具有以第一陳數為特徵的能帶，但在這種情況下，陳數是三元數組：其中每個數對應於三維材料的三個笛卡爾平面。理論上的三維量子霍爾效應於2019年在五碲鋯晶體中通過實驗觀察到。[2]但三維量子霍爾效應通常被稱為弱拓撲現象，因為關鍵特性（例如第一陳數）本質上仍然是二維概念，即使系統是三維的。因此，由此產生的拓撲行為有時可能不太魯棒。
然而，在四個空間維度的情形下，一種在根本上不同的量子霍爾效應由瑞士蘇黎世聯邦理工學院的 Jürg Fr?hlich 和 Bill Pedrini，以及斯坦福大學的張首晟和胡江平在21世紀初獨立提出。[3]該四維量子霍爾效應具有與二維霍爾效應不同的量子化霍爾電導形式，並且與一個稱為第二陳數的四維拓撲不變數有關，該不變數產生了三維導電錶面體積，如圖1所示。
迄今為止，科學家已經提出了各種四維量子霍爾模型。[3-5]有些模型類似於二維量子霍爾效應，描述磁場中的帶電粒子。其他模型，如張首晟和胡江平的模型，利用楊-米爾斯規範場（Yang–Mills gauge field）的物理，如方框2所解釋的，並從粒子物理學中汲取靈感。[6]
方框2. 奇異的單極子
一種考慮拓撲泵（topological pumping）的方式是，它用外部控制的參數取代了哈密頓量中的一些真實空間維度。但是如果所有的空間維度都被換成了外部控制的參數，那麼就不需要真實的空間自由度來模擬更高的維度了。
2018年，Seiji Sugawa、Ian Spielman 和他們在聯合量子研究所和馬里蘭大學的同事使用了這種類型的方法。受張首晟和胡江平關於四維量子霍爾效應的工作啟發，[4]研究人員在一個有效的五維參數空間中，通過耦合原子量子氣體的四個內部狀態，實驗模擬了所謂的楊氏單極子（Yang monopole）。[16]與保羅·狄拉克（Paul Dirac）假定假想的磁單極子是磁場的來源類似，楊氏單極子被提議作為五維的楊-米爾斯規範場的來源。Sugawa、Spielman和他們的同事確定了模擬單極子的性質，並驗證了它可以被第二陳數加以區分，正如預測的那樣。
最近，在2020年，類似的實驗方法已經模擬了所謂的四維張量單極子（tensor monopole），它被假設為張量規範場的來源，其特徵是一種稱為 Dixmier-Douady 不變數的奇異拓撲數[14]。
四維量子霍爾效應並不是故事的終點。在過去20年里，其他的量子霍爾效應已經在六維和八維繫統中被預測，許多其他的二維和三維拓撲絕緣體也已經被發現，它們需要除陳數之外的拓撲不變數。[1] 將物質的拓撲相劃分為任意空間維數的數學分類也表明，其他更高維度的現象正等待被發現。[6]
儘管二維和三維量子霍爾效應是在固體材料中觀察到的，如果要將更高維度的物理學帶入實驗室，則需要超越固體材料的範疇，考慮其他更可控的平台。
許多拓撲特性雖然最初與電子輸運聯繫起來，現在反而被理解為源於能帶理論和普通的波物理學。[5]換句話說，拓撲數，如第一陳數，也適用於超冷原子、經典光波、機械振蕩和海洋表面的波，這裡只列舉一些可能性。
直觀上，經典波或無相互作用的玻色子不應該被稱為拓撲絕緣體，因為如果沒有泡利不相容原理或其他效應來填充能帶中的態，這些系統就不會是通常意義上的絕緣體。然而，目前的慣例是，只要物理是從具有良好定義的拓撲數的能帶中導出，就使用拓撲絕緣體這個名詞。[5]
探測非電子系統的拓撲物理學需要不同的實驗方法，因為這些系統不再具有霍爾電導中魯棒的量子化平台。對於基於波的系統，最重要的實驗特徵通常是存在局域於系統表面的魯棒振動模式，處于禁止穿透塊體的頻率。在這些情況下，對於一個給定的頻率，波可以在表面傳播，但不能在塊體內部傳播，如圖1所示。這種拓撲保護可能有朝一日對諸如光子學器件在內的應用非常有用，因為它提供了一種方法，可以魯棒地引導光繞過在器件製造過程中引入的任何無序和缺陷。[5]
向非電子平台的擴展也有利於對拓撲現象的研究。其中許多平台比真實的材料更容易調控，因此使科學家們能夠在目前固體物理學可研究的範圍之外進行探索。[5]作為推動工作的一部分，研究人員已經發展了模擬額外維度的實驗技巧，部分原因是為了探測高維拓撲絕緣體。三個主要的方法是拓撲泵（topological pumping）、連接（connectivity）和人工維度（synthetic dimensions），儘管其他方案也在開發中。
方法1：拓撲泵
最早但也許是最抽象的模仿高維度的技巧之一是拓撲泵（topological pumping）。這個概念由 Thouless 作為實現二維量子霍爾效應的一種方法在1981年首次提出。他預測，緩慢地調整某些類型的一維量子系統的參數可以魯棒地在系統中泵送粒子。[1]
最簡單的例子從一種絕緣體開始，其中粒子佔據一維周期勢阱鏈的每個極小值。如果整體電勢的空間位置被緩慢地調整，使整個晶體沿著鏈滑動，那麼由此產生的最小值點的運動就會拖動粒子與其一起運動。Thouless 不僅計算出這種魯棒的粒子輸運是一個拓撲不變數的產物，而且該不變數與二維量子霍爾效應中的二維拓撲數（第一陳數）相同。這一結果表明，從某種意義上說，一維拓撲泵是二維量子霍爾效應的動態版本，這一點後來已在實驗中得到探索。
從一維到二維似乎與高維物理學相去甚遠。但在2013年，以色列魏茨曼科學研究所的Yaacov Kraus、英國牛津大學的Zohar Ringel和蘇黎世聯邦理工學院的Oded Zilberberg預測，二維拓撲泵與四維量子霍爾效應的四維拓撲數（第二陳數）有關。[4]
該預言在2018年 Zilberberg 領導的兩個補充實驗中被證明是正確的。一個是他與賓夕法尼亞州立大學的 Mikael Rechtsman 團隊在光子學體系中進行；另一個是與德國馬克思·普朗克量子光學研究所和慕尼黑大學的 Immanuel Bloch 團隊以及我在伯明翰大學的合作者在冷原子體系中完成的[7]。這些實驗分別在光在波導陣列邊緣的傳播和原子在系統中的凈運動中發現了四維量子霍爾效應的特徵，後來又被其他課題組推廣到聲學平台上。
拓撲泵有許多內在的限制，因為它本質上是一種數學技巧，基於巧妙的方法切割更高維模型。實際上，粒子只能在低維繫統中移動，而不具有足夠的高維自由度。通過其他類型的實驗方案，可能實現更接近真實的高維繫統。
方法2：電路連接
模擬更高空間維度的第二種方法是基於連接的概念，這可以從離散晶格模型開始理解。在這些模型中，粒子只能存在於一組晶格位點上。這些格點可以表示為分布在空間中的一組離散的點，如圖4所示。根據模型的具體情況，粒子可以在成對的格點之間跳躍，如虛線所示。這種離散的晶格模型是真實系統的常見近似，包括電子在固體材料中移動和電流在電路中移動。它們還可以識別和分離現象的基本組成成分。
圖4. 更高維的格子可以在低維繫統中構建。在左邊，一個二維的離散晶格模型是由格點（圓圈）與連接（線）組成的。如果保持相同的連接，相同的晶格可以有效地嵌入到一維中。在右邊，這種嵌入技巧被用來將四維晶格編碼到這個三維電路板堆中。
理解高維模擬的關鍵在於，離散格點模型本質上是一個由節點（如格點）和連接（如允許的跳躍）組成的網路。這一觀點表明，只要所有連接都相同，節點在實空間中的物理位置並不重要。
例如，如果每行的節點都是首位相連地排列，則圖4中的二維方晶格可以轉化為一維鏈。只要節點之間存在相同類型的連接，該系統就會遵守與之前相同的數學方程。在某種意義上，這個過程將二維模型嵌入到一維繫統中——儘管是一個奇怪的一維繫統，其中一些短程連接缺失，而其他長程連接出現。
同樣的想法也可以延伸到更高維的格點上——例如，用三維或二維繫統創建一個四維格點模型。因此，嵌入技巧提供了一個在真實的物理系統中實現四維晶格模型的訣竅，但卻面臨著調控節點之間複雜連接的挑戰。
在2013年的一個早期方案中，克羅埃西亞薩格勒布大學的 Dario Juki? 和 Hrvoje Buljan 設想用光子波導模擬一個離散的四維晶格。[8]從那時起，研究興趣就集中在更靈活的系統上，如電路，以及如何將由電感、電容和電阻組成的格點連在一起，實現四維拓撲模型的各種方案。
2020年，作者和新加坡南洋理工大學的 You Wang、Baile Zhang、Yidong Chong首次在實驗中應用了該方法，如圖4所示。他們創建了一個小型的四維拓撲晶格，包含144個嵌入電路的格點。在實驗中，他們設計了一疊三維電路板，並將它們連在一起，以匹配四維量子霍爾效應的四維離散晶格模型。正如對四維拓撲絕緣體的預測，他們觀察到電流流經四維拓撲絕緣體表面的格點，但沒有流經塊體內部。
這些電路實驗確實有局限性，因為它們通常不能同時獲得態的整個能譜。它們也是經典的系統，不能表現出量子效應。儘管如此，製造電路的簡單性和靈活性使它們成為探索四維物理學的一條富有成效的途徑。
方法3：人工維度
最後一招——人工維度——最接近於真正模擬在四維運動的粒子。該方法將系統的一些內部狀態或內在屬性解釋為沿著一個假想的額外維度的格點。[5]通過將該策略與其他真實或人工維度相結合，它有可能實現高維晶格模型。
為了了解這個方案是如何運作的，我們考慮一個被囚禁在真空室中並被冷卻到接近絕對零度的全同原子氣體的例子。每個原子都有各種可能的內部原子自旋態，它們對應於組成它的電子和原子核的不同構型。如圖5所示，將合適的激光照射到原子上，可以刺激它們在這些內部狀態之間按一定次序轉換。隨著這些轉換的發生，原子的自旋態標記會逐步改變，類似於粒子在格點之間跳躍時離散空間坐標的變化。這個類比強大而有效，它將不同的自旋態重組以張成一個人工維度。
圖5. 人工維度將原子自旋態或其他內部狀態或內在屬性變成類似於空間維度的東西。一個二維離散晶格模型（左）包括一個真實空間維度和一個由原子自旋態組成的人工維度。沿著真實維度的跳躍（實線）對應於真實的原子運動，而沿著人工維度的跳躍（虛線）對應於激光誘導的自旋態之間的轉換。四維超立方晶格的單胞（右）是一個超立方體。這種形狀可以用真實和人工空間維度的適當組合來製作。
原子自旋態的人工維度的想法起源於2012年西班牙巴塞羅那大學的 Octavi Boada 和 José Ignacio Latorre 以及巴塞羅那光子科學研究所的 Alessio Celi 和 Maciej Lewenstein 的工作。[10]三年後，同樣的想法被擴展到離散二維量子霍爾效應晶格模型，包括一個真實維度和一個人工維度，在冷原子實驗中實現，如方框3所示。在未來，該方法可能被進一步推動，以實現四維拓撲模型。
方框3：人工維度中的跳躍
2015年，LENS（歐洲非線性光譜實驗室）和佛羅倫薩大學的 Leonardo Fallani 和 Massimo Inguscio 課題組以及聯合量子研究所和馬里蘭大學帕克分校的 Ian Spielman 課題組都實現了一個二維量子霍爾系統，包含一個真實空間維度和一個三原子自旋態的人工維度，[17,18]與圖5相似。如圖6所示，這些系統表現出霍爾物理的關鍵特徵：沿系統邊緣跳躍的軌道，類似於帶電粒子在磁場中的軌道，如方框1所解釋的那樣。
圖6. 二維量子霍爾系統，包含一個真實空間維度和一個三原子自旋態的人工維度。
自2015年以來，人工維度領域得到了極大的擴展。一個突出的創新是將冷原子中的自旋態換成原子動量態。動量態可以通過如下方式耦合成一個人工維度：脈衝駐波光，光波會移動原子，沿著波的方向量子化地改變它們的動量。[5]英國劍橋大學的 Ulrich Schneider 課題組最近將這種方法擴展到四束獨立的駐波光，每束光都指向二維平面的不同方向。[11]這一進展同時創造了多達四個人工維度。[11]雖然還沒有拓撲效應，但實驗結果可以用原子在四維超立方晶格上跳躍來解釋，如圖5所示，該晶格由動量態組成。
近年來，光子學在人工維度方面也取得了重大發展。最值得注意的是兩種方案：一種是由環形腔的頻率模式形成的人工維度，另一種是由波導陣列的晶格模式形成的人工維度。斯坦福大學的Shanhui Fan和他的同事展示了基於單光子腔的頻率模式的兩個同時獨立的人工維度。[12]海法以色列理工學院的Mordechai Segev小組提出並進行了基於晶格模式的實驗，該實驗已經揭示了具有人工維度的二維和三維拓撲邊緣物理。這兩種方法將來都有可能實現四維拓撲絕緣體。
儘管過去幾年取得了如此多的進展，模擬四維物理的實驗仍處於早期階段。拓撲泵已經成功地運用數學技巧來觀察四維效應的特徵，但不能完全刻畫四維動力學。電路可以刻畫四維拓撲晶格的全部連接，但尚未提供對四維物理的完全實現。在未來，所有這些限制將有望被人工維度所克服，在人工維度中，粒子或許能夠像在四維空間中一樣移動。
人工維度也可能揭示了思考三維世界的新方法。畢竟，一個人工維度是由現有的物理自由度耦合而成。例如，創建一個光頻模式的人工維度涉及到控制光的頻率，而在這樣的設置中尋找拓撲邊緣電流，則與確定一種新的機制來魯棒地輸送光或轉換光的頻率有關。長遠來看，通過為理解和設計複雜系統提供另一種觀點，人工維度可能會在光頻隔離器或光的光譜操縱方面得到應用。[5,12]
就基礎科學而言，還有很多四維物理有待探索。本文的主題都是單粒子物理學，即粒子與粒子之間的相互作用可以忽略不計。在理論上理解四維現象只需少數幾步，例如張首晟和胡江平提出的將二維分數量子霍爾效應推廣到四維的建議[3]。了解在更高維度上可能出現的多體物理，以及這些現象是否可以用目前的實驗技巧來實現，需要進一步的工作。
從實驗的觀點看，未來的一個挑戰是，粒子與粒子之間的相互作用自然取決於真實三維世界中的粒子分離，而不是合成四維繫統中的粒子分離。[5] 例如，在人工維度的情況下，只要兩個處於不同自旋態的原子佔據相同的物理位置，它們往往會具有強烈的相互作用。這些相互作用對應於沿人工維度的奇怪的非局域相互作用。研究人員正在發展各種方法來理解和解決此類問題。
最後，儘管對四維物理的模擬始於四維量子霍爾效應，但未來該領域的蓬勃發展應遠遠超出該效應。最近的實驗已經顯示了其他的拓撲效應，如方框2中描述的奇異的四維張量單極子[14]。其他的實驗技巧也在發展之中，包括基於多端約瑟夫森結，利用超導相取代空間自由度的方案[15]。在不久的將來，更多的四維物理將在實驗室中得到模擬。
參考文獻
1.?B. A. Bernevig, T. L. Hughes, Topological Insulators and Topological Superconductors, Princeton U. Press (2013).
2.?F. Tang et al., Nature 569, 537 (2019).
3.?J. Fr?hlich, B. Pedrini, in Mathematical Physics 2000, A. Fokas et al., eds., Imperial College Press (2000), p. 9; S.- C. Zhang, J. Hu, Science 294, 823 (2001); D. Karabali, V. P. Nair, Nucl. Phys. B 641, 533 (2002).
4.?Y. E. Kraus, Z. Ringel, O. Zilberberg, Phys. Rev. Lett. 111, 226401 (2013).
5.?N. R. Cooper, J. Dalibard, I. B. Spielman, Rev. Mod. Phys. 91, 015005 (2019); T. Ozawa et al., Rev. Mod. Phys. 91, 015006 (2019); T. Ozawa, H. M. Price, Nat. Rev. Phys. 1, 349 (2019).
6.?C.- K. Chiu et al., Rev. Mod. Phys. 88, 035005 (2016).
7.?O. Zilberberg et al., Nature 553, 59 (2018); M. Lohse et al., Nature 553, 55 (2018).
8.?D. Juki?, H. Buljan, Phys. Rev. A 87, 013814 (2013).
9.?Y. Wang et al., Nat. Commun. 11, 2356 (2020).
10.?O. Boada et al., Phys. Rev. Lett. 108, 133001 (2012).
11.?K. Viebahn et al., Phys. Rev. Lett. 122, 110404 (2019).
12.?A. Dutt et al., Science 367, 59 (2019).
13.?E. Lustig et al., Nature 567, 356 (2019); E. Lustig et al., in Conference on Lasers and Electro- Optics, Optica (2020), paper FW3A.2.
14.?X. Tan et al., Phys. Rev. Lett. 126, 017702 (2021); M. Chen et al., http://arxiv.org/abs/2008.00596.
15.?R.- P. Riwar et al., Nat. Commun. 7, 11167 (2016).
16.?S. Sugawa et al., Science 360, 1429 (2018).
17.?M. Mancini et al., Science 349, 1510 (2015). 18.?B. K. Stuhl et al., Science 349, 1514 (2015).
（參考文獻可上下滑動查看）
本文翻譯自
原文題目：
Simulating four-dimensional physics in the laboratory
原文鏈接：
https://physicstoday.scitation.org/doi/10.1063/PT.3.4981
轉載內容僅代表作者觀點
不代表中科院物理所立場
如需轉載請聯繫原公眾號
來源：集智俱樂部
編輯：Garrett
