來看看為什麼「萬物皆可輸運」？帶你進入硬核科普

知識 05-12

縱觀歷史中孕育文明的地域和城市，幾乎都離不開河流和運輸。無論是連通南北的京杭大運河，還是貫穿東西的絲綢之路，都是因為有了運輸，物資和文明才得以交流、發展和繁榮。而反觀我們熟悉的流體力學，也正是因為有了流體的輸運，才有了速度、溫度、壓力以及各種組分和物理量的傳遞和變化，進而產生了豐富的流場結構。

大家都知道常見的流體輸運方式有對流和擴散，那麼它們是如何傳輸流體的？它們之間又有什麼關係？我們還是從最基礎的雷諾輸運定理開始講起。

雷諾輸運定理

古希臘哲學家赫拉克利特曾經說過一句非常著名的話：「人不能兩次踏進同一條河流」，這句充滿哲理的話充分反映了運動是絕對的，靜止是相對的。這句話對於河流和所有流體都適用，流體每時每刻都在運動，那麼伴隨著流體運動的物理量該如何去描述呢？這時候又要請出流體力學的大師雷諾同志了。

一般情況下，基本物理定理都是針對體系來描述的，但是流體運動太過複雜，難以定義體系的邊界。通常分析流體運動多採用控制體法，而我們接下來介紹的雷諾輸運定理就是把某個隨流物理量的總和對時間的變化率以控制體的形式來表示。

在流場中任意取一控制體V，表面積為A。以t時刻位於控制體內的流體作為研究對象，此時，控制體與流體完全一致，佔據下圖中Ⅰ和Ⅱ的區域，?t時刻後，流體運動到了新的Ⅱ和Ⅲ的區域，以N表示控制體內任意隨流物理量（速度、能量、質量等），以η表示單位體積流體所具有的隨流物理量。可以通過下圖的方法推導出總的隨流物理量對時間的變化率。

「

通過上述的推導，我們可以得到雷諾輸運定理的數學表達式，同樣可以得到它的物理描述：某時刻一個體系內的流體具有的總隨流物理量對時間的變化率，等於該時刻控制體中總隨流物理量對時間的變化率與單位時間內該物理量通過控制面的凈流出之和。

注意等式的左側為包含一團流體的體系，其體積和形狀邊界都隨該部分流體的運動而變化，等式的右側分別是針對靜止控制體及其控制面的積分，被積函數也都是歐拉參考系中的變數。本質上講，雷諾輸運定理給出了一團流體的物理量變化在拉式坐標和歐式坐標下的轉換關係。

沒看懂？舉個栗子吧。下午五點的時候，在盧比和鋼蛋的小酒館裡面有100瓶冰鎮啤酒， 1個小時後還有多少取決於兩件事情：被顧客買走了多少和批發商送來了多少（通過控制面的變化），以及盧比和鋼蛋偷喝了多少（控制體內的變化）。

盧比和鋼蛋的小酒館~

流體輸運的兩種方式

雷諾輸運定理在物理意義上和物質導數相同，實質上都是描述了流體的物理量伴隨著流體而輸運的含義。那麼流體到底是怎麼輸運的呢？

流體的輸運可以理解為一種流動的質量傳遞現象，主要包括對流和擴散兩種方式。以下圖中的火山爆發為例，小夥伴們可以很容易的理解，火山噴發時從下向上的高速衝擊便是對流，而噴出後的濃煙又會不斷的向周圍蔓延，便形成了擴散。

通過火山噴發的例子，小夥伴們可以看到，對流是依靠流體整體的運動傳送物理量，可以理解為宏觀上的機械運動，一般情況下，根據是否有外力作用可以分為強制對流和自然對流。

強制對流就是直接對流體施加壓力或者剛體的轉動和移動，強迫流體發生運動，比如在炎熱的夏天，打開電風扇對著吹便是典型的強制對流。而自然對流則表示沒有外力強制作用的情況下，由於溫度等參數的不均勻而形成的密度差，從而導致重力場或其他力場中產生浮升力所引起的對流現象，比如一碗熱氣騰騰的牛肉麵。

不同於對流是宏觀的流體運動，擴散本質上是微觀層面上，由分子熱運動驅動的。理論上，分子熱運動是隨機的，但是當流場中的分子濃度或者熱力學壓力不均勻時，比如下圖所示的流體兩側的分子濃度不同，那麼顯然，從左側向右側運動的分子數多於反向的，因此形成了從高濃度向低濃度擴散的現象，當然這也可以解釋為粒子總是從高化學勢向低化學勢區域轉移，直到兩者相等並達到平衡。

擴散是由無數單個粒子的隨機速度引起的質量傳遞，而對流是由一團分子的平均速度引起的質量傳遞。一般而言，對流和擴散會同時出現在流場中，但是擴散會比強制對流的速度慢很多，比如炒菜的時候產生的油煙，如果單純的依靠擴散，則需要很長時間才能消散，如果打開抽油煙機，便可以通過強迫對流快速的將油煙排走。看來充分理解流體力學才能炒的一手好菜。

對流與擴散的秘密

流體的運動無時無刻不與對流和擴散發生著聯繫，而對流和擴散又常常同時存在，那麼它們之間究竟是怎樣的關係呢？

為了更好的描述流體輸運過程中對流和擴散之間的關係，流體力學中將對流速率與擴散速率之比定義為一個無量綱數，命名為佩克萊數(Peclet number,簡稱Pe數），其中擴散速率是指在一定濃度梯度驅使下的擴散速率。在流動傳質的情況下，Pe 數是雷諾數（Re）和施密特數（Sc）的乘積。而在流動傳熱中， Pe數相當於雷諾數（Re）和普朗特數（Pr）的乘積。

佩克萊數表徵了對流和擴散的強度之比，而對流擴散方程則在數學上描述了對流擴散現象。如下圖所示，對流擴散方程可拆解為對流方程和擴散方程，其中的φ為某一物理量，u代表了流動的速率，α代表了擴散速率。而對於傳熱問題，φ表示溫度，α則表示熱擴散係數，被輸運的對象便是熱量。

而如果把對流擴散方程中的α轉化為粘度μ，並把被輸運的物理量指定為動量，再加入壓力的影響，那麼一維對流擴散方程就變成了沿x方向上的動量方程。小夥伴們是不是感覺這個方程很眼熟？

沒錯，這就是忽略外力條件下的不可壓縮N-S方程的一維形式。N-S方程可以理解為一個特殊的對流擴散方程，而此時流動所輸運的恰恰是動量本身。而作為流體力學的葵花寶典，N-S方程中最痛的一刀就是方程的第二項，即輸運速度自己。

無處不在的雷諾數

當然，對流和擴散還有另外一個小秘密。如果從時間的尺度研究對流和擴散，會得到更加有趣的關係。前面解釋過，對流可以描述為流體的平均運動，因此對流的時間尺度可以描述為物理特徵尺度和氣流速度之比，而擴散的時間尺度則可以通過物理特徵尺度和運動粘度來描述。假如我們把這兩個時間相比，奇妙的事情便發生了，它們之間的比值恰恰是雷諾數Re的定義！

小夥伴們應該還記得雷諾數起源於經典的流動染色實驗：當流體的物理尺度或流速增加，或流體的粘性減小時，流體的流態更趨向於某種混亂無規則的狀態。

隨後很長一段時間，眾多學者沿著雷諾的足跡開始研究湍流的觸發機理，卻一直沒有答案，直到1908年，恰逢第四屆國際數學大會，索末菲將計就計，將他對流動穩定性和湍流觸發機理的思考寫成文章，並在歷史上第一次明確以「雷諾數」命名這個神奇的無量綱數。

我們都知道雷諾數表示慣性力和粘性力的比值，當雷諾數很大時，則意味著粘性力對流動的影響很小，流體可以自由的流動，而當雷諾數很小時，則意味著粘性力佔優。而從流體輸運的角度出發，我們還能領會到擴散時間和對流時間的此消彼長。當雷諾數很大時，意味著擴散時間遠遠大於對流時間，對流的效應碾壓了擴散，擴散也就漸漸被忽略了。

既然前面提到了流體力學中最重要的無量綱數Re和運動方程N-S方程，那麼它們倆之間又要怎樣的關係呢？公眾號再次發揚「人狠話不多」的精神，直接推導不可壓縮N-S方程的無量綱形式，如下圖所示。