流體力學的「捕魚達人」

知識 05-30

有一天盧比和鋼蛋去湖邊釣魚，無奈釣技有限，魚兒不肯上鉤。許久之後，魚桶還是空空如也。眼瞅中午到了，午飯還是沒有著落，鋼蛋有點坐不住了，便發起牢騷，「我們釣的不是魚，是寂寞啊，下回咱還是把隔壁足球場的球網給拆了，咱們來個一網打盡」。盧比嘲笑到，「你是不是傻？先不說魚兒在水中的運動是混亂無規律的，你這網眼這麼大，比網眼小的魚早就溜之大吉了。」

盧比說罷，兩人都似乎想起了什麼，不約而同的陷入了沉思，思緒飛到了折磨二人多年的流體力學之上。而這段悲傷的故事還要從一團渦說起。

渦流的前世今生

小夥伴們都知道，流體力學之所以複雜，就是因為其中遍布了各種大大小小，形態各異的渦流，像極了水中各種各樣的魚兒。那麼渦流究竟從哪裡來？又要到哪裡去呢？

小夥伴們都知道，當飛機穿越大氣時會產生旋渦。快速飛行的機身對周圍的大氣產生強烈的擾動，向靜止的流場中注入能量，便產生大量的渦流——渦流來源於擾動。

如果我們再仔細觀察，會發現飛機飛過後，渦流並不會存在很久，而會很快消散；旋渦中的能量也逐漸消失，這源於一個過程——湍流能級串（Cascade）。如下圖所示，大渦逐漸破碎為小渦，小渦再破碎為更小的「迷你渦」，然後逐漸耗散，這個過程從空間上看較為隨機，且與當地雷諾數相關。

那麼旋渦為什麼會耗散呢？當上述的「迷你渦」變得足夠小時，根據角動量守恆，渦的角速度將會非常大，意味著局部速度剪切很強；我們知道，當速度剪切較大的時候，粘性變得舉足輕重，於是，「迷你渦」就這樣輕鬆的被耗散掉了......

事實上，渦的尺度足夠小時，體現為當地雷諾數非常小，粘性力對流體的影響則顯著大於慣性力；我們甚至可以認為，在這個極小的空間中，流動已然層流化。

魚兒運動的規律

隨著時間的推移，人們逐漸開始理解渦流的演化，就好像捕魚達人們也漸漸掌握了魚兒的運動規律，知道什麼時候在哪裡可以捉到魚，並思考應該編織什麼樣的漁網。那麼對於渦流，尤其是複雜湍流中的渦流，從大渦向小渦耗散的表象背後究竟隱藏怎樣的奧秘呢？

上個世紀三十年代以後，眾多學者們試圖用理論的方法來描述渦流演化的現象，其中前蘇聯天才數學家柯爾莫果洛夫基於統計學理論做出了重大貢獻。下圖為根據柯爾莫果洛夫的理論總結出來的湍流能量譜，把湍流能量和波數聯繫到一起。

為了更好的理解湍流中的渦，通常會分根據湍流的演化分為如下四個層級：宏觀尺度（與邊界條件相關的主流尺度），積分尺度（大渦的典型尺度，與宏觀尺度同量級），泰勒尺度（無損的進行能量傳遞的慣性尺度），耗散尺度（最小渦的尺度，小於此尺度的渦將被耗散）。

簡而言之，大渦的尺度取決於邊界條件（比如對於整車的尾流，其大渦的尺度和車高為同一量級），而小渦的尺度取決於湍流雷諾數。積分尺度和耗散尺度大致符合關係式：?/η ~ Re（其中湍流雷諾數Re通過積分尺度和湍流脈動速度計算得到）。因此，流動幾何不變的情況下，雷諾數越高，耗散尺度越小。

從湍流能量譜的圖中，看似得到了渦流變化的規律。但問題在於，一個大渦一旦生成，其全部的能量必然最終耗散到流場中，耗散掉的總能量取決於大渦包含的能量；也就是說，大渦生成的那一刻，就決定了其在流場中的耗散。

參考前述的飛機渦流，其耗散的總能量等於機身對流場的擾動所生成的總能量。關鍵問題來了，雖然我們知道對於不同的尺度，其所含能量不同，我們也知道能量終究耗散完畢，但耗散的過程可能會千變萬化（大渦什麼條件下破碎為小渦，什麼時候耗散作用開始體現），難以預測。

正如捕魚達人雖然看到了大大小小的魚兒跳來跳去，但卻無法精確量化他們的尺度，因此在考慮選擇什麼樣的漁網時，也犯起了選擇困難症。

捕魚達人的困局和妥協

於是捕魚達人開動腦筋，想辦法對魚塘中所有的魚都做起明確的標識，以圖建立漁網的最佳實踐——對渦流尋找儘可能準確的數學表達。提到流體的數學描述，當然逃不開「虐我千百遍」的N-S方程，為了省點心力，我們以不可壓流體的N-S方程為例，其張量形式如下：

N-S方程看似能夠描述流體的運動，但是作為非線性方程界的扛把子，它只有在非常苛刻的條件下，比如極低雷諾數的定常流動等少數情況下，才可能得到穩定的解析解。而隨著雷諾數的增大，N-S方程的初邊值問題和湍流問題本身的複雜性，目前還看不到求出解析解的苗頭。

本著「解不出來就簡化」的基本原則，從1890年代開始，流體力學大師雷諾通過經典的染色實驗讓人們清晰的看到了湍流的本質就是速度的脈動，於是雷諾大膽的將湍流分解為平均速度和脈動速度帶入N-S方程並推導雷諾平均的N-S方程；配合上布辛涅司克之前「生搬硬套」提出來的渦粘性假設，將湍流脈動引起的雷諾應力類比成了平均應力；最後現代流體力學之父普朗特更是通過大膽的假設提出了「混合長度模型」求解渦粘性係數，從而讓N-S方程求解湍流變成了可能。

繼上述各位大佬之後，計算流體力學開啟了接近百年的RANS（雷諾平均的N-S方程）時代，通過各種不同的參數來刻畫湍流脈動引起的雷諾應力。各路方法八仙過海，各顯神通，形成了一幅百家爭鳴的局面。

流體力學的捕魚達人們似乎織出了一張湊合能用的漁網，可是RANS本質上是為了工程化應用而拼湊出來的數學模型，放棄了對非定常湍流信息的模擬，無論漁網有多細，RANS也只能分辨穩態的流場結構。因此，面對很多複雜的瞬態問題，RANS這個漁網也只好被晾起來了。

抓大放小的LES漁網

當RANS這個漁網不好使的時候，也不能放棄捕魚啊。於是人們逐漸將目光投向了一種更加合理的瞬態計算方法——大渦模擬（LES）。大渦模擬的主要思想可以歸納為一種N-S方程的低通濾波，將小於網格尺度的高頻湍流脈動濾掉並收集到亞網格模型中。

這與RANS方法的渦粘性模型看似形式上有異曲同工之妙，但內涵卻完全不同。大渦模擬是以時空演化的方式求解湍流，而RANS則直接模化了湍流脈動引起的應力。

最早提出大渦模擬思想的是美國著名的氣象學家Smagorinsky，他在求解大氣湍流的時候發現，如果數值計算只考慮各向異性的大渦，模擬的結果和實際會存在很大的差異。通過對於實際氣象的觀察和數值計算的研究，Smagorinsky敏銳的發現這種差異是現有的網格尺度只能直接求解大於網格尺度的渦繫結構，而被忽略的小於網格尺寸的渦仍然會影響流場的結構。

於是，作為半個數學家的Smagorinsky也開始玩起了套路，既然亞格子尺度的渦會影響流場的結構，那就在N-S方程中添加一個亞格子的應力項，代替當前網格解析不了的小尺度渦對流場的影響。下面的推導基本上就體現了「只要數學功夫深，鐵杵磨成針」的道理。

上述的推導可以看出，大渦模擬的關鍵落到了最後的Smagorinsky係數Cs。該係數由另一位著名的氣象學家Douglas K. Lilly通過引入柯爾莫果洛夫的湍流能量譜計算得出。由於Smagorinsky和Lilly對湍流數值模擬做出的貢獻，第一個實用的大渦模擬的湍流模型也由兩人的名字共同命名，即著名的Smagorinsky-Lilly模型。

通過前面的介紹，大家可以發現，LES通過直接求解網格尺度以上的大渦來模擬湍流的非定常性，計算的求解精度和網格解析度息息相關，其網格通常應劃分到泰勒尺度以內。

勤勞的捕魚達人需要根據情況細細編織不同尺度的漁網——網眼大了撈不到魚，網眼小了又很費力，正如LES的計算量一不小心就爆表了。

為了更好的和魚兒一起玩耍，捕魚達人們總是樂此不疲的改進裝備。而流體力學的捕魚達人們為了平衡計算精度和效率，也對LES進行了各種改裝，提出了多種混合的LES方法，比如大家熟悉的DES、DDES、IDDES、VLES、CLES等等，那麼這些XES的變種漁網是如何在魚塘里和魚兒鬥智斗勇的呢？敬請大家期待後續的文章。

一網打盡的DNS

有人說，統計方法是人類面對未知的無奈之舉——如果我們有無限的計算資源，當然就不用考慮RANS和LES了。我們可以在極小的空間和時間尺度上求解流動從而獲得湍流全部的流場細節，就好像用一個網眼無限小的漁網在魚塘里捕魚，一定要將所有的魚兒一網打盡。

這種對所有尺度的湍流都進行直接求解的方法稱之為直接數值模擬（DNS），最小的網格尺度要小於耗散尺度。不同於RANS和LES在時空解析度上的縮水，DNS直接捕捉了湍流的全部細節。不過，大家可以使用前述的耗散尺度和積分尺度之間的關係式，大致估算一下最小的網格尺度，再估算一下計算量，估計就意識到什麼是天文數字了。目前DNS只能應用於簡單幾何的流動機理研究，比如下圖的准二維葉型的邊界層流動。而波音的大神Spalart更是預測DNS需要到2080年才會進入工程實用領域。