大自然的藝術——湍流
1923 年 7 月 10 日，海森堡向慕尼黑學院提交了一份 59 頁的題為「關於流體流動的穩定性和湍流」的計算報告，並將其發表《物理學雜誌》上。這個問題是湍流的經典問題——確定層流到湍流的準確過渡，也是極其困難的一個問題，以至於海森堡都只提供了一個近似解。他的學位導師阿諾德說：「我不會把這種困難的課題作為論文交給我的任何其他學生。」要知道他的學生中甚至有泡利（Wolfgang Pauli）這樣的傑出人物。
圖 1 海森堡的博士論文
海森堡強大的數學能力讓他在量子力學領域獲得了巨大成就，但在湍流方面只取得了有限的成功。他曾說，如果允許他問上帝兩個問題，那就是：「為什麼是量子力學？為什麼是湍流？」據推測，他非常確信上帝能夠回答第一個問題。這句話可能是虛構的，到處都有不同的版本。儘管如此，海森堡多年來一直在與湍流問題作鬥爭，這是事實。
物理學家費曼也嘗試研究湍流，在給他的學生真野光一的信中說：「我研究湍流理論好幾年了，然而並沒有成功。」
圖 2 費曼給真野光一的信
事實上，人們對湍流的認識來由已久，從達芬奇的手稿到梵高的《星空》，從馬遠的水圖卷到日本的浮世繪，橫跨東西，超越時空，畫家們用自己的藝術手筆，不約而同地描繪了對湍流的直觀視覺映像。
圖 3 達芬奇手稿
圖 4 《星空》——梵高
圖 5 《水圖卷——層波疊浪》——馬遠，南宋
圖 6 《神奈川衝浪里》——葛飾北齋，日本，19世紀
自然界中，也許最壯觀的大規模湍流是太陽耀斑。太陽耀斑與所謂的日珥有關（日食期間可以在太陽表面看到的巨大拱形結構）。日珥從太陽的低層大氣延伸到日冕，其通常至少是地球的 10 倍大。日珥被磁通管所包圍， 磁通管從太陽表面拱起，縱橫交錯於日珥中。磁通管的底部點不斷碰撞，使得太陽表面是高度湍流。日冕中的磁通管糾纏在一起，導致磁通管被切斷並重新組合。而這種通量管的切斷正是通過電暈中湍流的局部作用實現的。
太陽表面這種質量和能量的突然釋放產生了太陽風，攜帶耀斑釋放的質量穿過太陽系。在耀斑爆發後一到兩天，地球便會受到磁暴的衝擊。
圖7 (a) 日冕通量環從光球層拱起；(b) 太陽耀斑示例
地球的磁場使刮到地球的太陽風中的帶電粒子偏轉，從而使我們免受太陽風的影響。但為什麼地球，實際上還有許多行星，都擁有磁場呢？答案似乎也是湍流。現在人們普遍認為，這些磁場的來源是行星核心內的湍流對流。
圖8 地核的湍流對流維持著地球的磁場：（a）示意圖；（b）數值模擬
不僅地球上大規模的海洋和大氣流動是湍流的。其他行星上的大氣流動，尤其是氣態巨行星，這些行星的大氣流動也是高度湍流。木星上的大紅斑，其實是一個兩到三倍地球直徑，持續了數百萬年的超大氣旋風暴。湍流裹挾空氣中的硫化物，使其呈現出獨特的紅色。
圖 9 木星大紅斑
當然，各類工程師都必須面對湍流。飛機或汽車上的空氣動力阻力是由湍流邊界層控制的，事實上，限制我們設計出更好機翼的主要障礙之一就是對湍流的理解不足。三角翼上的湍流特別劇烈，在上翼面還顯示出渦旋。
圖10 三角翼上表面的湍流渦旋：(a) 俯視圖；(b) 後視圖
另一方面，發動機的設計者則依靠燃料和氣體的湍流混合來最大限度地提高效率。
圖 11 燃燒中，氫氣、甲烷、丙烷的密度、燃燒速率和溫度圖像
湍流在環境領域也是至關重要的。城市規劃必須模擬煙和汽車發動機中污染物的湍流擴散，而建築師需要預測自然對流如何影響建築物內的溫度分布。
圖 12 圓柱繞流：環繞建築物流動的相似模型
即使是鋼鐵製造商和醫學研究人員也不得不擔心湍流，因為鑄錠中的過度湍流會導致鑄錠冶金結構的惡化，而流經我們喉部和鼻孔的水流也通常是湍流的。
「能大能小，能升能隱；大則興雲吐霧，小則隱介藏形；升能飛騰於宇宙之間，隱則潛伏于波濤之內。」青梅煮酒論英雄的典故里，曹操曾這樣形容龍的變化。事實上，這段敘述非常形象地刻畫了湍流這種跨越大範圍尺度的自然現象。
那麼，到底什麼是湍流呢？遺憾的是，現在人們無法給湍流下一個清楚明確的定義。最簡單地說，當流動的速度大到一定程度時，所有的流動都會產生一個隨機的、混沌的運動。人們將這些複雜的流動歸納在一起，稱之為湍流，並注意到它們有一些共同特徵：
? 速度關於時間的變化呈現出隨機波動的特性，在空間分布上高度無序；
? 初始的微小擾動將導致後續運動的巨大變化，因此流動速度是不可預測的。
那麼，湍流是如何產生的呢？從上面的敘述你可能已經注意到了，湍流的產生來自流動的不穩定性。故事要從雷諾的圓管實驗講起。
圖 13 雷諾圓管實驗
雷諾於1883年首次指出了從層流到湍流的轉變，以及雷諾數在這一轉變中所起的重要作用。雷諾關注的是沿平直光滑的管道流動。他讓流體流過一根細管道，並在一小段水流中注入有色染料。當染料順著水流向下游流動，可以清楚地看到水流是平穩（層流）的還是無序（湍流）的。通過調整實驗中的參數，他發現了確保有序流動的條件。
圖 14 管道流動中層流到湍流轉變
他發現有一個簡單而神奇的數字可以預測將要發生的事情。這個數字將流動相關的物理量巧妙地聯繫在一起，稱之為雷諾數，
在這個公式里，是水流的密度，是水流的速度，是管道的直徑，而 是流體的粘度。蜂蜜和玉米糖漿等粘稠液體的粘度很高，空氣等氣體的粘度很低，水介於兩者之間。這些都是可以直接測量的量。
雷諾數是沒有物理單位的，這意味著無論選擇何種單位體系來測量上述物理量，雷諾數都是相同的。雷諾發現，當這個數超過2300 時，流動會從有序突然跳躍到湍流。
這表明，對於低速流動，即當雷諾數很小的時候，流動基本是穩定的。隨著速度增加，很快就會達到一個臨界點，此時系統變得不穩定，引起逐漸複雜的流動，直到最終，對於足夠大的速度，流動變成完全湍流。關鍵的一點是，流體運動幾乎總是固有的不穩定，只有當粘性足夠高時，才可以抑制住不穩定。然而，幾乎所有流體的粘度都極低。水、空氣、血液、地核中的熔融金屬以及太陽的大氣層都是如此。這意味著湍流是事物的自然狀態，而層流往往是例外。
參 考 文 獻
[1] Werner Heisenberg. über stabilit?t und turbulenz von flüssigkeitsstr?men.Annalen der Physik, 379(15):577–627, 1924.
[2] Peter Alan Davidson. Turbulence: an introduction for scientists and engineers. Oxford university press, 2015.
[3] https://www.nasa.gov/content/jupiters-great-red-spot-viewed-by-voyager-i.
( 文章部分圖片源自於網路，僅供科普參考）
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來源：力學科普
編輯：Garrett
